1、浙江省文瀾中學數學旋轉幾何綜合（培優篇）（Word版含解析）一、初三數學旋轉易錯題壓軸題（難）1.如圖 1,在 RtZk48C 中，乙4 = 90° , A8=4C,點。，E 分別在邊 A8, 47 上，AD=AE,連接DC,點M, P, N分別為DC, 8c的中點.（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與P/V的數量關系是，位置關系是一：（2）探究證明：把4DE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN, BD, CE,判斷 PMN的形狀，并說明理由：（3）拓展延伸：把ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4,八8=10,請直接寫出 PMN面積的最大值.【答案】 PM=PN, PM1,P

2、N； （2） ？川是等腰直角三角形.理由見解析；（3） _49S»pmn 1人=2【解析】【分析】（1）由已知易得利用三角形的中位線得出pm = Ice,= 即可22得出數量關系，再利用三角形的中位線得出尸M/CE得出NDPM=NQC4,最后用互 余即可得出位置關系：（2）先判斷出zUBOmAACE,得出同（1）的方法得出2pn = Lbd,即可得出尸M = /W,同（1）的方法由 2ZMPN = ZIX：E + ZDCB + ZDBC = ZACB + ZABC ,即可得出結論：（3）方法L先判斷出最大時，APMN的而積最大，進而求出AN, AM，即可得 出MN最大= AM + A

3、N,最后用面積公式即可得出結論.方法2：先判斷出8。最大 時，"MN的面積最大,而8。最大是A5 + A£） = 14,即可得出結論.【詳解】解：（1）:點P, N是BC, 8的中點，:.PNBD, PN =、BD ,2丁點P，M是CO，。石的中點，:PM MCE, PM=-CE . 2 .AB = AC, AD = AEBD = CE,PM = PN,-PN/BD,ZDPN = ZADC, ; PM / /CE,ZDPM = ZDCA , ."4C = 90。，ZADC + ZACD = 90°,:.ZMPN = ADPM + QPN = ZDCA +

4、 ZADC = 90。,:.PM LPN,故答案為：PM = PN, PM LPN ；（2） APMN是等腰直角三角形.由旋轉知，ABAD = ZCAE,-AB = AC, AD = AE>：.ABD = ACESAS） t:.ZABD = ZACE, BD = CE,利用三角形的中位線得，PN = -BD, PM=-CE, 22:.PM = PN, "MN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM UCE,ZDPM = ADCE,同（1）的方法得，PN/BD,ZPNC = ADBC,ZDPN = ZDCB + APNC = ADCB + ADBC ,ZMPN = ZDPM + ZD

5、PN = ZDCE+4 DCB + ZDBC=ZBCE+ZDBC = ZACB + ZACE+ZDBC= ZACB+ZABD+ZDBC = ZACB+ZABC,vZBAC = 90°,.ZACB + ZABC = 90°,:"MPN = 90。,.APMN是等腰直角三角形：（3）方法1：如圖2,同（2）的方法得，APMN是等腰直角三角形,EMN最大時，APMN的面積最大，DE I IBC且DE在頂點A上面，：.MN 最大=AA7 + 4V ,連接AW，AN,在中，4£> = AE = 4，ZZME = 90°./. AM = 272，在R

6、tAABC中，A8 = AC = 10, AN = 5叵，:.MNg =2p +5P =邙, Sy,、= #M2 = ； X gw* = ； x (7 0=y .方法2：由(2)知，APMN是等腰直角三角形，PM = PN =、BD, 2.月W最大時，"MN面積最大,，點。在氏4的延長線上，.-.BD = AB+AD = 14tPM=7,. C1 DW2 1 不 49S"6出大=PA/ =-x7 =【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性 質，全等三角形的判斷和性質，直角三角形的性質的綜合運用：解（1）的關鍵是判斷出 PM=-C

7、E. PN = >BD,解（2）的關鍵是判斷出AIM三A4CE,解（3）的關鍵 22是判斷出MN最大時，APMN的面積最大.2.閱讀材料并解答下列問題：如圖1,把平面內一條數軸工繞原點。逆時針旋轉角 6（0° < 0 < 90°）得到另一條數軸F%軸和）'軸構成一個平面斜坐標系X0V.規定：過點夕作>'軸的平行線，交工軸于點4,過點尸作x軸的平行線，交軸于點4, 若點4在工軸對應的實數為。，點4在）'軸對應的實數為/?,則稱有序實數對（。涉）為點 。在平而斜坐標系x0y中的斜坐標.如圖2,在平面斜坐標系X。），中，己知6 =

8、60,，點 。的斜坐標是（3,6）,點。的斜坐標是（0,6）.（1）連接。尸，求線段。尸的長:（2）將線段0P繞點。順時針旋轉60°到。（點。與點夕對應），求點。的斜坐標：（3）若點。是直線OP上一動點，在斜坐標系xOy確定的平面內以點。為圓心，。長 為半徑作。，當。與X軸相切時，求點。的斜坐標，【答案】（1）。尸=3"； （2）點。的斜坐標為（9, 一3）: （3）點D的斜坐標為：3（-,3）或（6, 12）.2【解析】【分析】（1）過點P作PC1.OA,垂足為C,由平行線的性質，得NPAC=6 = 60。，由AP=6,則 AC=3, PC = 3jJ,再利用勾股定理，即

9、可求出OP的長度；（2）根據題意，過點Q作QEOC, QFOB,連接BQ,由旋轉的性質，得至I OP=OQ, ZCOP=ZBOQ,則COPg/kBOQ,則 BQ=CP=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,然后得到ABEQ 是等邊三角形,則BE=EQ=BQ=3,則OE=9, OF=3,即可得到點Q的斜坐標；（3）根據題意，可分為兩種情況進行分析：當OP和CM恰好是平行四邊形OMPC的對 角線時，此時點D是對角線的交點，求出點D的坐標即可：取OJ=_IN=CJ,構造直角三角 形OCN,作NQN的角平分線，與直線OP相交與點D,然后由所學的性質，求出點D的坐 標即可.【詳解】解：（1）如

10、圖，過點P作PC_LOA,垂足為C,連接OP,VAP/70B,NPAC=e = 60。,V PC±OA, AZPCA=90° ，點。的斜坐標是（3,6）, ，0A=3, AP=6, :.cos60° = = 1AP 2/. AC = 3, * PC = <6, - 3- = 3耳 = 3 + 3 = 6,在RtZOCP中，由勾股定理，得 ”=西+（3 后=3"；（2）根據題意,過點Q作QEOC, QFOB,連接BQ,如圖:由旋轉的性質，得0P二OQ, NPOQ=60° ,V ZCOP+ZPOA=ZPOA+ZBOQ=60" , ，

11、/COP=NBOQ,V0B=0C=6tCOPBOQ (SAS)； ，CP=BQ=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,AZEBQ=60° ,I EQOC,AZBEQ=60° ,.BEQ是等邊三角形，BE=EQ=BQ=3,，OE=6+3=9, 0F=EQ=3,點Q在第四象限， 點。的斜坐標為（9, -3）；（3）取0M=PC=3,則四邊形OMPC是平行四邊形，連接OP、CM,交點為D,如圖:由平行四邊形的性質，得CD=DM, OD=PD, 點D為OP的中點， 點P的坐標為（3, 6）,3 點D的坐標為（7，3）： 2取OJ=JN=CJ,則OCN是直角三角形， ZCO

12、J=60c ,.,.OCJ是等邊三角形，A ZCJN=120° ,作NCJN的角平分線，與直線0P相交于點D,作DNJ_x軸，連接CD,如圖:A ZJCD=ZJND=90° ,則由角平分線的性質定理，得CD=ND：過點D作Dlx軸，連接DJ,VZDJN=ZCOJ=60° ,.四邊形OJDI是平行四邊形，AID=OJ=JN=OC=6,在 RtZJDN 中，ZJDN=30" ,AJD=2JN=12；點D的斜坐標為（6, 12）；3綜合上述，點D的斜坐標為：（不，3）或（6, 12）.2【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，解直角三角形，旋轉的性質，全等三角形的

13、判定和性質， 角平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找圓心D的位置來解決問題，屬 于中考創新題型.注意運用分類討論的思想進行解題.3.已知如圖 1,在3c中，Z4BC = 90°，= 點。在4C上，DF1AC 交3c于f，點E是4f的中點.（1）寫出線段EO與線段的關系并證明；（2）如圖2,將繞點C逆時針旋轉。（0'va<90°）,其它條件不變，線段E1。與 線段£5的關系是否變化，寫出你的結論并證明：（3）將<?£>下繞點C逆時針旋轉一周，如果3c = 6, CF = 3叵,直接寫出線段CE的【答案】（1）ED =

14、 EB, DE上BE，證明見解析：（2）結論不變，理由見解析: （3）最大值=迪最小值=上巨.22【解析】【分析】(1)在 RtADF 中，可得 DE=AE=EF,在 內 ABF 中，可得 BE=EF=EA,得證 ED=EB；然后 利用等腰三角形的性質以及四邊形ADFB的內角和為180°,可推導得出NDEB=90。；(2)如下圖，先證四邊形MFBA是平行四邊形，再證DCBgADFM,從而推導出DMB 是等腰直角三角形，最后得出結論：(3)如下圖，當點F在AC上時，CE有最大值；當點F在AC延長線上時，CE有最小值.【詳解】(1)VDF±AC,點E是AF的中點，DE=AE=E

15、F, ZEDF=Z DFEVZABC=90°,點E是AF的中點ABE=AE=EF, ZEFB=Z EBFADE=EBVAB=BCtA N DAB=45°，在四邊形 ABFD 中，ZDFB=360°-90(>-45o-90o=135oZDEB=Z DEF+Z FEB=180°-2Z EFD+1800-2Z EFB=36O0-2(Z EFD+Z EFB)=360o-2xl35°=90°ADE±EB(2)如下圖，延長BE至點M處，使得ME=EB,連接MA、ME、MF、MD、FB、DB,延長MF交CB于點HVME=EB,點E是

16、AF的中點四邊形MFBA是平行四邊形，MFII AB, MF=AB，ZMHB=1800-Z ABC=90°V Z DCA=Z FCB=。/. /DCB=45°+，ZCFH=90°-°VZDCF=45°, ZCDF=90°,.NDFC=45。，ADCF是等腰直角三角形AZDFM=1800-ZDFC-ZCFH=45°+«AZDCB=ZDFMV aabc和acdf都是等腰直角三角形A DC=DF, BC=AB=MFAADCB DFM(SAS)/. Z MDF=Z BDC, DB=DMAZMDF+Z FDB=Z BDC+Z

17、 FDB=90°.DMB是等腰直角三角形點E是MB的中點，DE=EB, DE±EB(3)當點F在AC上時，CF有最大值，圖形如下:VBC=6,，在等腰直角AABC中，AC=6jJV CF=3 y/2 > 工 AF=3 顯：.CE=CF+FE=CF+-!-AF =織222當點F在AC延長線上時，CE有最小值，圖形如下:A同理，CE=EF-CF= 32【點睛】本題考查三角形的旋轉變換，用到了等腰直角三角形的性質和平行四邊形的性質，解題關 鍵是構造并證明BDM是等腰直角三角形.4.如圖一，矩形ABCD中，AB=m, BC=n,將此矩形繞點B順時針方向旋轉6 （0°

18、<6<90。）得到矩形AiBCiDi，點Ai在邊CD上.（1）若m=2, n=l,求在旋轉過程中，點D到點D,所經過路徑的長度；（2）將矩形AiBCQi繼續繞點B順時針方向旋轉得到矩形A2BC2D2,點Dz在BC的延長線上，設邊AzB與CD交于點E,若空=而一1,求。的值.ECni（3）如圖二，在（2）的條件下，直線AB上有一點P, BP=2,點E是直線DC上一動點，在BE左側作矩形BEFG且始終保持=巳，設AB二3力，試探究點E移動過程中，PFBG m是否存在最小值，若存在，求出這個最小值：若不存在，請說明理由.【答案】（1）顯冗:（2）正；（3）存在，6 +6 63【解析】【分

19、析】（1）作A】HJ_AB于H,連接BD, BD，則四邊形ADA】H是矩形.解直角三角形，求出ZABAn得到旋轉角即可解決問題：(2)由BCEsBAzDz,推出色=皆=。可得CE*由苦=#-1推出"7 = 瓜 推出A1C=6上，推出BH=A】C=#±,然后由勾股定理建立方程，解 ECmm方程即可解決問題：（3）當A、P、F, D,四點共圓，作PFJ_DF, PF與CD相交于點M,作MN_LAB,此時PF的長度為最小值；先證明FDGs/iFME,得到絲=匕=正，再結合已知條件和解FM FE 3直角三角形求出PM和FM的長度，即可得到PF的最小值.【詳解】解：（1）作AiH_L

20、AB于H,連接BD, BDi,則四邊形ADAiH是矩形.AAD=HAi=n=l,在 RUAxHB 中，BAi=BA=m=2,，BAi=2HAi,/ ZABAi=30", 旋轉角為30。, BD=Jr+22 =5 D到點D】所經過路徑的長度=好笈： 1806(2) VABCEABAzDztCE _ A2D2 _ n''CB A2B m'2:.CE = >m,:裝=加_1'生3 EC2AiC= ,， mBH=AiC= J廣-1=y/h ,， m 廣 一 ir = 6 -， nr/. m4 - m2n2=6n3m m:1=立（負根已舍去）.m 3（3）

21、當A、P、F, D,四點共圓，作PFLDF, PF與CD相交于點M,作MN_LAB,此時PF 的長度為最小值：,/_、BE n 百由(2)可知，. BG m 3四邊形BEFG是矩形， FG =，FE 3V ZDFG+ZGFM=ZGFM+ZMFE=90° ,，NDFG=NMFE,VDF1PF,即NDFM=90° ,，ZFDM+ZGDM=ZFDM+ZDFM=ZFDM+90° ,AZFDG=ZFME,AAFDGAFME,. FD _FG , FM FE 3VZDFM=90°，tanZFMZ) = =. FM 3AZFDM=60° , ZFMD=30&

22、quot; ,: FM =®DM ;2在矩形ABCD中，有業=正，AB 3即羋=正，則AO = 3,3耳3VMN±AB, .四邊形ANMD是矩形，AMN=AD=3,VZNPM=ZDMF=30" ,APM=2MN=6, .np=36 = AB,ADM=AN=BP=2, *« FM = DM = x2 = y/3，22 PF = PM +MF = 6 + B【點睛】本題考查點的運動軌跡，旋轉變換、解直角三角形、弧長公式、矩形的性質、相似三角形 的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于壓軸 題，中考常考題型.正確作出輔助線，正確

23、確定動點的位置，注意利用數形結合的思想進 行解題.5.小明研究了這樣一道幾何題：如圖1,在48C中，把48點4順時針旋轉a(TVa< 180。)得到把4C繞點八逆時針旋轉B得到AC,連接8C.當a+B=180。時，請問 4&C邊&。上的中線AD與8c的數量關系是什么？以下是他的研究過程： 特例驗證：如圖2,當48C為等邊三角形時，AD與8c的數量關系為4)=BC；如圖3,當N3AC=90°, 8c=8時，則4)長為.猜想論證：在圖1中，當ABC為任意三角形時，猜想八。與8c的數量關系，并給予證明.拓展應用如圖 4,在四邊形八8CD, ZC=90°, N

24、4+N8=120°, 8c=12愿，CD=6, DA=63 ,在四 邊形內部是否存在點P，使PDC與以8之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存 在，請畫出點P的位置(保留作圖痕跡，不需要說明)并直接寫出PDC的邊。C上的中線 PQ的長度：若不存在，說明理由.(2)AD=-BC,理由見解析2存在，3岳【解析】【分析】由已知條件可得A0_L8'C,由a+B=180。可得N84C+N82c*=180°,已知N84>60°,可求得/8'4。=120°繼而 Z 8'= Z 030°,可得 AD= -AB- BC 22當N8

25、4K0。時，可得N82C=N84C=90。，&AC是直角三角形，可證得BA0AB，AC,推出對應邊相等，已知8c=8求出AD的長.(2)先做輔助線，延長4D到M,使得4>DM,連接&M、CM,如圖1所示：因為夕D=DU, AD=DM,對角線相互平分，可得四邊形4CM6是平行四邊形，得出對應邊相等，由N848'+NC4C=180°推得N8AC=/48'M,可證明8AC空所以 8c=4Vh1AD= - BCx 2先做輔助線，作線段8c的垂直平分線交8E于P,即為點P的位置；延長4D交8c的延 長線于M,線段8c的垂直平分線交8c于F,連接力、PD、P

26、C,作aPDC的中線PQ,連接 DF交PC于0假設P點存在，再證明理由.可求得 EM=L8M=7G，2根據已知角可得出DCM是直角三角形，NMDC=30。，可得出CM=2，J, DM=4小存 在：VCD=6, ZDCM=90", ZMDC=30% ZM=90° - ZMDC=60°,DE=EM - DM=7 73 -4/=3技 由已知以=6",推得AE=D£且8E_LAD,可得”是線段8c的垂直平分線，證得以=P。因為P8=PC, PF/CD,可求得CF=L8C=6JJ,利用線段長度可求得NCDF=60°2利用全等三角形判定定理可證得

27、aFCP名CFD(ZUS),進而證得四邊形CDPF是矩形，得NCDP=90。，ZADP =60°,可得ADP是等邊三角形，求出DQ、DP,在R3PDQ中可求 得PQ長度.【詳解】 ABC是等邊三角形：.AB=BC=AC=AB,=AC N84c=60°9：DBf=DC：.AD±BfC/848'+/64。=180°N8AC+N&AC=180°/. N82C=1800 - ZBAC=180° - 60°=120°，N&=NC=30。1 1：.AD=-AB,= -BC2 2故答案：12; ZBABZ

28、CAC=180°，N84C+N82C=180°ZBAC=90°：.ZB,ACZBAC=9Q°AB = AB,在ftAC 和82C 中，N8AC = N8'AC” = 90。AC = ACnJ.ABACABCiSAS)：.BC=BfC9：BfD=DC11：.AD=-BfC=-BC 22故答案：4(2)AD與8c的數量關系：AD= i BC：理由如下：延長AD到M,使得連接&M、CM,如圖1所示：9：B,D=DC, AD=DM9.四邊形4cMg是平行四邊形，N82C+NA8'M=180°, ACM=AC,N8>48&#

29、39;+/64。=180°,，NBAC+N&AC=180。，NBAC=NA8，M.AC = B'M在"以：和"gM 中，< ZBAC = ZAB'M , AB = AB'/.ABACAABiSAS),：.BC=AM91 ：.AD=-BC；2存在；作8EL4D于邑作線段8c的垂直平分線交8E于P,即為點P的位置：理由如 下：延長4D交8c的延長線于M,線段8c的垂直平分線交8c于R連接力、PD、PC,作PDC的中線PQ,連接DF交PC于0,如圖4所示：/ NA+N8=120°,/. NADC=150°,，ZM

30、DC=30%在 R3DCM 中，CD=6, ZDCM=90 ZMDC=30°,:CM=2 瓜,DM=aB NM=90°- NMDC=60°,在 R38EM 中，:NBEM = 90°, BM=BC+CM=12 73 +2 3 =14 73 t NM8E=90° - NM= 300,1 廠：.EM=-BM=7y13：.DE=EM - DM=7 /-4 6 =3 6 ,: DA=6 0：.AE=DE,9：BE±AD, :.PA=PD,，：PF是線段BC的垂直平分線,：.PB=PC9 PF/CD.,1 l在 R3CDF 中，1C。=6, C

31、F=-BC=6V3 ,tan ZCDF= >/3 , CD 6：.ZCDF=60",，ZMDF= ZMDC+ ZCDF=30o+60o=90°,工 /ADF=90°=N4E8.：.ZCBE=ZCFD.9： /CBE:/PCF,：NCFD= NPCF=30V ZCFD+ZCDF=90°, /PCF+/CPF=90,：.ZCPF=ZCDF=60ACPF = ZCDF在fCP 和CFD 中，< 4PCF = ZCFD , CF = CF:.AfcpAcfd（aas）,；CD=PF,：CDPF,四邊形CDPF是矩形,，ZCDP=90",/

32、ZADP=ZADC - ZCDP=60% 是等邊三角形，/ ZAPD=60 9： NBPF=/CPF=90。- 300=60%：.ZBPC=120 ：.NAPO+N8PC=180°,.POC與%8之間滿足小明探究的問題中的邊角關系：在 RtPDQ 中，V ZPDQ=90°, PD=DA=6 , DN=-CD=39 2 PQ= yjDQ2 + DP2 =叔+（6后=3岳.本題考查了三角形的邊旋轉的問題，旋轉前后邊長不變，根據已知角度變化，求得線段之 間關系.在證明某點知否存在時，先假設這點存在，能求出相關線段或坐標，即證實存在性.6.兩塊等腰直角三角形紙片AO8和COQ按圖1

33、所示放置，直角頂點重合在點。處, 43 = 25, CO = 17 .保持紙片A08不動，將紙片C。繞點。逆時針旋轉 a（0 。90）角度，如圖2所示.（1）利用圖2證明AC = 8Z）且AC_L3O：（2）當BO與CQ在同一直線上（如圖3）時，求4c的長和夕的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2） 7,. 25【解析】【分析】圖形經過旋轉以后明確沒有變化的邊長，證明AOC=3OQ,得出AC=BD,延長BD交AC于E,證明NAEB=90。，從而得到8。_L AC.AC 如圖3中，設AC=x,在RtA ABC中，利用勾股定理求出x,再根據sina=sinN ABC=- AB即可解決問題【詳解】（

34、1）證明：如圖2中，延長83交。4于G,交4C于E.ZAOB = ZCOD = 90 .:.ZAOC = ZDOB，在aAOC和30。中，'OA = OB ZAOC = ZBOD ,OC = OD .:.aAOC 三aBOD ,A AC = BD, Z.CAO = ZDBO, ： /DBO + NGOB = 9U , Z.OGB = ZAGE,/ NG4O + ZAGE = 90 ,:.ZAEG = 90、，： BDYAC.（2）解：如圖3中，設AC = x,圖3,: BD、CQ在同一直線上，BDLAC,.ABC是直角三角形， ac2+bc2=ab2,：.x2+(x+17)2 =252

35、,解得x = 7,v NODC = Na + ZDBO = 45。，ZABC + ZDBO = 45" ：乙 a = ZABC,sin a = sinZABC = -=. AB 25【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知 識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題，第二個問題的 關鍵是利用（1）的結論解決問題，屬于中考常考題型.7.請閱讀下列材料：問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=JJ , PC=1、求NBPC度數的 大小和等邊三角形ABC的邊長.李明同學的思路是：將aBPC繞點B逆時針

36、旋轉60。，畫出旋轉后的圖形（如圖2）,連接 P，可得P'PB是等邊三角形，而PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）， 從而得到NBPC=NAPB=:,進而求出等邊AABC的邊長為； 問題得到解決.請你參考李明同學的思路，探窕并解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內有一點P,且 PA=V5 , BP=V2 , PC=1.求NBPC度數的大小和正方形ABCD的邊長.【答案】（1）150° , 77 ； （2） 135° ,小【解析】試題分析：（1）利用旋轉的性質，得到全等三角形.利用（1）中的解題思路，把8PC,旋轉，到 8P4連接PP；8，容易證

37、明4PP，是直角 三角形，N8P，E=45°,已知邊8=8P=VJ , BE=BPf=l,勾股定理可求得正方形邊長.（1） 150° /（2）將48PC繞點B逆時針旋轉90%得aBP'A,則48PCW BP'A .：.APPC=l , 8P=8PZ=& ；連接PP',在RtA BP'P中,BP=BPyj2 , z P8P，=90°,/. PP'=2 , Z 8P，P=450 ；在仆 AP'P 中，APf=l , PPZ=2 , AP=y/5 , / l2+22 =店，即 APJp*AA ; A AP'

38、P是直角三角形,即N AP，P=90。， Z AP，8=135。， Z BPC=Z 4P'8=135° .過點8作8EJ_4，交4P'的延長線于點E:則 BEP堤等腰直角三角形， Z EP6=45。，/. EP'=BE=' ,J AE2 ；.在RSA8E中，由勾股定理，得48=逐；/. Z BPC=135°,正方形邊長為6.點睛：本題利用題目中的原理遷移解決問題，解題利用了旋轉的性質，一般利用正方形， 等腰，等邊三角形的隱含條件，構造全等三角形，把沒辦法利用的已知條件轉移到方便利 用的圖形位置，從而求解.8.（特例發現）如圖1,在 ABC中，

39、AG_LBC于點G,以A為直角頂點，分別以AB, AC 為直角邊，向 ABC外作等腰RS ABE和等腰RS ACF,過點E、F作射線GA的垂線，垂 足分別為P、Q.求證：EP=FQ.（延伸拓展）如圖2,在 ABC中，AG_LBC于點G,以A為直角頂點，分別以AB, AC為 直角邊，向 ABC外作RS ABE和ACF,射線GA交EF于點H.若AB=kAE, AC=kAF, 請思考HE與HF之間的數量關系，并直接寫出你的結論.（深入探窕）如圖3,在 ABC中，G是BC邊上任意一點，以A為頂點，向 ABC外作任 意4ABE 和4ACF,射線 GA 交 EF 于點 H.若N EAB=N AGB, N

40、FAC=N AGC, AB=kAE,AC=kAF,上一問的結論還成立嗎？并證明你的結論.（應用推廣）在上一問的條件下，設大小恒定的角NIHJ分別與 AEF的兩邊AE、AF分別 交于點M、N,若AABC為腰長等于4的等腰三角形，其中NBAC=120。，且Z IHJ=Z AGB=6=60% k=2：求證：當NIHJ在旋轉過程中，AEMH、HMN和FNH均相似，并直接寫出線段MN的 最小值（請在答題卡的備用圖中補全作圖）.【答案】證明參見解析：（2）HE=HF： （3）成立，證明參見解析；（4）證明參見解析,MN最 小值為1.【解析】試題分析：特例發現：易證AEPWABAG, AF8 CAG,即可求

41、得EP=AG, FQ=AG,即可解題；延伸拓展：過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.易證1 1 ABGsaEAP, ACG-aFAQ,得到 PE二支AG, FQ二支AG,PE=FQ,然后證明1 EPH2 FQH,即可得出HE=HF：深入探究：判斷 PEA區GAB,得到PE="AG,1 AQF-CGA, FQ=,得至lj FQ二7AG,再判斷 EP附 FQH,即可得出HE=HF：應用推 廣：由前一個結論得到4AEF為正三角形，再依次判斷 MHN HFN- MEH,即可得 出結論.試題解析：（1）特例發現，如圖:圖1Z EPA=Z AGB, AE=AB, /. PEA合 GAB

42、, /. PE=AG,同理， QFA合 GAC, /. FQ=AG» /. PE=FQ； 延伸拓展，如圖：EI N PEA+N PAE=90°, Z GAB+Z PAE=90%N PEA:N GAB. /. Z EPA=Z AGB, PE AEPE AE 1 MV. PEA GAB,.力'；AI3fAB=kAE, /. AG二 PE=“AG,同理,FQ AF1 QFA-4GAC, /. AG AC, AC=kAF, /. FQAG, /. PE=FQ> : EPII FQ, Z EPH=Z FQH. / Z PHE=Z QHF, :, & EPH2 F

43、QH, /. HE=HF： 深入探究，如圖2,在直線 AG 上取一點 P,使得N EPA= Z AGB,作 FQH PE, Z EAP+Z BAG=180° - Z AGB,Z ABG+Z BAG=1800 - Z AGB, /. Z EAP=Z ABG. 丁 Z EPA=Z AGB, /. & APE- BGA,PE AE1=AG AH9 . ab二kAE, /. PEAG,由于N FQA=Z FAC=Z AGC=180° - Z AGB,同理可得,FQ AF1 AQF-ACGA, ：.AG AC, AC=kAF,二 FQ=“AG, EP=FQ, */ EPII

44、FQ, Z EPH=Z FQH. / Z PHE=Z QHF, :, & EPH2 FQH, /. HE=HF：應用推廣，如圖3,在前面條件及結論，得到，點H是EF中點，.AE=AF, ,NEAB=NAGB,Z FAC=Z AGC. Z EAB+Z FAC=180°. Z EAF=360° - (Z EAB+Z FAC) - N BAC=60% AEF為正三角形.又 H 為 EF 中點，N EHM+N IHJ=120°, Z IHJ+Z FHN=120%，Z EHM=Z FHN.Z AEF=Z AFE, :, & HEM- HFN,HM EH .而

45、二麗 9/ EH寸H,HM FHHN FN,且/ MHN=Z HFN=60 . a MHN- HFN, /. MHN- & HFN MEH,在 HMN中，N MHN=60。，根據三角形中大邊對大角，要MN最小，只有 HMN是等邊三角形./AMN=60°, >/ Z AEF=60°, MN, MN II EF, 丁 AEF 為等邊三角形，MN 為 1 1 AEF的中位線.MNmin=2EF=2x2=L 考點：1 .幾何變換綜合題：2.三角形全等及相似的判定性質.9.(1)問題發現如圖1AACB和DCE均為等腰直角三角形,NACB=90。BCD在一條直線上.填空:

46、線段AD,BE之間的關系為:(2)拓展探究如圖2,AACB和DCE均為等腰直角三角形,NACB=NDCE=90° ,請判斷AD.BE的關系，并 說明理由.(3)解決問題如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉90°得到 線段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1) AD=BE, AD1BE. (2) AD=BE, AD±BE. (3) 5一3四 WPCW5+3忘.【解析】【分析】(1)根據等腰三角形性質證ACDgZBCE (SAS),得AD=BE, ZEBC=ZCAD,延長BE 交AD于點F,由垂

47、直定義得AD_LBE.(2 )根據等腰三角形性質證ACDgZkBCE (SAS) , AD=BE, NCAD二NCBE,由垂直定義得NOHB=90°, ADXBE；(3)作 AE«LAP,使得 AE=PA,則易證APEgZkACP, PC=BE,當 P、E、B 共線時，BE 最小，最小值=PB-PE；當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE,故5-3 & "EW5+3點.【詳解】(1)結論：AD=BE, AD±BE.理由：如圖1中，A圖1,/ACB與adce均為等腰直角三角形，AC=BC, CE=CD,ZACB=ZACD=90°

48、,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BCZACD=ZBCECD=CEAAACDABCE (SAS),，AD二BE, ZEBC=ZCAD延長BE交AD于點F,BCJ_AD,.ZEBC+ZCEB=90",VZCEB=AEF,AZEAD+ZAEF=90",AZAFE=90% RP AD1BE.，AD二BE, AD±BE.故答案為AD=BE, AD1BE.(2)結論：AD=BE, AD±BE.理由：如圖2中，設AD交BE于H, AD交BC于0.VAACB與4DCE均為等腰直角三角形,，AC=BC, CE=CD, ZACB=ZECD=90",

49、，ACD=NBCE,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BC ZACD=ZBCE, CD=CEAAACDABCE (SAS),'AD=BE, NCAD二NCBE,V ZCAO+ZAOC=90% ZAOC=ZBOH,AZBOH+ZOBH=90%AZOHB=90",A AD± BE,AAD=BE, AD±BE.大E工圖1圖2 '(3)如圖3中，作AE_LAP,使得AE=PA,APC=BE,圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，I圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，點 ，53 點 VBEW5+3 人，HP 5-3 & <PC<5+3 點.貝 IJ 易證APEg/VXCP,更小值二PBPE=5-3點, 支大值=PB+PE=5+3及，03-1【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形