1、1 10于是0，0.資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除第三節 空間向量在立體幾何中的應用一、 填空題 3. （本小題滿分 12 分）如圖， 在五面體 ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ， AB AD， M 為 EC 的中點，AF=AB=BC=FE=(I) 求異面直線1AD2BF 與 DE 所成的角的大小；(II) 證明平面 AMD 平面 CDE；（III ）求二面角 A-CD-E 的余弦值。如圖所示，建立空間直角坐標系，點 A 為 坐 標 原 點 。 設 AB 1， 依 題 意 得 B 1，0，0， C 1，1，0，D 0，2，0， E 0，1，1， F 0，

2、0，1，1 1M ，1， .2 2（I） 解：BF 1，0，1， DE于是 cos BF，DEBF DEBF DE0， 1，1，0 0 12 21.2所以異面直線 BF 與 DE所成的角的大小為（II ）證明： 由AM ，1， ， CE2 2CE AD 0.因此， CE AM， CE而 CE 平面 CDE ，所以平面 AMD（III ） 解：設平面 CDE的法向量為 u60 .1，0，1， AD 0，2，0 ，可得 CE AM 0，AD .又 AM AD A ，故 CE 平面 AMD .平面 CDE .( x， y， z)，則u CE 0， u DE 0.x zy z又由題設，平面令x 1，可

3、得 uACD 的一個法向量為(1，1，1）.v (0，0，1).所以， cos u， vu v 0 0 1 3u v 3 1 3 .只供學習與交流資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除4 （本題滿分 15 分）如圖，平面 PAC 平面 ABC， ABC是以 AC 為斜邊的等腰直角三角形， E , F , O 分別為 PA，PB， AC 的中點， AC 16， PA PC 10（ I ）設 G 是 OC 的中點，證明： FG / / 平面 BOE；（ II） 證明： 在 ABO 內存在一點 M ， 使 FM 平面 BOE， 并求點 M 到 OA， OB 的距離證明： （I）如圖， 連結 OP，

4、 以 O 為坐標原點， 分別以 OB、 OC、 OP 所在直線為 x 軸， y 軸， z軸，建立空間直角坐標系 O xyz，則 O 0,0,0 , A(0, 8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E(0, 4,3), F 4,0,3 ， 由題意得，G 0,4,0 , 因 OB (8,0,0), OE (0, 4,3) ，因此平面 BOE 的法向量為 n (0,3, 4) ，FG ( 4, 4, 3 得 n FG 0 ，又直線 FG 不在平面 BOE 內，因此有 FG / / 平面 BOE6. （本小題滿分 12 分）如圖， 已知兩個正方行 ABCD 和 DCE

5、F 不在同一平面內， M， N 分別為 AB， DF 的中點 。（I ）若平面 ABCD 平面 DCEF ，求直線 MN 與平面 DCEF 所成角的正值弦；（II ）用反證法證明：直線 ME 與 BN 是兩條異面直線。設正方形 ABCD ， DCEF 的邊長為 2， 以 D 為坐標原點， 分別以射線 DC， DF， DA 為 x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖 .則 M （1,0,2） ,N(0,1,0), 可得 MN =(-1,1,2).又 DA = （0， 0， 2）為平面 DCEF 的法向量，只供學習與交流| MN | DA |2, | NE | | AM |2資料收集于網絡，如有

6、侵權 請聯系網站刪除可得 cos( MN , DA )= MN DA63所以 MN 與平面 DCEF 所成角的正弦值為6cos MN , DA 3 6 分( )假設直線 ME 與 BN 共面， 8 分則 A B 平面 MBEN ，且平面 MBEN 與平面 DCEF 交于 EN由已知，兩正方形不共面，故 AB 平面 DCEF。又 AB/CD ，所以 AB/ 平面 DCEF 。面 EN 為平面 MBEN 與平面 DCEF 的交線，所以 AB/EN 。又 AB/CD/EF ，所以 EN/EF ，這與 EN EF=E 矛盾，故假設不成立。所以 ME 與 BN 不共面，它們是異面直線 . 12 分7.

7、（13 分）如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 1 的正方形， MD 平面 ABCD ，NB 平面 ABCD ，且 MD=NB=1 ， E 為 BC 的中點（ 1） 求異面直線 NE 與 AM 所成角的余弦值（2） 在線段 AN 上是否存在點 S，使得 ES 平面 AMN ？若存在，求線段AS 的長；若不存在，請說明理由17.解析： （1）在如圖，以 D 為坐標原點，建立空間直角坐標 D xyz依題意，得 D(0,0,0) A(1,0,0)M (0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0),N (1,1,1),E( 1 ,1,0)。NE ( 1 ,0, 1),AM ( 1,0,1)cos

8、 NE AM NE AM10，10所以異面直線 NE與 AM 所成角的余弦值為（2）假設在線段 AN 上存在點 S ，使得 ESAN (0,1,1) ,只供學習與交流10.A10平面 AMN .2ES AM 0, 0,22 21 11 1 1 22 2 2 2資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除可設 AS AN (0, , ),又 EA ( , 1,0), ES EA AS ( ,1, ) .1由 ES 平面 AMN ，得 即 2ES AN 0, ( 1) 0.故，此時 AS (0, , ),| AS | .經檢驗，當 AS 時， ES 平面 AMN .2故線段 AN 上存在點 S ，使得

9、 ES 平面 AMN ，此時 AS .28. （本小題滿分 12 分）如圖， 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC, D 、 E 分別為 AA1、 B1C 的中點， DE平面 BCC 1（I）證明： AB AC（II ）設二面角 A BD C 為 60，求 B1C 與平面 BCD 所成的角的大小。分析一 ：求 B1C 與平面 BCD 所成的線面角，只需求點 B1到面 BDC 的距離即可。19 （本小題滿分 12 分， （）問 5 分， （）問 7 分）如題（ 19）圖，在四棱錐 S ABCD 中， AD BC 且 AD CD ；平面 CSD 平面 ABCD， CS DS , CS

10、2AD 2； E 為 BS 的中點，CE 2, AS 3 求：（）點 A 到平面 BCS 的距離；（）二面角 E CD A 的大小（）如答（ 19）圖 2，以 S(O)為坐標原點，射線 OD,OC分別為 x軸， y 軸正向，建立空間坐標系，設 A( xA , yA , zA ) ，因平面 COD即點 A 在 xoz 平面上，因此yA 0， zAAx又12 2從而A（uuv 2AS 3,xA2，0，1）2只供學習與交流平面 ABCD , AD CD , 故AD 平面 CODuuAD 1u uGE 與向量 DA3 3資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除因 AD/BC，故 BC平面 CSD， 即

11、 BCS與平面yOx 重合，從而點 A到平面 BCS的距離為 xA 2 .( ) 易知 C(0,2,0) ， D(,0,0). 因 E 為 BS的中點 .BCS為直角三角形 ,uuv uuv知 BS 2CE 2 2設 B(0,2, Z B )， Z B 0，則 ZA 2，故 B（0， 2， 2），所以 E（0， 1， 1） .在 CD上取點 G，設 G（ x1 , y1 ,0 ），使 GECD .uu uu uu uu由 CD ( 2, 2,0), GE ( x1 , y1 1,1),CD GE2x1 2( y1 1) 0 uu uu uuvu又點 G在直線 CD上，即 CG /CD ，由 C

12、G = （ x1 , y10 故2,0 ），則有x1 y1 2 2 2聯立、，解得 G ( 2 , 4 ,0) ,uuv 2 2故 GE = ( , ,1) . 又由 ADCD，所以二面角 E CDA 的平面角為向量3 3所成的角，記此角為 .uu 2 3 u u uuuv uu因為 GE = ， DA (0,0,1), DA 1,GE DA 1, 所以3cos uuuv uuuu uGE DAGE DA32故所求的二面角的大小為 .6作 AG BD 于 G， 連 GC， 則GCBD ，AGC 為二面角 A BDC 的平面角，AGC 60 . 不 妨 設 AC 2A D A B B D A，G

13、易得 AD設點 B1 到面 BDC 的距離為BCD 所 成 的 角 為3 ， 則 A G 2 , G C 4 . 在 RT ABD 中 ， 由6 .h， B1C 與平面。 利 用只供學習與交流B1C31資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除1S B BC DE 3 1s i n hS BCD h ， 可 求 得 h 2 3 ， 又 可 求 得 B1C 4 313 0 .2即 B1C 與平面 BCD 所成的角為 30 .分析二 ： 作出 B1C 與平面 BCD 所成的角再行求解。 如圖可證得 BC面 AFED 面 BDC 。由分析一易知：四邊形 AFED 為正方形，連面AFED ， 所以AE、

14、 DF ，并設交 點 為 O ， 則 E O 面 B D，C OC 為 EC 在 面 B D C內 的 射 影 。ECO即為所求 。以下略。分析三： 利用空間向量的方法求出面BDC 的法向量 n ，則 B1C 與平面 BCD 所成的角即為 B1C 與法向量 n 的夾角的余角。具體解法詳見高考試題參考答案。總之在目前， 立體幾何中的兩種主要的處理方法： 山的狀況。命題人在這里一定會兼顧雙方的利益。9 （本小題共 14 分）如圖，四棱錐 P ABCD 的底面是正方形， PD傳統方法與向量的方法仍處于各自半壁江底面 ABCD ，點 E 在棱 PB 上 .（）求證：平面 AEC 平面 PDB ；（）當

15、 PD 2 AB 且 E 為 PB 的中點時，求平面 PDB 所成的角的大小 .【解法 2】如圖， 以 D 為原點建立空間直角坐標系設 AB a, PD h ,AE 與D xyz，則A a,0,0 , B a, a,0 , C 0,a,0 , D 0,0,0 , P 0,0, h ，（） AC a ,a,0 , DP 0,0, h , DB a, a,0 ， AC DP 0, AC DB 0，AC DP， AC DB ， AC 平面 PDB，平面 AEC 平面 PDB .只供學習與交流2 21 1 22 2 2資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除（）當 PD2 AB 且 E 為 PB 的中

16、點時，P 0,0, 2a , E a , a, a ，設 AC BD=O ，連接 OE，由（）知 AC 平面 PDB 于 O， AEO 為 AE 與平面 PDB 所的角， EA cos1 a , 2AEO1 a , 2EAEA2 a , EO 0,0, 2 a ，EO 2，EO 2 AOE 45 ，即 AE 與平面 PDB 所成的角的大小為 45 .10. （本小題滿分 13 分， （）小問 7 分， （）小問 6 分）如題（ 18）圖，在五面體 ABCDEF 中， AB/DC ， BAD= ，2CD=AD=2. ，四邊形 ABFE 為平行四邊形， FA 平面 ABCD， FC=3，ED= 7

17、 ，求：（）直線 AB 到平面 EFCD 的距離：（）二面角 F-AD-E 的平面角的正切值，18. （本小題滿分 12 分）如圖 4，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB 2AAD 是 A1 B1 的中點，點 E 在 A1C1 上，且 DE AE。（I） 證明平面 ADE 平面 ACC1A1（II） 求直線 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。解 （I） 如圖所示，由正三棱柱 ABC A1B1C1 的性質知 AA1 平面 A1 B1C1只供學習與交流3= = 。10解得 x=- y，3資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除又 DE 平面 A 1 B 1 C 1 ，所以 DE A

18、A 1 .而 DE AE。AA 1 AE=A 所以 DE 平面 AC C 1 A 1， 又 DE 平面 ADE， 故平面 ADE平面 AC C 1A 1。解法 2 如圖所示，設 O 使 AC 的中點，以 O 為原點建立空間直角坐標系，不妨設A A 1 = 2 ，則 AB=2 ，相關各點的坐標分別是A(0,-1,0)， B （ 3， 0， 0）， C 1 （0， 1， 2 ）， D易知 AB =( 3， 1， 0)， AC1 =(0， 2， 2 )， AD =(設平面 ABC 1 的法向量為 n= （x， y， z） , 則有n AB 3x y 0,n AC1 2y 2z 0,（ ，23， -2

19、1- ， 21，22 ）。2 ）3 z=- 2y，故可取 n=(1， - 3， 6 )。所以， cos (n AD )= n AD 2 3 10n AD 10 3 5由此即知，直線 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值為 。511. （本小題滿分 12 分）如圖 3，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中， AB=4 , A A1 = 7 ,點 D 是 BC 的中點，點 E 在 AC上，且 DE A1E（）證明：平面 A1 DE 平面 ACC1 A1 ;（）求直線 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值。只供學習與交流n37資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除解法 2 如圖所示

20、，設 O 是 AC 的中點，以 O 為原點建立空間直角坐標系，則相關各點的坐標分別是 A(2,0,0,), A1 .(2,0, 7 ), D(-1, 3 ), E(-1,0.0)易知 A1B = （-3， 3， - 7 ）， DE = （0， - 3， 0）， AD = （-3， 3， 0）設 n= （x， y， z）是平面 A1DE 的一個法向量，則uuuv 3 y 03x 3y 7z 0解得 x z, y 0故可取 n= （ 7 ,0,-3，）于是uucos n , ADuun uuADAD3 7=4 2 3218只供學習與交流CD n635AP n 2 6 5 10 63 9 272z

21、0 ，令AM 可得：2yADyA(0, 0, 0)，M (0,2,2) ；設平面2xP(0,0,4) ，ACM 的一4y 0zPM N資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除由此即知，直線 AD 和平面 A1DE 所成的角是正弦為12 （本小題滿分 12 分）在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，218PA 平面 ABCD， PA AD 4，AB 2 . 以 AC 的中點 O 為球心、 AC 為直徑的球面交 PD 于點 M ，交 PC 于點 N .（ 1）求證：平面 ABM 平面 PCD；（2）求直線 CD 與平面 ACM 所成的角的大小；（3）求點 N 到平面 ACM 的距離

22、.方法二：（ 1）同方法一；（2 ）如圖所示，建立空間直角坐標系，則B(2,0,0) ，個法向量 nz1，則C(2,4,0) ， D(0,4,0) ，( x , y , z) ，由 n AC , nn (2, 1,1) 。設所求角為 ，則 sin CD n所以所求角的大小為 arcsin 。（ 3） 由 條 件 可 得 ， AN NC . 在 Rt PAC 中 ，NC PC PN10 NC 5, ， 所以所求距離等于點3 PC 936， BxOCP A P N P C,所 以 PN28 , 則3P 到平面 ACM 距離的 ， 設點 P9到平面 ACM 距離為 h則 hn ，所以所求距離為 h

23、。19 （本小題滿分 12 分）如圖，正方形 ABCD 所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形，AB AE , FA FE , AEF 45（I）求證： EF 平面 BCE ；只供學習與交流, ) (0,2 22 21 1PM 1, , ) ,2 22 21 12 2y2 22 2資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除（II ）設線段 CD 的中點為 P ，在直線 AE 上是否存在一點 M ，使得 PM 平面 BCE ？若存在，請指出點 M 的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；（III ）求二面角 F BD A的大小。( ) 因為 ABE為等腰

24、直角三角形 ,AB=AE,所以 AEAB.又因為平面 ABEF平面 ABCD,AE 平面 ABEF,平面 ABE F平面 ABCD=AB,所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此 ,AD,AB,AE 兩兩垂直 , 以 A 為坐標原點 , 建立 如圖所示的直角坐標系 A-xyz.設 AB=1, 則 AE=1， B （0， 1， 0）， D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因為 FA=FE, AEF = 45 ,所以 AFE= 90 .從而， F (0, 1 , 1 ) .所以 EF (0, 1 , 1) , BE (0, 1,1) , BC

25、 (1,0,0) .1 1EF BE 0 0 , EF BC 0 .2 2所以 EFBE, EFBC.因為 BE 平面 BCE,B CBE=B ,所以 EF平面 BCE.( )存在點 M,當 M為 AE中點時 ,PM平面M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).從而 = ( 1 1于是 PM EF = ( 1, 1 1所以 PM FE, 又 EF平面 BCE， 直線 故 PMM平面 BCE.BCE., ) =0PM不在平面 BCE內， 8 分( ) 設平面 BDF的一個法向量為uuBD （1， 1，0） ，uv uuuv uuuvn 1gBD 0n 1gBF 0n1 ，并設 n1uBF即

26、= （x,y,z） .（0， ，）3 12 2x y 03 1 z0取 y=1，則 x=1， z=3。從而 n1 （1，1，3）。只供學習與交流資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除取平面 ABD ucos(n 1 , n2 )的一個法向量為 n 2 （0， 0， 1）。uv u 。uv un1 gn2 3 3 11n1 n2 11g1 11故二面角 F BD A 的大小為 arccos3 11 。 12 分1114. （本題滿分 14 分）如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 BC AB 2 ,AB BC ,求二面角 B1 A1C C1 的大小。簡答：3第一部分 五年高考薈

27、萃2009 年高考題2005 2008 年高考題解答題1. （2008 全國 19） （本小題滿分 12 分）如圖，正四棱柱 ABCD A1B1C1 D1 中， AA1 2 AB且 C1 E 3EC（）證明： A1C（）求二面角 A1以 D 為坐標原點，射線平面 BED；DE B 的大小DA 為 x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系 D xyz 依題設， B(2，2，0DE (0，2，1)，DB (2，2，0)，A1C ( 2，2， 4)，DA1 (2，0，4)4 ，點 E 在CC 1 上C (0，2，0)， E(0，2，1)， zD 1A1D 1A1DAC 1B1ECBA1 (2，0，4)C

28、1B1只供學習與交流DAxEC ByDE 42ABCD 四邊長2 , M 為222 24 422 22 2資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除（） 證明 因為 AC DB 0， A1C DE 0，1故 A1C BD， A1C DE 又 DB DE D，所以 A1C 平面 DBE（） 解 設向量 n ( x， y， z) 是平面 DA1 E 的法向量，則n DE ， n DA 1故 2y z 0， 2x 4z 0令 y 1，則 z 2， x 4， n (4，1， 2) n A1Cn A1 Cn，A1C 等于二面角 A1cos n, A1CDE B 的平面角，1442所以二面角 A1 B 的大

29、小為 arccos 142. （2008 安徽） 如圖，在四棱錐 O ABCD 中，底面為 1 的菱形， ABC , OA 底面 ABCD , OA4OA 的中點， N 為 BC 的中點（）證明：直線 MN 平面 OCD ；（）求異面直線 AB 與 MD 所成角的大小；（）求點 B 到平面 OCD 的距離。作 AP CD 于點 P,如圖 ,分別以 AB ,AP,AO 所在直線為x, y , z軸建立坐標系 BOMAN CDA(0,0,0), B(1,0,0), P(0, ,0), D (2 2, ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (12 22 2, ,0) ,4 4(

30、1) 證明M N ( 1 , , 1 O), P( 0 ,2, O2 D) ,( , 2 )設平面 OCD 的法向量為 n (x , y , z) ,則 n OP 0,n OD 0只供學習與交流2 22 22即2 222 22 2OB nnAB MD 2 3 3AB MD 13 3 1 3 32 2 2 2 2資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除y 2z 0 x y 2z 0取 z 2 ,解得 n (0, 4, 2) MN n (1 4 , 4 , 1) (0, 4, 2) 0 xMN 平面 OCD(2) 解 設 AB 與 MD 所成的角為 , AB (1,0,0), MDzOMAB N

31、C P( , , 1)Dycos , , AB與 MD 所成角的大小為 .(3) 解 設點 B 到平面 OCD 的距離為 d，則 d 為 OB 在向量 n (0, 4, 2) 上的投影的絕對值 ,由 OB (1,0, 2) , 得 d2 2.所以點 B 到平面 OCD 的距離為3 33. （2008 湖南 17 ） 如圖所示，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 1 的菱形， BCD 60， E 是 CD 的中點， PA底面 ABCD， PA 2.（）證明：平面 PBE 平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小 .如圖所示，以 A 為原點，建立空間

32、直角坐標系 .則相關各點的坐標分別是 A（0， 0， 0）， B （1， 0， 0），C ( , ,0), D ( , ,0), P（0， 0， 2） , E(1, ,0).3（） 證明 因為 BE (0, ,0) ，2平面 PAB 的一個法向量是 n0 (0,1,0)，所以 BE和n0 共線 .從而 BE平面 PAB .又因為 BE 平面 PBE，故平面 PBE 平面 PAB.只供學習與交流2的n2 AD 03 1 32 2 2n1 PB 0,x2 y2 0 z2 0.n1 BE 01550 x1 y2 0 z2 0.n2 PA 0,資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除( ) 解 易知

33、PB (1,0, 2), BE (0, ，0）， PA (0,0, 2), AD ( , ,0)設 n1 ( x1 , y1 , z1 )是平面 PBE的一個法向量，則由 得x1 0 y1 2z1 0,3 所以 y1 0,x1 2z1.故可取 n1 (2,0,1).設 n2 ( x2 , y2 , z2 ) 是 平 面 PAD 的 一 個 法 向 量 ， 則 由 得0 x2 0 y2 2z2 0,1 3 所以 z2 0,x2 3y2 .故可取 n2 ( 3, 1,0).2 2于是， cos n1 , n2n1 n2n1 n22 35 215.5故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大

34、小是 arccos .4. （2008 福建 18）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，則面 PAD底面ABCD ，側棱 PA= PD 2 ，底面 ABCD 為直角梯形，其中 BC AD ,ABAD ,AD=2AB=2BC=2,O 為 AD 中點 .（）求證： PO平面 ABCD；（）求異面直線 PD 與 CD 所成角的大小；（） 線段 AD 上是否存在點 Q， 使得它到平面 PCD 的距離為 3 ？若存在， 求出 AQ2 QD值；若不存在，請說明理由 .（） 證明 在 PAD 中 PA=PD ,O 為 AD 中點，所以 PO AD ,又側面 PAD底面 ABCD ,平面 PAD 平面 ABCD

35、 =AD , PO所以 PO平面 ABCD .( ) 解 以 O為坐標原點， OC、OD、OP 的方向分別為 x 軸、z 軸的正方向，建立空間直角坐標系 O-xyz, 依題意，易得A(0,-1,0), B(1,-1,0), C(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1),平面 PAD，y 軸、只供學習與交流資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除所以 CD（ 1，1，0），PB（ 1， 1， 1） .6所以異面直線 PB與 CD所成的角是 arccos ，3( ) 解 假設存在點 Q，使得它到平面 PCD的距離為3，2由( ) 知 CP ( 1,0,1), CD ( 1,1,0).3

36、 1，得2 3n CP 0,n設平面 PCD的法向量為則 所以CD 0,x0 z0 0,n=( x0 , y0, z0).即 x0 y0 z0 ， x0 y0 0,CQ nn1 5取 x0=1, 得平面 PCD的一個法向量為 n=(1,1,1).設 Q(0, y,0)( 1 y 1), CQ ( 1, y,0), 由解 y=- 或 y= ( 舍去 )，2 21 3此時 AQ , QD ，所以存在點 Q滿足題意，此時2 2AQ 1.QD 35. （2007 福建理? 18） 如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長都為 2， D 為 CC 1 中點。（）求證： AB1 面 A1BD；（）

37、求二面角 AA1D B 的大小；（）求點 C 到平面 A1BD 的距離；（） 證明 取 BC 中點 O，連結 AOABC 為正三角形， AO BC在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1 B1，AD 平面 BCC 1B1取 B1C1 中點 O1 ，以 O 為原點， OB， OO1 ， OA 的方向為 x， y，直角坐標系，則 B(1，0，0)， D( 1，1，0)， A1 (0，2， 3)， A(0，0， 3)AB1 (1，2， 3)， BD ( 2，1，0)， BA1 ( 1，2， 3)AB BD122 0 0， AB1 BA11 4 3 0，AB1 BD， AB1

38、 BA1 A只供學習與交流y3,2z軸的正方向建立空間， B1 (1，2，0)，zA1FCC1Dn AB1 2 2 2 44.資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除AB1 平面 A1BD （） 解 設平面 A1AD 的法向量為 n (x， y， z)AD ( 1，1， 3)， AA1 (0，2，0)n AD， n AA1 ，n AD 0， x y 3z 0， y 0，n AA1 0， 2y 0， x 3z令 z 1得 n ( 3，0，1) 為平面 A1 AD 的一個法向量由（）知 AB1 平面 A1BD ，AB1 為平面 A1 BD 的法向量cos n， AB1 n AB1 3 3 6 二面

39、角 A A1D B的大小為 arccos 6（） 解 由（） ， AB1 為平面 A1BD 法向量，BC ( 2，0，0)，AB1 (1，2， 3) 點 C 到平面 A1BD 的距離 dBC AB122AB12 226. （2006 廣東卷） 如圖所示， AF、 DE 分別是 O、 O1 的直徑 .AD 與兩圓所在的平面均垂直， AD 8,BC 是 O 的直徑，AB AC 6， OE/AD .( )求二面角 B AD F 的大小；( )求直線 BD 與 EF 所成的角 .解 ( )AD 與兩圓所在的平面均垂直 ,AD AB, AD AF ,故 BAD 是二面角 B AD F 的平面角，0依題意

40、可知， ABCD 是正方形，所以 BAD 45即二面角 B AD F 的大小為 450.( )以 O 為原點， BC、 AF、 OE 所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示） ，則O （0， 0， 0）， A （0， 3 2， 0）， B （ 3 2， 0， 0） ,D （0， 3 2， 8）， E（0， 0， 8），F （0， 3 2， 0）只供學習與交流| BD | FE |BD FE8210.| n | 3 3資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除所以， BD ( 3 2 , 3 2 ,8), FE (0, 3 2,8)cos BD , EF設異面直線 BD 與 EF 所成角為

41、則 cos | cos BD , EF |0 18100，8210648282.10直線 BD 與 EF 所成的角為 arccos7.（2005 江西） 如圖， 在長方體 ABCD A1B1C 1D 1 中， AD=AA1=1， AB=2，點 E 在棱 AB 上移動 .（ 1）證明： D 1EA1D；（2）當 E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 1 的距離；D 1A 1C 1B 1（3） AE 等于何值時，二面角 D1EC D 的大小為 .4A以 D 為坐標原點，直線 DA， DC， DD 1 分別為 x, y , z軸，建立空間直角坐標系，設 AE=x，則 A1 （1， 0， 1

42、）， D 1 （0， 0， 1）， E （1， x， 0）， A （1， 0， 0）， C （0， 2， HYPERLINK l _bookmark1 0）（ 1） 證明 因為DA1 , D1 E (1,0,1), (1, x , 1) 0, 所以DA1 D1 E.（2） 解 因為 E 為 AB 的中點，則 E （1， 1， 0），a 2b 0 a 2ba c 0 a c則從而 D1 E (1,1, 1), AC ( 1,2,0)，AD1 ( 1,0,1)，設平面 ACD 1 的法向量為 n (a, b, c)，n AC 0,n AD1 0,也即 ，得 ，從而 nDzD 1A 1o Ax E(

43、2,1,2) ，所以點 E 到平面CDE BC 1B 1C yBAD 1 C 的距離為h | D1 E n | 2 1 2 1（3） 解 設平面 D 1EC 的法向量 n (a, b, c)， CE (1, x 2,0), D 1C (0,2, 1), DD1 (0,0,1),只供學習與交流由,依題意 cos2m n資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除n D1C 0,nCE 02b c 0 a b( x 2) 0.令 b=1, c=2,a=2 x， n (2 x,1,2).| n DD1 | 24 | n | | DD1 | 2 x1 2 3 （不合，舍去） ， x2AE = 2 3時，二

44、面角 D 1EC D2( x 2) 52 3 .的大小為 .42.2解答題1.(湖南省衡陽市八中第二部分 三年聯考匯編2009 年聯考題2009 屆高三第三次月考試題 )如圖， P ABCD 是正四棱錐， ABCD A1 B1C1D1 是正方體，其中 AB 2, PA 6（ 1）求證： PA B1D1；（2 ）求平面 PAD 與平面 BDD 1B1 所成的銳二面角 的余弦值；（3 ）求 B1 到平面 PAD 的距離以 A1 B1 為 x軸， A1 D1 為 y 軸， A1 A為 z軸建立空間直角坐標系（ 1） 證明 設 E 是 BD 的中點， P ABCD 是正四棱錐， PE ABCD又 AB

45、 2, PA 6， PE 2 P(1,1,4) B1 D1 ( 2,2,0), AP (1,1,2) B1D1 AP 0 ， 即 PA B1D1 。（2） 解 設平面 PADAD (0, 2,0), AP y 0, x 2zn (1,1,0) cos只供學習與交流的法向量是 m(1,1,2)0 取 z 1m n m, n( x, y , z)，得 m ( 2,0,1) ， 又 平 面 BDD 1B1 的 法 向 量 是105， cos。105（3） 解 B1 A ( 2 , 0 , 2 ) B1 到平面 PAD 的距離 dC| n | | p | 6 2即nd= ，資料收集于網絡，如有侵權 請

46、聯系網站刪除B1A mm 2. (陜西省西安鐵一中 2009 屆高三 12 月月考 )如圖，邊長為 2 的等邊 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC 2 2，M 為 BC 的中點( )證明： AM PM ；( )求二面角 P AM D 的大小；()求點 D 到平面 AMP 的距離。( ) 證明 以 D 點為原點，分別以直線 DA、 DC 為 x 軸、 y 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 D xyz ,依題意，可得D (0,0 ,0), P( 0,1, 3 ), C (0 ,2 ,0), A(2 2 ,0,0), M ( 2 ,2, 0) PM ( 2, 2,0) (0,

47、1, 3) ( 2,1, 3)AM ( 2, 2,0) (2 2,0,0) ( 2, 2,0) x PM AM ( 2,1, 3) ( 2, 2,0) 065。5 PDAzBPDMBCMy即 PM AM , AM PM .( )解 設 n ( x, y , z) ，且 n 平面 PAM ，則n PM 0 ( x, y , z) ( 2 ,1, 3) 0AM 0 ( x, y , z) ( 2 ,2 ,0) 02x y 3z 0 z 3y2x 2y 0 x 2y取 y 1 ，得 n ( 2,1, 3)取 p (0,0,1) ，顯然 p 平面 ABCD， cos n, p n p 3 2結合圖形可

48、知，二面角 PAM D 為 45；() 設點 D 到平面 PAM 的距離為 d ，由 ( )可知 n ( 2,1, 3) 與平面 PAM 垂直，則| DA n | | (2 2 ,0,0) ( 2 ,1, 3 ) | 2 6| n | ( 2 )2 12 ( 3) 2 3只供學習與交流2 62m 1 解得 m ，22 22 ，0 1 1 0資料收集于網絡，如有侵權 請聯系網站刪除即點 D 到平面 PAM 的距離為33.( 廈門市第二外國語學校 2008 2009 學年高三數學第四次月考ABCD A B C D 的對角線 B D 上， HDA = 600（）求 DH 與 CC（）求 DH 與平面

49、解：以 D 為原點，設 H ( m， m，1)(m所成角的大小；AA D D 所成角的大小DA為單位長建立空間直角坐標系 D xyz0)則 DA (1，0，0)， CC (0，0，1) 連結 BD， B D 設 DH (m， m，1)(m 0) ，由已知 DH，DA 60 ，由 DA DH DA DH cos DA，DH) 已知點 H 在正方體zADAxH CBC yB可得 2m 2 2所以 DH2， 2，1 （）因為 cos DH，CC2 20 0 1 12 21 22所以 DH，CC 45 即 DH 與 CC 所成的角為 45 （）平面 AA D D 的一個法向量是 DC (0，1，0)因為 cos DH，DC2 22 2 1， 所以 DH，DC1 2 260 可得 DH 與