1、第四章.全等三角形模型（14）平行線中點模型【結論】如圖，ABCD,點E、F分別在直線杷、CD上，點O為EF中點,則POEQOFpf力口f&【證明】1典例1如圖，已知ABCD,BCCDCD=2AB=12,BC=8,E是AD的中點.（1）請你用直尺（無刻度）作出一條線段與BE相等，并證明；(2)求BE的長.【解析】(1)如圖，延長BE與CD相交于點F,則EF=BE.證明：ABCD,NA=ND,NABE=NDFE.YE是AD的中點，AE=DE.在4AEB與4DEF中，ZA=ZD,.ZABE=ZDFE,Z.AAEBADEF(AAS),.BE二EF。-AE=DE,(2)AEB/DEF,DF=AB=6,

2、BE=EF=1BF,/.CF=CD-DF=62VBCXCD,/BF=：bc2CF2=10,/BE=1BF=5.ej2典例2如圖所示，已知梯形ABCD,AD/BC,E為CD的中點，若用S/S2,可分別表示ADE,EBC,4ABE的面積，則S/S2,S3的關系是()A.S1+S2S3B.S1+S2=S3C.S/S2Vs3D.以上都不對【解析】如圖交BC的延長線于點F.,延長AE，ADE/AFCE,E是AF的中點，.AE=EF.ABE與4BFE是等底同高的兩個三角形，即它們的面積相等,SFE=S1+S2=S3.故選B.典例3矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF

3、,取AF的中點也連接6艮若BC=EF=2CD=CE=1，則GH=（）.A.1C.豆2【答案】C【解析】如圖，延長GH交AD于點P.四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，.ZADC=ZADG=ZCGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,AD/GF,NGFH=NPAH,又TH是AF的中點，形成了平行線中點模型，根據模型結論可知：4APH/AFGH(ASA),AP=GF=1,GH=PH=1PG,PD=ADAP=1.TCG=2,CD=1,ADG=1,2GH=1PG=X1Jpd2DG2=.故選C.2221. ()如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G,F分別為AD,BC邊上的點，若AG=1

4、,BF=2,ZGEF=B.290,貝GF的長為().A.12. ()如圖，已知AB=12,ABLBC于點B,ABLAD于點A,AD=5,BC=10,E是CD的中點，則AE的長為()A.6B.13C.5D.3-41223. ()如圖，在四邊形ABDC中，ND=NB=90,O為BD的中點，且OALOC.(1)求證：CO平分NACD.(2)求證：AB+CD=AC.1.如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NB是銳角，AELBC于點E,M是AB的中點，連接MD,ME.若NEMD=90,則cosB的值為在中考考試中，平行線中點是一類特點非常鮮明的幾何題，做這類題的關鍵就在于添加延長線。第四章.全等三角形模型

5、(14)平行線中點答案：小試牛刀1 .答案C解析延長GE交FB的延長線于點M，如圖/E酒.M人/八8,且為人8邊的中點，,形成了平行線中點模型.根據模型結論可知，4GEA/AMEB(ASA),.GE=ME.VZGEF=90，/MEF=180-ZGEF=90.ZGEF=ZMEF.在AGEF和AMEF中，-GE=ME,-ZGEF=ZMEF,EF=EF,Z.AGEFAMEF(SAS),二GF=MF=FB+BM=FB+AG=2+1=3.故選C.2 .答案B解析延長AE交BC于點F,如圖.E是CD的中點，形成了平行線中點模型.根據平行線中點模型易知ADE/FCE(ASA),.AE=FE,AD=CF=5,

6、BF=BC-CF=5.在RtABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=132,.AF=13AE=1AF=13故選B.22,3 .解析(1)如圖，延長AO交CD的延長線于點E.在4AOB和AEOD中，ZAOB=ZEOD,OB=OD,ZABO=ZEDO,/.AOBEOD(ASA),AO=OE.VOAOC,AZAOC=ZEOC=9Q在AOC和EOC中,AO=EO,-ZA0C=ZE0C,-CO=CO,AAOCAEOC(SAS),/ACO/DCO,BPCO平分NACD.(3)VAAOBAEOD,.AB=DE.VAAOCAEOC,.AC=CE.,.eCE=CD+DE,/.AC=CD+DE=CD+AB.直擊中考1 .答案T2解析如圖，延長DM交CB的延長線于點H,連接DE.四邊形ABCD是菱形，.*.AB=BC=AD=2,AD/CH,又M是AB的中點，根據平行線中點模型可知AADM2BHM,AD=HB=2,DM=HM.;EMDH,EH=ED,設BE=