1、第二章 極限與連續第一節 數列的極限數列的極限第二節 函數的極限函數的極限第三節 極限運算法則、兩個重要極限極限運算法則、兩個重要極限第四節 無窮小與無窮大無窮小與無窮大第五節第五節 函數的連續性函數的連續性第六節第六節 閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質第一節 數列的極限數列的極限一、數列極限的概念一、數列極限的概念二、數列極限的幾何意義數列極限的性二、數列極限的幾何意義數列極限的性質質三、小結三、小結R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS一、數列極限的概念定義定義:按自然數按自然數, 3 ,

2、2 , 1編號依次排列的一列數編號依次排列的一列數 ,21nxxx 稱為無窮數列稱為無窮數列,簡稱數列簡稱數列, 記為記為nx.其中的每其中的每個數稱為數列的項個數稱為數列的項,nx稱為通項稱為通項(一般項一般項). 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,)21( ,81,41,21n 2n)21(n ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n注意：注意：1.數列對應著數軸上一個點列數列對應著數軸上一個點列.1x2x3x4xnx2.數列可看作自變量為正整數數列可看作自變量為正整數n的函數的函數 Nnnfxn),(;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,222,22

3、,2 .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數列觀察數列 nnn問題問題:當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數值確定的數值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題:如何用數學語言刻劃如何用數學語言刻劃“無限接近無限接近” ？ 1nxnnn11)1(1 ,1001給定給定,10011 n由由,100時時只只要要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011

4、nx有有, 0 給給定定,)1(時時只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定定義義 設設 nx 為為一一數數列列，如如果果存存在在常常數數a，對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數數N, ,使使得得當當Nn 時時, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那么么就就稱稱常常數數 a是是數數列列 nx 的的極極限限, ,或或者者稱稱數數列列 nx 收收斂斂于于 a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn 如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數列是發散的就說數列是發散的.注意：注意：;. 1的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃

5、了了不不等等式式axaxnn .2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數數 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個內內都都落落在在所所有有的的點點時時當當NaaxNnn :定定義義N 其中其中;:每每一一個個或或任任給給的的 .:至至少少有有一一個個或或存存在在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒恒有有時時使使數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1

6、 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數數設設證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limCxnn 說明說明:常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.小結小結: 用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnl

7、n qn,lnlnqN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 1、唯一性、唯一性定理定理1 1 如果數列收斂，則數列的極限只有一個如果數列收斂，則數列的極限只有一個. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使得使得正整數正整數., 021NN;1 axNnn時時恒恒有有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba ,故收斂數列極限唯一故收斂數

8、列極限唯一.二、數列極限的性質二、數列極限的性質2、有界性、有界性定定義義: 對對數數列列nx, 若若存存在在正正數數M, 使使得得一一切切自自然然數數n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 則則稱稱數數列列nx有有界界, 否否則則, 稱稱為為無無界界. 例如例如,;1 nnxn數數列列.2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區區間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理2 2 如果數列收斂，則數列一定有界如果數列收斂，則數列一定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 ax

9、an即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發散無界數列必定發散. .注意：有界數列也可能發散注意：有界數列也可能發散.)1(1是是有有界界數數列列，且且發發散散例例如如數數列列 nnx3.收斂數列的保號性那那么么）（或或且且如如果果定定理理,00,limaaaxnx30, 0nxNnN時時，都都有有當當存存在在正正整整數數).0nx（或或0222, 0,20 aaaxaaxNnNaann從從而而時時，有有當當正正整整數數知知對對的的定

10、定義義，為為例例證證明明。由由數數列列極極限限以以證證).0(0,lim),0(0aaaxxxxnnnnn或或那那么么且且或或從從某某項項起起有有如如果果數數列列推推論論. 003, 0,max. 0, 0, 0lim. 0212211axxNnNNNxNnNaxxNnNxnnnnnnn，引引起起矛矛盾盾。所所以以必必有有，有有而而由由定定理理時時，由由假假定定有有當當取取時時，有有當當正正整整數數知知，則則由由定定理理現現用用反反證證法法證證明明。若若時時有有項項起起，即即從從第第設設數數列列證證34、子數列的收斂性、子數列的收斂性 的的子子數數列列（或或子子列列）的的一一個個數數列列稱稱為

11、為原原數數列列到到中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得這這些些項項在在原原數數列列保保持持中中任任意意抽抽取取無無限限多多項項并并定定義義：在在數數列列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk項項，顯顯然然，中中卻卻是是第第在在原原數數列列而而項項，是是第第中中，一一般般項項在在子子數數列列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收斂數列的任一子數列也收斂且極限收斂數列的任一子數列也收斂且極限相同相同證證 的的任任一一子子數數列列是是數數列列設設數數列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使使,NK 取取,時時

12、則當則當Kk .NnnnNKk. axkn.limaxknk 證證畢畢三、小結三、小結數列數列: :研究其變化規律研究其變化規律;數列極限數列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數列的性質收斂數列的性質: :唯一性、有界性、保號性、子數列的收斂性唯一性、有界性、保號性、子數列的收斂性.表表示示的的）的的過過程程是是用用時時，當當NnnaxNnNaxnnn(, 0, 0lim)(nfxxnnanfNnNanfaxnnn)(, 0, 0)(lim,lim時時，當當即即第二節 函數的極限函數的極限一、自變量趨向有限值時函數的極限二、自變量趨向無窮大時函數的極限三、

13、函數極限的性質四、極限存在準則一、自變量趨向有限值時函數的極限一、自變量趨向有限值時函數的極限問題問題: :函數函數)(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應對應函數值函數值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .0)()(0000表表示示的的過過程程，可可用用即即滿滿足足上上式式即即可可對對應應的的的的只只要要求求充充分分接接近近的的過過程程中中實實現現的的，是是在在無無限限接接近近于于xxxxxfxxxxAxfx0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現現xx 定定義義 2 2 如如果果對對于

14、于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多 么么小小) ), ,總總存存在在正正數數 , ,使使得得對對于于適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切 x, ,對對應應的的函函數數值值)(xf都都 滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數數 A就就叫叫函函數數)(xf當當0 xx 時時的的極極限限, ,記記作作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區域內的帶形區域內寬為寬為為中心線

15、為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數函數域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數數極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數數 例例1).( ,lim0為為常常數數證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成成立立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當當 xx例例2.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAxf ,成成立立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx證

16、證明明證證211)(2 xxAxf, 0 對對于于, 只只要要取取,00時時當當 xx函數在點函數在點x= -1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)(lim,0, 10,)(02 xfxxxxexfxx證證明明設設兩種情況分別討論。兩種情況分別討論。和和需要分需要分00 xx,0 xx從從左左側側無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側側無無限限趨趨近近; 00 xx記作記作左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限.)(, 0, 0

17、00 Axfxxx恒恒有有時時使使當當000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 0000limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例4證證1)1(lim0 xxxxxxx0000limlim 11lim00 x.1)(時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxxf二、自變量趨向無窮大時函數的極

18、限二、自變量趨向無窮大時函數的極限問題問題: :函數函數)(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對應對應函數值函數值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 01)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxfx 問題問題: 如何用數學語言刻劃函數如何用數學語言刻劃函數“無限接近無限接近”.定定義義 1 1 設設函函數數)(xf當當| x大大于于某某一一正正數數時時有有定定義義。如如果果存存在在常常數數A A, ,對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在

19、著著正正數數X, ,使使得得當當x滿滿足足不不等等式式Xx 時時，, ,所所對對應應的的函函數數值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那么么常常數數A就就叫叫做做函函數數)(xf當當 x時時的的極極限限, ,記記作作 )()()(lim xAxfAxfx當當或或 定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: A

20、xfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的的帶帶形形區區域域內內寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數數時時或或當當 AyxfyXxXxA例例5. 01lim xx證明證明證證xx101 x1 X1 , 0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,01 x. 01lim xx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數是函數則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 三、函數極限的性質三、函數極限的性質定定 理理 2 2 （ 函函 數數 極極 限限 的的

21、 局局 部部 有有 界界 性性 ） 若若.| )(|0, 00)(lim00MxfxxMAxfxx 時時，有有使使得得當當和和，那那么么存存在在常常數數 定定理理 1（函函數數極極限限的的唯唯一一性性） 若若)(lim0 xfxx存存在在,則則極極限限唯唯一一. 即可證得。即可證得。，證明思路：取證明思路：取, 1|1 AM).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理3 3 ( (函數極限的保號性函數極限的保號性) ).0(0,)(lim),0)(0)(00 AAAxfxfxfxxx或或則則且且或或的的某某一一去去心心鄰

22、鄰域域內內若若在在推論推論)(lim)(lim)(),(,)()(lim0000 xfxfxfNnxxxxfxxfxxnnnnnxx 必必收收斂斂，且且么么相相應應的的函函數數值值數數列列那那且且滿滿足足：的的數數列列一一收收斂斂于于的的定定義義域域內內任任為為函函數數存存在在，如如果果定理定理4(函數極限與數列極限的關系函數極限與數列極限的關系)證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當則則Axfxx )(lim0設設.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當當對對上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又

23、例例6.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、極限存在準則四、極限存在準則準準則則 如如果果數數列列nnyx ,及及 nz滿滿足足下下列列條條件件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那么么數數列列 nx 的的極極限限存存在在, , 且且ax

24、nn lim. . 證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN,1 ayNnn有有時時當當時時，則則當當取取NnNNN ,max21有有時時當當,Nn , ayan,2 azNnn有有時時當當, azan上面兩個不等式同時成立上面兩個不等式同時成立,即即, azxyannn, axn即即.limaxnn 上述數列極限存在準則可以推廣到函數的極限。上述數列極限存在準則可以推廣到函數的極限。準則準則 如果如果 ,)(lim,)(lim)2(),()()()|)(,()1()(0)(00AxhAxgxhxfxgMxrxUxxxxxxxo 時，時，或或當當 那么那么)(lim)(0 xfx

25、xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.)()(),()(的的極極限限容容易易求求出出與與或或與與并并且且與與或或與與鍵鍵是是構構造造出出利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關xhxgzyxhxgzynnnn準則準則 I和和準則準則 I稱為稱為夾逼準則夾逼準則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準則得由夾逼準則得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調有界準則單調有界準則滿滿足足條

26、條件件如如果果數數列列nx,121 nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數列單調數列準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數列證明數列nxn 證證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx思考題思

27、考題試問函數試問函數 0,50,100,sin)(2xxxxxxxf在在0 x處的左、右極限處的左、右極限是否存在？當是否存在？當0 x時，時，)(xf的極限是否存在？的極限是否存在？ 思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 0sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第三節 極限運算法則、兩個重要極限運算法則、兩個重要極限極限一、極限運算法則一、極限運算法則二、例題二、例題三、兩個重要極限三、兩個重要極限1 1、無窮小的運算性質、無窮小

28、的運算性質: :定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍有限個無窮小的代數和仍是無窮小是無窮小.證證,時時的的兩兩個個無無窮窮小小是是當當及及設設 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當當Nx;22 時時恒恒有有當當Nx,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nx 22 , )(0 x一、極限運算法則一、極限運算法則注意注意無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小. .是是無無窮窮小小，時時例例如如nn1, .11不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn定理定理2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是

29、無窮小.證證內有界，內有界，在在設函數設函數),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時時使得當使得當則則,0時時的的無無窮窮小小是是當當又又設設xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有時時使使得得當當推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒恒有有時時則則當當,00 xx uuMM , .,0為為無無窮窮小小時時當當 uxxxxxxx1arctan,

30、1sin,0,2時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小推論推論3可推廣到任意個無窮小的乘積的情形。可推廣到任意個無窮小的乘積的情形。定理定理3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得2.極限的四則運算極限的四則運算)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )

31、()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數數而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立.)(lim)(lim,)(),(, 0)(lim)(lim)()()()(40000000000AufxgfuxgxUxAufuxgxxg

32、fxguufyxgfyuuxxuuxx 則則時，有時，有當當且存在且存在，去心鄰域內有定義，若去心鄰域內有定義，若的某個的某個在在復合而成，復合而成，與與是由是由法則）設函數法則）設函數（復合函數的極限運算（復合函數的極限運算定理定理)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(xgu 令令)(lim00 xguxx 意義：意義：3.3.復合函數的極限運算法則復合函數的極限運算法則二、例題二、例題例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim2

33、32 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03

34、1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無無窮窮小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(

35、型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結小結: :為非負整數時有為非負整數時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個

36、無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6).(lim,0, 10,)(02xfxxxxexfxx 求求設設解解兩兩個個單單側側極極限限為為是是函函數數的的分分段段點點 ,0 x)(lim)(lim00 xexfxxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例例7 7.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxa

37、xax 0 323203limauuaxu 令令思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤AC三、兩個重要極限三、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO圓圓心心角角（如如右右圖圖）作作單單位位圓圓,tan

38、,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(limnnnx)11( 設設 21! 2

39、)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n12132112111 nn, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim

40、)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limtttttttt)1(lim)1(lim 例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211

41、()211(lim xxxx原原式式.2e 第四節 無窮小與無窮大無窮小與無窮大一、無窮小一、無窮小二、無窮小的比較與等價無窮小二、無窮小的比較與等價無窮小三、無窮大三、無窮大四、無窮小與無窮大的關系四、無窮小與無窮大的關系一、無窮小定定義義 1 1 如如果果函函數數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時時的的極極限限為為零零，那那么么 稱稱函函數數)(xf為為當當0 xx ( (或或 x) )時時的的無無窮窮小小。 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數數xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數函數 xx, 0)1(lim n

42、nn.)1(時時的的無無窮窮小小是是當當數數列列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數）零是可以作為無窮小的唯一的數.證證 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當當0 xx 時時的的無無窮窮小小.)(, 0lim)(,)(0, 0, 0,)(lim.000 AxfAxfAxfxxAxfxxxx且且則則令令時時，有有使使當當則則設設必必要要性性.)(lim,)(0, 0, 0, 0lim)(, 0lim)(.0000AxfAxfxxAxfAAxfxxxxxx 故故時時

43、，有有使使當當所所以以，因因為為于于是是是是常常數數，其其中中設設充充分分性性二、無窮小的比較二、無窮小的比較等價無窮小等價無窮小例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 由上面結果可看出，同時無窮小由上面結果可看出，同時無窮小, 但是趨但是趨向于零的向于零的“快慢快慢”程度卻有不同程度卻有不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在；記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比，就就說說如如果果)(,0

44、lim)1( o定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設設;, 0lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 C低低階階的的無無窮窮小小是是比比，就就說說如如果果 lim)(., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高階階的的無無窮窮小小是是比比時時，當當xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等價價無無窮窮小小與與時時，當當xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，;, 1lim)5( 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與就

45、說就說如果如果例例1 1.sintan,0:的的三三階階無無窮窮小小為為時時當當證證明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx ).(1 o為為必要條件必要條件是等價無窮小的的充分是等價無窮小的的充分與與定理定理證證必要性必要性，設設 1limlim ，0 ，即即因因此此)()( oo充分性充分性設設)( o )(limlimo）（ )(limo，1 因因此此 例例2 因為因為),(sinxoxx ).(21cos

46、122xoxx ,0時時當當 x常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax,tan,sinxxxx時有時有當當0.21cos1,arcsin2 xxxxx),(tanxoxx ),(arcsinxoxx 例例3 3解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當當uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時時，

47、即即，當當定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 例例4 4.2cos13sinlim20 xxx 求求解解.)2(212cos1 ,33sin,02xxxxx 時時當當29)2(21)3(lim220 xxx原式原式例例5 5.2cos2sin1cossin1lim0 xxxxx 求求解解21010121sincos2sin22coslim21)sin(cos)2sin22(cos2lim)sin(cossin2)2sin22(cos2sin2limsin2cossin22sin

48、22cos2sin2lim000220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原式式注意：只有極限式中的因子才可再求極限時作等注意：只有極限式中的因子才可再求極限時作等價無窮小代換價無窮小代換三、無窮大三、無窮大定義定義 2 2 設函數設函數)(xf在在0 x某一去心鄰域內有定義（或某一去心鄰域內有定義（或 x大于某一正數時有定義） 如果對于任意給定的正數大于某一正數時有定義） 如果對于任意給定的正數M( (不論它多么大不論它多么大),),總存在正數總存在正數 ( (或正數或正數X),),使得使得對于適合不等式對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,

49、對應的函數值對應的函數值)(xf總滿足不等式總滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函則稱函數數)(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮大時為無窮大, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數混淆不能與很大的數混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認認為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx.,1s

50、in1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個個無無界界變變量量時時當當例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數是函

51、數則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy四、無窮小與無窮大的關系定理定理2 2 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中, ,無窮大的倒無窮大的倒數為無窮小數為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大恒不為零的無窮小的倒數為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設設,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時時使使得得當當.)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時時當當xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有時時使使得得當當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為無窮大為無窮大時時當

52、當xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關于無窮大的討論關于無窮大的討論,都可轉化為關于無窮小都可轉化為關于無窮小的討論的討論.第五節 函數的連續性函數的連續性一、函數的連續性一、函數的連續性二、函數的間斷點及類型二、函數的間斷點及類型三、初等函數的連續性三、初等函數的連續性一、函數的連續性一、函數的連續性.),(,),()(00000 xxxxxUxxUxxfy 的的增增量量，記記作作為為自自變變量量在在點點稱稱定定義義內內有有的的某某一一鄰鄰域域在在假假設設函函數數).()(000 xfxxfyyyxxx ，則則對對應應的的增增量量記記為為時時，有有增增量量在在當當自自變變量量xx

53、00 xxy0)(xfy x y ,0 xxx 設設),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是連連續續。在在點點那那么么就就稱稱函函數數如如果果的的某某一一鄰鄰域域內內有有定定義義，在在設設函函數數定定義義000000)(0)()(limlim)(1xxfyxfxxfyxxfyxx :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當使當連連續續。在在點點那那么么就就稱稱函函數數有有定定義義，如如果果的的某某一一鄰鄰域域內內在在點點設設函函數數定定義義0000)()()(lim)(2xxfyxfxfxxfyxx 例例1 1.0, 0,

54、 0, 0,1sin)(處處連連續續在在試試證證函函數數 xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續續在在函函數數 xxf),0()(lim0fxfx .)(),()(lim000處處左左連連續續在在點點則則稱稱如如果果xxfxfxfxx 定理定理.)()(00處處既既左左連連續續又又右右連連續續在在是是函函數數處處連連續續在在函函數數xxfxxf.)(),()(lim000處右連續處右連續在點在點則稱則稱如果如果xxfxfxfxx 在區間上每一點都連續的函數在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上叫做在該區間上的的連續函數連續函

55、數,或者說函數在該區間上連續或者說函數在該區間上連續.,)(,),(上上連連續續在在閉閉區區間間函函數數則則稱稱處處左左連連續續在在右右端端點點處處右右連連續續并并且且在在左左端端點點內內連連續續如如果果函函數數在在開開區區間間baxfbxaxba 連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例如例如,.),(內是連續的內是連續的有理函數在區間有理函數在區間例例2 2.),(sin內連續內連續在區間在區間函數函數證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當

56、當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續續的的對對任任意意函函數數即即 xxy例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(連續性連續性處的處的在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續但不左連續右連續但不左連續 ,.0)(處處不不連連續續在在點點故故函函數數 xxf二、函數的間斷點及類型二、函數的間斷點及類型:)(0條件條件處連續必須滿足的三個處連續必須滿足的三個在點在點函數函數xxf;)()1(0處有定義處有定義在

57、點在點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點點的的不不連連續續點點為為并并稱稱點點或或間間斷斷處處不不連連續續在在點點就就稱稱函函數數一一個個不不滿滿足足上上述述三三個個條條件件中中只只要要有有xfxxxf.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 可去間斷點可去間斷點例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 x

58、xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1(lim)(lim, 22lim)(lim1111 xxfxxfxxxx2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數數的的可可去去間間斷斷點點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義數的定義, 則可使其變為連續點則可使其變為連續點.在此例中在此例中, 2)1( f令令 , 1,1, 10,2)(xxxxxf則則.1處的連續處的連續在在 x.)(),()(,)(0000跳跳躍躍間間斷斷點點的的為為函函數數則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xf

59、xxfxfxxf 跳躍間斷點跳躍間斷點例例5 5.0,0,10,210,)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0為為函函數數的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點. .)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數數則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf第二類間斷點第二類間斷點例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解ox

60、y, 0)00( f,)00( f.1為函數的第二類間斷點為函數的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例7 7.01sin)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間三、初等函數的連續性三、初等函數的連續性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續續在在點點則則處處連連續續在在點點設設函函數數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,