1、 引言 前面，我們討論了參數點估計. 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數. 但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區間估計正好彌補了點估計的這個缺陷 . 譬如，在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個實際樣本，得到魚數N的極大似然估計為1000條. 若我們能給出一個區間，在此區間內我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對魚數的估計就有把握多了.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說，我們希望確定一個區間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數值.湖中魚數的真值 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，

2、稱為置信概率，置信度或置信水平. 習慣上把置信水平記作 ，這里 是一個很小的正數.置信水平的大小是根據實際需要選定的.例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等.根據一個實際樣本，由給定的置信水平，我小的區間 ，使們求出一個盡可能置信區間.稱區間 為 的置信水平為 的 尋找置信區間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱 為 與 之間的誤差限 . 我們選取未知參數的某個估計量 ，根據置信水平 ，可以找到一個正數 ，只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難. 下面我們就來正式給出置信區間的定義,并通過例子說明求置信區間的方法.由不等式可以解出 ：這個不等式就是我們所求的置信區間.教材180頁已經給

3、出了概率分布的上側分位數（分位點）的定義，為便于應用，這里我們再簡要介紹一下.在求置信區間時，要查表求分位數. 設0 1, 對隨機變量X，稱滿足的點 為X的概率分布的上 分位數. 例如: 設0 1, 對隨機變量X，稱滿足的點 為X的概率分布的上 分位數. 標準正態分布的上 分位數例如: 設0 1, 對隨機變量X，稱滿足的點 為X的概率分布的上 分位數. 分布的上 分位數自由度為n的 設0 1, 對隨機變量X，稱滿足的點 為X的概率分布的上 分位數. F分布的上 分位數自由度為n1,n2的 書末附有 分布、t 分布、F分布的上側分位數表，供使用. 需要注意的事項在教材上有說明. 至于如何由標準正

4、態分布函數表查表求得分位數，若你對分布函數定義熟悉的話，這個問題不難解決.現在回到置信區間題目上來. 一、 置信區間定義：滿足設 是 一個待估參數，給定若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個統計量則稱區間 是 的置信水平（置信度、置信概率）為 的置信區間.分別稱為置信下限和置信上限. 一旦有了樣本，就把 估計在區間內.這里有兩個要求:可見， 對參數 作區間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(構造統計量)(X1,Xn)(X1,Xn)2. 估計的精度要盡可能的高. 如要求區間長度 盡可能短，或能體現該要求的其它準則.1. 要求 以很大的可能被包含在區間內，就是說，概率 要盡可能大.即要求估計盡

5、量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.N(0, 1)選 的點估計為求參數 的置信度為 的置信區間. 例1 設X1,Xn是取自 的樣本， 二、置信區間的求法明確問題,是求什么參數的置信區間?置信水平是多少？ 尋找未知參數的一個良好估計.解： 尋找一個待估參數和估計量的函數 ，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區間的概率.對給定的置信水平查正態分布表得對于給定的置信水平(大概率), 根據U的分布，確定一個區間, 使得U取值于該區間的概率為置信水平.使為什么這樣取？對給定的置信水平查正態分布表得使從中解得也可簡記為于是所求 的 置信區間為 從例1

6、解題的過程，我們歸納出求置信區間的一般步驟如下:1. 明確問題, 是求什么參數的置信區間? 置信水平 是多少?2. 尋找參數 的一個良好的點估計T (X1,X2,Xn)稱S(T, )為樞軸量. 3. 尋找一個待估參數 和估計量T的函數 S(T, ),且其分布為已知. 4. 對于給定的置信水平 ，根據S(T, )的分布，確定常數a, b，使得 P(a S(T, )b)= 5. 對“aS(T, )b”作等價變形,得到如下形式:則 就是 的100( )的置信區間. 可見，確定區間估計很關鍵的是要尋找一個待估參數 和估計量T 的函數S(T, ), 且S(T, )的分布為已知, 不依賴于任何未知參數(這

7、樣我們才能確定一個大概率區間).而這與總體分布有關，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關重要. 這里，我們主要討論總體分布為正態的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數的區間估計.教材上討論了以下幾種情形：單個正態總體均值 和方差 的區間估計.兩個正態總體均值差 和方差比 的區間估計.比例 p 的區間估計.下面我們舉幾個例子，其余部分請自己看.休息片刻繼續例2 已知某地區新生嬰兒的體重X隨機抽查100個嬰兒得100個體重數據X1,X2,X100 的區間估計求和（置信水平為1- ）.解：這是單總體均值和方差的估計已知先求

8、均值 的區間估計. 因方差未知，取 對給定的置信度 ,確定分位數使即均值 的置信水平為 的區間估計.即為從中解得取樞軸量從中解得再求方差 的置信水平為 的區間估計. 對給定的置信度 ,確定分位數 使于是 即為所求. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區間也不是唯一的.對同一個參數，我們可以構造許多置信區間.N(0, 1)取樞軸量由標準正態分布表，對任意a、b，我們可以求得P( aUb) . 例如，設X1,Xn是取自 的樣本， 求參數 的置信水平為 的 置信區間.N(0, 1)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到均值 的置信水平為的置信區間為由 P(-1.75U2.33)

9、=0.95這個區間比前面一個要長一些.置信區間為我們得到均值 的置信水平為的我們總是希望置信區間盡可能短.類似地，我們可得到若干個不同的置信區間. 任意兩個數a和b，只要它們的縱標包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區間.在概率密度為單峰且對稱的情形，當a =-b時求得的置信區間的長度為最短.a =-b 即使在概率密度不對稱的情形，如 分布，F分布，習慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數的置信區間. 我們可以得到未知參數的的任何置信水平小于1的置信區間，并且置信水平越高，相應的置信區間平均長度越長. 也就是說，要想得到的區間估計可靠度高，區間長度就長，估計的精度就差.這是一對矛盾

10、. 實用中應在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區間的長度短一些 .例3 某單位要估計平均每天職工的總醫療費，觀察了30天,其總金額的平均值是170元，標準差為30元，試決定職工每天總醫療費用平均值的區間估計（置信水平為0.95）.解：設每天職工的總醫療費為X，近似服從正態分布大樣本，由中心極限定理，E(X)= ,D(X)=未知，用樣本標準差S近似代替. 取樞軸量近似N(0,1)分布 對給定的置信水平 , 確定分位數 使得均值 的置信水平為 的區間估計為將 =170,S=30, =1.96,n=30代入得,的置信水平為0.95的置信區間是 159.27, 180.74得均值 的置信水平為 的區間估

11、計為三、單側置信區間 上述置信區間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數在一個方向的界限. 例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了. 這時，可將置信上限取為+，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區間叫單側置信區間.于是引入單側置信區間和置信限的定義：滿足設 是 一個待估參數，給定 若由樣本X1,X2,Xn確定的統計量則稱區間 是 的置信水平為 的單側置信區間.稱為單側置信下限.又若統計量 滿足則稱區間 是 的置信水平為 的單側置信區間. 稱為單側置信上限.設燈泡壽命服從正態分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側置信下限. 例4

12、從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差 未知，取樞軸量解： 的點估計取為樣本均值 對給定的置信水平 ，確定分位數使即于是得到 的置信水平為 的單側置信區間為 將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側置信下限是1065小時的置信水平為 的單側置信下限為即 請自己畫一張表，將各種情況下的區間估計加以總結.留作作業置信區間演示 為了使你對置信區間概念有更好的理解，并對樣本容量、置信水平對置信區間的影響建立直觀印象，請看演示： 同學們可通過練習，掌握各種求未知參數的 置信區間的具體方法.這一講，我們介紹了區間估計.（第

13、14講）考場作文開拓文路能力分解層次(網友來稿)江蘇省鎮江中學 陳乃香說明：本系列稿共24講，20XX年1月6日開始在資源上連載【要義解說】文章主旨確立以后，就應該恰當地分解層次，使幾個層次構成一個有機的整體，形成一篇完整的文章。如何分解層次主要取決于表現主旨的需要。【策略解讀】一般說來，記人敘事的文章常按時間順序分解層次，寫景狀物的文章常按時間順序、空間順序分解層次；說明文根據說明對象的特點，可按時間順序、空間順序或邏輯順序分解層次；議論文主要根據“提出問題分析問題解決問題”順序來分解層次。當然，分解層次不是一層不變的固定模式，而應該富于變化。文章的層次，也常常有些外在的形式：1小標題式。即

14、圍繞話題把一篇文章劃分為幾個相對獨立的部分，再給它們加上一個簡潔、恰當的小標題。如世界改變了模樣四個小標題：壽命變“長”了、世界變“小”了、勞動變“輕”了、文明變“綠”了。 2序號式。序號式作文與小標題作文有相同的特點。序號可以是“一、二、三”，可以是“A、B、C”，也可以是“甲、乙、丙”從全文看，序號式干凈、明快；但從題目上看，卻看不出文章內容，只是標明了層次與部分。有時序號式作文，也適用于敘述性文章，為故事情節的展開，提供了明晰的層次。 3總分式。如高考佳作人生也是一張答卷。開頭：“人生就是一張答卷。它上面有選擇題、填空題、判斷題和問答題，但它又不同于一般的答卷。一般的答卷用手來書寫，人生

15、的答卷卻要用行動來書寫。”主體部分每段首句分別為：選擇題是對人生進行正確的取舍，填空題是充實自己的人生，判斷題是表明自己的人生態度，問答題是考驗自己解決問題的能力。這份“試卷”設計得合理而且實在，每個人的人生都是不同的，這就意味著這份人生試卷的“答案是豐富多彩的”。分解層次，應追求作文美學的三個價值取向：一要勻稱美。什么材料在前，什么材料在后，要合理安排；什么材料詳寫，什么材料略寫，要通盤考慮。自然段是構成文章的基本單位，恰當劃分自然段，自然就成為分解層次的基本要求。該分段處就分段，不要老是開頭、正文、結尾“三段式”，這種老套的層次顯得呆板。二要波瀾美。文章內容應該有張有弛，有起有伏，如波如瀾

16、。只有這樣才能使文章起伏錯落，一波三折，吸引讀者。三要圓合美。文章的開頭與結尾要遙相照應，把開頭描寫的事物或提出的問題，在結尾處用各種方式加以深化或回答，給人首尾圓合的感覺。【例文解剖】 話題：忙忙，不亦樂乎 忙，是人生中一個個步驟，每個人所忙的事務不同，但是不能是碌碌無為地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦樂乎。 忙是問號。忙看似簡單，但其中卻大有學問。忙是人生中不可缺少的一部分，但是怎么才能忙出精彩，忙得不亦樂乎，卻并不簡單。人生如同一張地圖，我們一直在自己的地圖上行走，時不時我們眼前就出現一個十字路口，我們該向哪兒，面對那縱軸橫軸相交的十字路口，我們該怎樣選擇?不急，靜下心來分析一下，選擇適

17、合自己的坐標軸才是最重要的。忙就是如此，選擇自己該忙的才能忙得有意義。忙是問號，這個問號一直提醒我們要忙得有意義，忙得不亦樂乎。 忙是省略號。四季在有規律地進行著冷暖交替，大自然就一直按照這樣的規律不停地忙，人們亦如此。為自己找一個目標，為目標而不停地忙，讓這種忙一直忙下去。當目標已達成，那么再找一個目標，繼續這樣忙，就像省略號一樣，毫無休止地忙下去，翻開歷史的長卷，我們看到牛頓在忙著他的實驗；愛迪生在忙著思考；徐霞客在忙著記載游玩；李時珍在忙著編寫本草綱目。再看那位以筆為刀槍的充滿著朝氣與力量的文學泰斗魯迅，他正忙著用他獨有的刀和槍在不停地奮斗。忙是省略號，確定了一個目標那么就一直忙下去吧!

18、這樣的忙一定會忙出生命靈動的色彩。 忙是驚嘆號。世界上的人都在忙著自己的事，大自然亦如此，小蜜蜂在忙，以蜂蜜為回報。那么人呢?居里夫人的忙，以放射性元素的發現而得到了圓滿的休止符；愛因斯坦在忙，以相對論的問世而畫上了驚嘆號；李白的忙，以那豪放的詩歌而有了很大的成功；張衡的忙，因為那地動儀的問世而讓世人仰慕。每個人都應該有效率的忙，而不是整天碌碌無為地白忙。人生是有限的、短暫的，因此，每個人都應該在有限的生命里忙出屬于他的驚嘆號；都應在有限的生命里忙出他的人生精彩篇章。 忙是萬物、世界、人生中都不可缺少的一部分。作為這世上最高級動物的我們，我們在忙什么呢?我們要忙得有意義，有價值，我們要忙出屬于我們的精彩。我們的忙不能永遠是問號，而應是省略號和感嘆號。忙就要忙得精彩，忙得不亦樂乎。 解剖：本文將生活中的一句口頭禪“忙得不亦樂乎”機智翻新，擬作標題，亮出一道美麗的風景。并據此展開述說，讓人神清氣爽。文章開篇扣題，亮出觀點：忙，是人生中一個個步驟，不能碌碌無為地白忙，要忙就忙得精彩，忙得不亦樂乎。然后，作者分別用問號、省略號、驚嘆號巧妙設喻，抓住這三種標點符號的特征，擺實事，講道理，入情入理，入理入心。深刻地闡明人生忙，忙要像問號一