1、中學(xué)數(shù)學(xué)中的發(fā)散思維能力的培養(yǎng)郭文東（甘肅 環(huán)縣 毛井初級(jí)中學(xué) 745718）摘要:通過對(duì)發(fā)散思維能力的探討,從橫向思維逆向思維多向思維等幾方面,給出了發(fā)散思維意識(shí)精神能力培養(yǎng)的訓(xùn)練途徑和方法.關(guān)鍵詞: 發(fā)散思維 橫向思維 逆向思維 多向思維 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的過程,是一個(gè)思維活動(dòng)的過程.在該過程中不僅涉及思維的形式方法,而且還涉及思維的內(nèi)容,即數(shù)學(xué)的對(duì)象性質(zhì),以及數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和它的思想方法等.因此,確切地說,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題時(shí)所運(yùn)用的是數(shù)學(xué)思維.所謂數(shù)學(xué)思維,就是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為思維對(duì)象,以數(shù)學(xué)的語言和符號(hào)為思維的載體,并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.1無論數(shù)學(xué)智力,數(shù)學(xué)

2、的精神、思想和方法,數(shù)學(xué)素養(yǎng)及數(shù)學(xué)素質(zhì),數(shù)學(xué)思維都是它們的構(gòu)成要素,是它們不可缺少的重要成分.徐利治教授曾指出:“一般來說,數(shù)學(xué)上的新思想新觀念和新方法往往來源于放散思維.所以按照現(xiàn)代心理學(xué)家的見解,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造能力的大小應(yīng)和他的思維能力成正比.而創(chuàng)造能力等于知識(shí)量和發(fā)散思維能力之積”.2新課標(biāo)明確指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)中,發(fā)散思維能力是培養(yǎng)能力的核心.”一 發(fā)散思維及其特征發(fā)散思維即求異思維,它從一點(diǎn)出發(fā)沿著多方向達(dá)到思維目標(biāo).用圖表示,它就是從一點(diǎn)出發(fā)向知識(shí)網(wǎng)絡(luò)空間發(fā)出的一束射線,使之與兩個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間形成聯(lián)系,它包含橫向思維、逆向思維及多向思維. 發(fā)散思維具有多向性變通性流暢性獨(dú)特性的特點(diǎn),

3、即思考問題時(shí)注重多思路多方案,解決問題時(shí)注重多途徑多方式.它對(duì)同一個(gè)問題,從不同的方向不同的側(cè)面不同的層次,橫向拓展,逆向深入,采用探索轉(zhuǎn)化變換遷移構(gòu)造變形組合分解等手法,開啟學(xué)生心扉,激發(fā)學(xué)生潛能,提高學(xué)生素質(zhì),這對(duì)造就創(chuàng)新性人才至關(guān)重要.二 發(fā)散思維能力的培養(yǎng)橫向思維是發(fā)散思維的有效形式橫向思維又稱側(cè)向思維,它是從知識(shí)之間的橫向相似聯(lián)系出發(fā),即從數(shù)學(xué)的不同分支:代數(shù)幾何三角或分析等角度去考察對(duì)象,或者從不同學(xué)科知識(shí),如物理生物等有關(guān)原理或規(guī)律出發(fā)去模擬仿造或分析問題的思維方式.橫向思維利用了事物之間的相似性.它需要不同分支或不同學(xué)科知識(shí)與方法的開放性,以及解決問題的靈活性.3例 1 求 分

4、析 用滾雪球發(fā)求余積.解 原式 .例 2 求分析 用裂項(xiàng)相消法求正弦和. 即將的分子乘以各項(xiàng),將積化和即出現(xiàn)裂項(xiàng),相消后再化積.解 原式 .鼓勵(lì)超常規(guī)逆向思維 逆向思維是相對(duì)于正向思維而言的,兩者的區(qū)別主要在于思考問題的思路方向不同.正向思維思考問題,一般都是從正面的已知的條件出發(fā),一步一步地探求結(jié)論.而逆向思維思考問題的思路方向則是相反的,是由目標(biāo)至條件的定向思考的一種發(fā)散思維.在解決問題的過程中,它要求正面思路一旦受阻時(shí)能夠迅速的轉(zhuǎn)移到相反的思路上, 從而解決問題.它是思維靈活的一種表現(xiàn).逆向思維是擺脫思維定勢,突破舊思想框架,產(chǎn)生新思想,發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式.3例3 已知在中, ,且

5、和是方程的兩根,若三角形的面積為,求這個(gè)三角形的三內(nèi)角及三邊. 分析 本題由韋達(dá)定理求出之值,再逆用面積公式,應(yīng)用正弦定理求出之值. 解 設(shè), 則 , . 依題意, 由韋達(dá)定理, 得 解得 , , , . 由 =, . 再由正弦定理, 得 , , .例4 已知 , . 求的值. 分析 由 , 得 , 反用倍角正弦公式使之化簡 解 , . 又 , 故 , 于是得 , . 激發(fā)展開多向思維多向思維是發(fā)散思維的典型形式.所謂多向思維,就是盡可能多的方向來考慮同一問題,使思維不局限于一種模式或一個(gè)方面,從而獲得多種解答或多種結(jié)果的思維方式.多向思維在解決問題時(shí)有三種基本形式,即“一題多解”“一法多用”

6、(或“多題一法”)以及“一題多變”.從思維方式的結(jié)構(gòu)來看,“一題多解”是命題角度的集中-集中目標(biāo)是證題或解題,解法角度的發(fā)散-發(fā)散對(duì)象是解題方法.“一法多用”是命題角度的發(fā)散,解法角度的集中.而“一題多變”則是命題角度和解法角度兩個(gè)方面的同時(shí)發(fā)散.由此可見,“一題多變”的發(fā)散性更強(qiáng).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中恰當(dāng)?shù)剡m時(shí)地加以運(yùn)用,更容易誘發(fā)和培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.3 例5 已知, 求證: .分析一: 用分析法.證法一: (1)當(dāng)時(shí),顯然成立. (2)當(dāng)時(shí),欲證原不等式成立, 只需證 即證 即證 即證 因?yàn)?,所以上式恒成立, 綜合(1)(2)可知: 原不等式成立.分析二: 用換元法. 證法二: (1)當(dāng)時(shí),原不等

7、式成立. (2)當(dāng)時(shí), 欲證原不等式成立, 只需證 即證 注意到 與 和 的結(jié)構(gòu)特征很類同，不妨設(shè) , 則 , 故 所以 . 例6 已知 ,. 求證: . 證法一: 采用分析法證明該問題. 證法二: 構(gòu)造復(fù)數(shù). 設(shè) ,. 則 , ,. 因?yàn)?, 所以 . 證法三: 令 , , 則 . 因?yàn)?, 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào). 所以 . 4、 集中思維與發(fā)散思維的協(xié)調(diào)發(fā)展集中思維又稱收斂思維,它是調(diào)動(dòng)各種信息(已知的或回憶的),按照常規(guī)習(xí)慣尋求解決問題整理知識(shí)或總結(jié)方法的思維方式.它的特點(diǎn)是思路集中,所有信息都朝著一個(gè)目標(biāo)深入發(fā)展以生成新信息.集中思維在思維方向上具有定向性層次性和聚合性(或收斂性),在思

8、維內(nèi)容上具有求同性和專注性.它是深刻地理解概念,正確地解決問題,完整地掌握知識(shí)系統(tǒng)的重要思維方式.3 培養(yǎng)集中思維能力和發(fā)散思維能力是相輔相成的,不可偏廢的.集中思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)發(fā)散思維的前提,沒有集中就沒有發(fā)散,發(fā)散是在集中的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.只有通過“發(fā)散-集中-再發(fā)散-再集中”,這種思維形式的循環(huán)反復(fù),才能使發(fā)散思維能力得到形成并向更高水平發(fā)展. 培養(yǎng)發(fā)散思維是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程,不能急于求成.發(fā)散思維的形成既要有適當(dāng)?shù)膯栴}情境做基礎(chǔ),又要有強(qiáng)烈的求異精神做推動(dòng),而這一切都需要有完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)做后盾,以豐富的聯(lián)想做翅膀.發(fā)散思維的訓(xùn)練是一個(gè)長期的,潛移默化的過程.只有在平時(shí)的學(xué)習(xí)中以點(diǎn)帶面,循序漸進(jìn),求深求廣.多加訓(xùn)練才能有好的效果.發(fā)散思維能使人獨(dú)辟蹊徑,開創(chuàng)一個(gè)新天地;發(fā)散思維能使人浮想聯(lián)翩,把似乎毫不相干的東西聯(lián)系起來,產(chǎn)生一個(gè)開拓性的領(lǐng)域.