1、高中教案：圓錐曲線高中教案：圓錐曲線54/54高中教案：圓錐曲線解析幾何題的解法舉例課程設置針對學生的實際學習水平，對高中二年級解析幾何部分做重點講解，首先，介紹此部分的知識考察特點，達到知己知彼；其次，介紹兩種常用的求曲線方程的方法和直線與圓錐曲線的地址關系的研究方法，貫通融會；再次，梳理基礎知識，切莫本末倒置，打牢雙基；最后，實例講解，參透玄機。一，考察特點(1)由已知條件建立曲線的方程，研究曲線的性質.用待定系數法確定圓錐曲線的標準方程，求它們的焦點、焦距、準線、離心率等元素，研究幾何性質.(2)直線與圓錐曲線的地址關系是重點考察內容之一，主要議論直線和圓錐曲線的公共點問題，求弦長、焦點

2、弦長及中點等問題.(3)相關解析幾何的最值問題、曲線方程中含字母參數的范圍問題以及對稱問題是經常出現的內容，涉及知識面廣，常用到函數、不等式和三角等方面的知識.(4)相關探索性題型，因為它擁有考察思維能力、區分度較高的功能，所以經常結合其它章節的知識點出現在試題中.(5)平面向量和解析幾何結合，已成為新的熱點.二，求曲線的方程的常用方法以及直線與圓錐曲線的地址關系的研究方法解析幾何的實質是用代數方法研究幾何問題，經過曲線的方程研究曲線的性質，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一.求曲線的方程的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確，方程形式已知(如直線、圓、圓錐曲線的標準方程等

3、)，常用待定系數法求方程.另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般采用以下方法：（1）直譯法：將原題中由文字語言明確給出動點所知足的等量關系直接翻譯成由動點坐標表示的等量關系式.（2）代入法：所求動點與已知動點有著相互關系，可用所求動點坐標（x,y）表示出已知動點的坐標，然后代入已知的曲線方程.（3）參數法：經過一個（或多個）中間變量的引入，使所求點的坐標之間的關系更容易確立，消去參數得坐標的直接關系便是普通方程.（4）交軌法：動點是兩條動曲線的交點組成的，由x,y知足的兩個動曲線方程中消去參數，可得所求方程.故友軌法也屬參數法.直線與圓錐曲線的地址關系的研究方法(1)判斷直線l與圓

4、錐曲線C的地址關系，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(也可以消去x)獲得一個關于變量x的一元方程ax2+bx+c=0，然后利用“”法.(2)相關弦長問題，應用弦長公式及韋達定理，設而不求;相關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線的定義的運用，以簡化運算.(3)相關弦的中點問題，除了利用韋達定理外，要注意靈活運用“點差法”，設而不求，簡化運算.(4)相關垂直關系問題，應注意運用斜率關系(或向量方法)及韋達定理，設而不求，整體辦理.(5)相關圓錐曲線關于直線l的對稱問題中，若A、A是對稱點，則應抓住AA的中點在l上及kAAkl=1這兩個重點條件解決問題.(6)相關直線與圓錐曲線的地址關系中的存在性

5、問題，一般采用“假設反證法”或“假設驗證法”來解決.三，熟練掌握直線、圓、及圓錐曲線的基本知識(1)直線和圓直線的傾斜角及其斜率確定了直線的方向.需要注意的是：傾斜角的范圍是：0；所有的直線必有傾斜角，但未必有斜率.直線方程的四種特殊形式，每一種形式都有各自建立的條件，應在不同的題設條件下靈活使用.如截距式不能表示平行于x軸、y軸以及過原點的直線，在求直線方程時尤其是要注意斜率不存在的情況.議論點與圓、直線與圓、圓與圓的地址關系時，一般可從代數特點(方程組解的個數)或幾何特點(點或直線到圓心的距離與兩圓的圓心距與半徑的關系)去考慮，其中幾何特點較為簡捷、實用.(2)橢圓完整地理解橢圓的定義并重

6、視定義在解題中的應用.橢圓是平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數2a(2aF1F2)的動點的軌跡.還有另一種定義（圓錐曲線的統一定義）：平面內到定點的距離和到定直線的距離之比為常數e(0e1)的動點軌跡為橢圓，（順便指出：e1、e=1時的軌跡分別為雙曲線和拋物線）.橢圓的標準方程有兩種形式，決定于焦點所在的坐標軸.焦點是F（c,0）時的標準方程，焦點是F（0，c）的標準方程這里隱含a2=b2+c2，此關系體現在OFB(B為短軸端點)中.深刻理解a、b、c、e、的本質含義及相互關系，實際上就掌握了幾何性質.(3)雙曲線類比橢圓，雙曲線也有兩種定義，兩種標準方程形式.同樣要重視定義在解題中的

7、運2a用，要深刻理解幾何量a、b、c、e、的本質含義及其相互間的關系.c雙曲線的漸近線是區別于橢圓的一道“風景線”，其實它是矩形的兩條對角線所在的直2a線（參照課本）.c22xy雙曲線(a0,b0)隱含了一個附加公式c2=a2+b2.此關系體現在OAB(A,B122xyab1分別為實軸,虛軸的一個端點)中；特別地，當a=b時的雙曲線稱為等軸（邊）雙曲線，其離22ab心率為(4)拋物線拋物線的定義：平面內到一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡（Fl）.2定義指了然拋物線上的點到焦點與準線的距離相等，并在解題中有突出的運用.拋物線方程（標準）有四種形式：y2=2px和x2=2py(p0)，

8、選擇時必須判斷開口與對稱軸.掌握幾何性質，注意分清2p,p,的幾何意義.p22011年寒假圓錐曲線實例例1，設F、F2分別為雙曲線122xy221(0,0)ab的左、右焦點.若在雙曲線右支上存ab在點P，知足PFFF，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的212漸近線方程為（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3y0（D）5x4y0【答案】C【解析】利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，可知答案選C，本題主要考察三角與雙曲線的相關知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考察，屬中檔題例2，已知橢圓22xyC:1(ab0)的離心率為2

9、2ab32，過右焦點F且斜率為k(k0)的直線與C相交于A、B兩點若，則k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【解析】設直線l為橢圓的有準線，e為離心率，過A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，由，得，即k=，應選B.本試題主要考察橢圓的性質與第二定義.例3.已知拋物線y22px（p0）的準線與圓（x3）22px（p0）的準線與圓（x3）C2y216相切，則p的值為（A）12（B）1（C）2（D）4【答案】C【解析】本題考察拋物線的相關幾何性質及直線與圓的地址關系法一：拋物線y22px（p0）的準線方程為22px（p0）的準線方程為

10、p22px（p0）的準線x，因為拋物線y2p與圓（x3）2y216相切，所以4,23p2法二：作圖可知，拋物線y22px（p0）的準線與圓（x3）22px（p0）的準線與圓（x3）p所以1,p222y216相切與點（-1,0）例4，設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（A）2（B）3（C）312（D）512【答案】D【解析】不妨設雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為：22xy221(a0,b0)ab，則一個焦點為F(c,0),B(0,b)一條漸近線斜率為：ba，直線FB的斜率為：bcbb，()1，ac2bac220caac，解得

11、eca512.例5，設雙曲線的個焦點為F；虛軸的個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【解析】本題考察了雙曲線的焦點、虛軸、漸近線、離心率，考察了兩條直線垂直的條件，考察了方程思想。設雙曲線方程為22xy221(a0,b0)ab，則F（c,0）,B(0,b)直線FB：bx+cy-bc=0與漸近線y=baxbb垂直，所以12=ac，即bca2-a所以c2=ac,即e2-e-1=0,所以15e或215e（舍去）2例6，橢圓22xy221(ab)ab的右焦點F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P知足線段AP

12、的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（A）0,22（B）0,12（C）21,1（D）1,12【答案】D【解析】由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等而|FA|22abccc,|PF|ac,ac于是2bcac,ac即acc2b2acc2222accac222acaccc1acc1或aa12又e(0,1)故e1,12例7，若點O和點F分別為橢圓22xy431的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OPFP的最大值為A2B3C6D8【答案】C【解析】本題考察橢圓的方程、幾何性質、平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考察了同學們

13、對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力。由題意，F（-1，0），設點P(x0,y0)，則有22xy00143,解得2x20y03(1)，4因為FP(x1,y)，OP(x0,y0)，所以002OPFPx0(x01)y0=OPFPx0(x01)2x03(1)4=2x04x03，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為x02，因為2x02，所以當x02時，OPFP取得最大值224236，選C。,例8已知F、F2為雙曲線C:1221xy的左、右焦點，點P在C上，F1PF2=060，則|PF|PF|12(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】本小題主要考察雙曲線定義、幾何性質、余弦定理，

14、考察轉變的數學思想，經過本題可以有效地考察考生的綜合運用能力及運算能力.【解析1】.由余弦定理得cosFPF2=1222|PF|PF|FF|12122|PF|PF|120cos6022222PFPF22PFPF2PFPFFF1121212122PFPF22PFPF12122|PF|PF|412【解析2】由焦點三角形面積公式得：022060113Sbcot1cot3PFPFsin60PFPFFPF12121222222|PF|PF|412例9，已知拋物線2C:y2px(p0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B若AMMB，則p【解析】過B作BE垂直于準線l

15、于E，AMMB，M為中點，BM1AB2，又斜率為3，BAE300，BE1AB2本題主要考察拋物線的定義與性質.，BMBE，M為拋物線的焦點，p2.2=2px（p0）的準線l，過M（1,0）且斜率為的直線與l相例10，已知拋物線C：y交于A，與C的一個交點為B，若，則p=_【解析】本題考察了拋物線的幾何性質設直線AB：y3x3，代入22ypx得23x(62p)x30，又AMMB，1xp22，解得24120pP，解得p2,p6（舍去）例11，已知以F為焦點的拋物線24yx上的兩點A、B知足AF3FB,則弦AB的中點到準線的距離為_.【解析】設BF=m,由拋物線的定義知AA13m,BB1mABC中，

16、AC=2m,AB=4m,kAB3直線AB方程為y3(x1)2x與拋物線方程聯立消y得31030 x所以AB中點到準線距離為x1x22153183例12，已知雙曲線22xy221(a0,b0)ab的一條漸近線方程是y3x，它的一個焦點與拋物線216yx的焦點相同。則雙曲線的方程為?！窘馕觥勘绢}主要考察了雙曲線和拋物線的幾何性質及雙曲線的標準方程，屬于容易題。b由漸近線方程可知3a因為拋物線的焦點為（4，0），所以c=4又222cab聯立，解得24,212ab，所以雙曲線的方程為22xy4121【溫馨提示】求圓錐曲線的標準方程平時利用待定系數求解，注意雙曲線中c最大。例13，已知F是橢圓C的一個焦

17、點，B是短軸的一y個端點，線段BF的延長線交C于點D，且uuruurBF2FD，則C的離心率為.B【解析1】本小題主要考察橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考察了數形結合思想、方OFx程思想,本題突顯解析幾何的特點：“數研究形，形助DD1數”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑.如圖，22|BF|bca,作uuruurDDy軸于點D1,則由BF2FD1，得|OF|BF|2|DD|BD|3133,所以1|DD|OF|c,22即3cx,由橢圓的第二定義得D22332acc|FD|e()ac22a又由|BF|2|FD|,得23ca2a,ae33【解析2】設橢圓方程為第一標準形式22xy2

18、21ab，設Dx2,y2，F分BD所成的比為2，02x33b2y3yb30bb22cxxxc;yy，代入c2cc2122212222229c1b224a4b1，e332y2x例14，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1上一點M，點M的橫坐標是3，則412M到雙曲線右焦點的距離是_解析考察雙曲線的定義。42MFe，d為點M到右準線x1的距離，d=2，MF=4。d2例15，（本題滿分15分）已知m1，直線2ml:xmy0，橢圓22x2C:y12m，F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點.（）當直線l過右焦點F時，求直線l的方程；2（）設直線l與橢圓C交于A,B兩點，VAFF，VBF1F2的12重心分別為

19、G,H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.解析：本題主要考察橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的地址關系等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（）解：因為直線l:2mxmy0經過22F2(m1,0)，所以2m21m,得222m，又因為m1，所以m2，故直線l的方程為22x2y02（）解：設A(x,y),B(x,y)。1122由xmy2x2m2y2m21，消去x得2m22ymy104則由228(1)280mmm，知428m，且有2mm1yy,yy。1212282由于F1(c,0),F2(c,0),，故O為F1F2的中點，由AG2GO,BH2HO，xyxy可

20、知(1,1),(2,1),Gh3333GH222(x1x2)(y1y2)99xxyy設M是GH的中點，則(12,12)M，66由題意可知2MOGH,即22x1x2y1y2(x1x2)(y1y2)224()()6699即x1x2y1y20而22mmx1x2y1y2(my1)(my2)y1y22222m1(m1）()82所以21m820即24m又因為m1且0所以1m2。所以m的取值范圍是(1,2)。例16（本小題滿分12分）設F，F2分別為橢圓1C22xy:122ab(ab0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點，直線l的傾斜角為60，F1到直線l的距離為23.（）求橢圓C的焦距；

21、（）如果AF22F2B,求橢圓C的方程.解：（）設焦距為2c，由已知可得F到直線l的距離3c23,故c2.1所以橢圓C的焦距為4.（）設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知y10,y20,直線l的方程為y3(x2).y3(x2),聯立22xy22ab1得22224(3ab)y43by3b0.解得223b(22a)3b(22a)y,y.1222223ab3ab因為AFFB所以yy222,122.即223b(22a)3b(22a)2.22223ab3ab得22a3.而ab4,所以b5.故橢圓C的方程為22xy95例17，（本小題滿分12分）設橢圓C：22xy221(0)abab的左焦點為F

22、，過點F的直線與橢圓C相交于A，Bo,AF2FB.兩點，直線l的傾斜角為60(I)求橢圓C的離心率；(II)如果|AB|=154，求橢圓C的方程.解：設A(x,y),B(x,y)，由題意知y10，y20.1122（）直線l的方程為y3(xc)，其中ca2b2.y3(xc),聯立22xy22ab1得22224(3ab)y23bcy3b0解得223b(c2a)3b(c2a)y,y1222223ab3ab因為AF2FB，所以y12y2.即223b(c2a)3b(c2a)222223ab3ab得離心率eca23.6分（）因為1AB1yy，所以2132243ab153223ab4.由ca23得5ba.所

23、以3515a，得a=3，b5.44橢圓C的方程為22xy951.12分例18（本小題滿分12分）設橢圓22xyCab1:221(0)ab，拋物線22C2:xbyb。（1）若C2經過C1的兩個焦點，求C1的離心率；（2）設A（0，b），5Q33，,又M、N為4C與C2不在y軸上的兩個交點，若AMN1的垂心為3B0，b，且QMN的重心在4C上，求橢圓C1和拋物線C2的方程。2【解析】考察橢圓和拋物線的定義、基本量，經過交點三角形來確認方程。（1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：22cb，由2c122222abcce2,有。2a22(2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設M(x,y),N(x

24、,y)(x0),由AMN的垂心為B，有1111132BMAN0 x(yb)(yb)0。1114由點N(x,y)在拋物線上，11b22xbyb，解得：y1或y1b(舍去)114故55b5bbxb,M(b,),N(b,)，得QMN重心坐標(3,)1224244.由重心在拋物線上得：2b1123b,所以b=2，M(5,),N(5,)，又因為M、422N在橢圓上得：216a，橢圓方程為322xy16431，拋物線方程為224xy?！疽幝煽偨Y】關于橢圓解答題，一般都是設橢圓方程為22xy221ab，根據題目知足的條件求出ab，得橢圓方程，這一問平時比較簡單；（2）關于角平分線問題，利用角平分線的2,22

25、,2幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程.例19（本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分.）已知以原點O為中心，F(5,0)為右焦點的雙曲線C的離心率5e.2（）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；（）如題（21）圖，已知過點M(x,y)的直線l1：x1x4y1y4與過點N(x2,y2)11（其中xx）的直線l2：x2x4y2y4的交點E在雙曲線C上，直線MN與雙曲線的21兩條漸近線分別交于G、H兩點，求OGOH的值.例20（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓22xy221(ab0)ab過點.2(1,)2，離心率為22，左、右焦點分別為F、1F.點P為直線l:xy2上且不在x軸

26、上的任意2一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點.（I）求橢圓的標準方程；（II）設直線PF1、PF2的斜線分別為k1、k2.（i）證明：13kk122；（ii）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、k、kOD知足kOAkOBkOCkOD0？若存在，求出所有知足條件的點P的坐標；若OC不存在，說明原因.例21，（本小題共14分）已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(2,0)，(2,0)，離心率是63，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；（）

27、設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值。解：（）因為ca63，且c2，所以22a3,bac1所以橢圓C的方程為2x321y（）由題意知p(0,t)(1t1)yt由2x321y得2x3(1t)所以圓P的半徑為23(1t)解得3t所以點P的坐標是（0，232）（）由（）知，圓P的方程2()23(12)xytt。因為點Q(x,y)在圓P上。所以222yt3(1t)xt3(1t)設tcos,(0,)，則2t3(1t)cos3sin2sin()6當3，即1tx0y2.2例22，（本小題共14分）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜

28、率之積等于13.()求動點P的軌跡方程；()設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明原因。（I）解：因為點B與A(1,1)關于原點O對稱，所以點B得坐標為(1,1).設點P的坐標為(x,y)由題意得y1y11x1x13化簡得2324(1)xyx.故動點P的軌跡方程為2324(1)xyx（II）解法一：設點P的坐標為(x,y)，點M，N得坐標分別為(3,yM),(3,yN).00則直線AP的方程為y10y1(x1)x10，直線BP的方程為y10y1(x1)x104yx3令x3得00yMx102yx3，00y

29、Nx10.于是PMN得面積21|xy|(3x)000S|yy|(3x)PMNMN022|x1|0又直線AB的方程為xy0，|AB|22，點P到直線AB的距離|xy|00d.2于是PAB的面積1S|AB|d|xy|PAB002當SS時，得PABPMN2|xy|(3x)000|xy|002|x1|0又|xy|0，00所以2(3x)=052|x1|，解得|x0。03因為22x03y04，所以y0339故存在點P使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標為533(,)39.解法二：若存在點P使得PAB與PMN的面積相等，設點P的坐標為(x,y)00則11|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sin

30、MPN.22因為sinAPBsinMPN,所以|PA|PN|PM|PB|所以|x1|3x|00|3x|x1|0即22(3x)|x1|，解得x00053因為22x03y04，所以y0339故存在點PS使得PAB與PMN的面積相等，此時點P的坐標為533(,)39.例23（本小題滿分12分）已知定點A(1，0)，F(2，0)，定直線l：x12，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明原因.本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎知識，考察

31、平面機襲擊和的思想方法及推理運算能力.解：(1)設P(x,y)，則221(x2)y2|x|2化簡得x22y3=1(y0)4分(2)當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為yk(x2)(k0)與雙曲線x222y3=1聯立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由題意知3k20且0設B(x1,y1),C(x2,y2)，4kxx122k23則24k3xx122k32(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4y1y2kk2(2(224k38k22k3k34)29k2k3因為x1、x21y所以直線AB的方程為y1x11(x1)13y因此M點的坐標為(1,22(x1)1)FM33y1(,)22(

32、x1)133y,同理可得2FN(,)22(x1)2因此FMFN39yy212()22(x1)(x1)12281k423k2294k34k4(1)22k3k30當直線BC與x軸垂直時，起方程為x2，則B(2,3),C(2,3)13AB的方程為yx1,因此M點的坐標為(22,33同理可得FN(,)223332因此FMFN()()0222)，FM33(,)22綜上FMFN0，即FMFN故以線段MN為直徑的圓經過點F12分例24，（本小題滿分14分）22xy已知橢圓221（ab0）的離心率e=ab32，連接橢圓的四個極點獲得的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，

33、已知點A的坐標為（-a，0）.（i）若42|=，求直線l的傾斜角；AB5（ii）若點Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且QAQB=4.求y0的值.【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考察用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考察綜合解析與運算能力.滿分14分.（）解：由e=ca32，得223a4c.再由222cab，解得a=2b.由題意可知122a2b4，即ab=2.a2b,ab2,解方程組得a=2，b=1.2x所以橢圓的方程為421y.()(i)解：由（）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為(x1,y1)，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.yk(x2),于是A、B兩點的坐標知足方程組2x42y消去y并整理，得2222(14k)x16kx(16k4)0.由216k42x1214k，得228kx1214k.進而4ky1214k.所以|AB|2222228k4k41k