1、第1講計數(shù)原理、二項(xiàng)式定理考點(diǎn)1排列組合與計數(shù)原理的應(yīng)用1 .分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果 需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘.2 .名稱排列組合相同點(diǎn)都是從n個小同兀素中取 m（mc n）個兀素，兀素尢重復(fù)不同點(diǎn)排列與順序有關(guān)；兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列 的元素及其排列順序完全相同組合與順序無關(guān)；兩個組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的九系兀全相同例1 （1）2019 陜西西安模擬把15人分成前、中、后三排，每排 5人，則不同的排 法種數(shù)共有（）A15A 或 b. A

2、求oA5AC. A5 d. AN。（2）2019 安徽合肥質(zhì)檢某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成 5個區(qū)域，如圖.社區(qū)準(zhǔn)備從 4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各個區(qū)域中，要求每個區(qū)域種植 一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域（有公共邊的）所種花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)共有（）A. 96 B. 114C. 168 D. 240【解析】（1）把位置從1到15標(biāo)上號，問題就轉(zhuǎn)化為15人站在15個位置上，共有A5種 情況.（2）先在a中種植，有4種不同的種植方法，再在 b中種植，有3種不同的種植方法，再在c中種植，若c與b同色，則d中有3種不同的種植方法，若 c與b不同色，則c中有2

3、 種不同的種植方法，d中有2種不同的種植方法，再在 e中種植，有2種不同的種植方法，所 以共有 4X3X1X3X2+4X3X2X2X2= 168（種）,故選 C【答案】（1） C （2） Cr6技法領(lǐng)悟、解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（i）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).對接訓(xùn)練1. 2019 河南十所名校尖子生聯(lián)考5位同學(xué)站成一排照相，其中甲與乙必須相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是（）A. 40 B. 36C. 32 D. 24解

4、析：由題可得，甲與乙相鄰的排法種數(shù)為A4A2=48,甲站在兩端且與乙相鄰的排法種數(shù)為C2A3= 12,所以甲與乙相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是48 12= 36.故選B.答案：B2. 2019 廣東六校聯(lián)考從兩個不同的紅球、兩個不同的黃球、兩個不同的藍(lán)球共六個 球中任取兩個，放入紅、黃、藍(lán)三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同， 那么不同的放法共有（）A. 42 種 B. 36 種C. 72 種 D 46 種解析：分以下幾種情況：取出的兩球同色時，有 3種可能，取出的球只能放在與球的 顏色不同的兩個袋子中，有&種不同的放法，故不同的放法共有3A2=6（種）；取出的兩球不同

5、色時，有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán) 3種可能，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為 3c2d=12（種），取球后將兩球放入袋子中的方法有C3c2 3=3（種），所以不同的放法有 12X3= 36（種）.綜上可得不同的放法共有 42種，故選A答案：A考點(diǎn)2二項(xiàng)式定理1 .通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)Tr+1=Cnan rbr,其中 C（r =0,1,2 ,，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù).2 .各二項(xiàng)式系數(shù)之和（1） d+d+d+ C=2n.(2)十+= 0+d+i= 2“ i.例2(1)2019 全國卷出(1 + 2x2)(1 +x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A. 12 B. 16C. 20 D. 24(2)2019

6、浙江卷在二項(xiàng)式(、/2+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是 ,系數(shù)為有理數(shù)的 項(xiàng)的個數(shù)是.解析：(1)展開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為 C4+2C1=4 + 8= 12.(2)該二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)為Tk+1= ©(42)9kxk,當(dāng)k=0時，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為(、/2)9=16，2;當(dāng)k=1,3,5,7,9 時，展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理 數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為5.答案：(1) A (2)16 '2 5r-®技法領(lǐng)悟 (1)利用二項(xiàng)式定理求解的兩種常用思路二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，求展開式中特定的項(xiàng)或者

7、特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用 通項(xiàng)公式和方程解決的.二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根 據(jù)展開式的形式給變量賦值.(2)警示在應(yīng)用通項(xiàng)公式時，要注意以下幾點(diǎn)：它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要 n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定；Tr + 1是展開式中的第r + 1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；公式中，a, b的指數(shù)和為n,且a, b不能隨便顛倒位置；對二項(xiàng)式(a b)n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號問題.對接訓(xùn)練3. 2019 天津卷2x白8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 8x解析：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.1 .1 .項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr + i=G(2x) 83

8、 = 8 , 2, Cx，令 84r = 0 可得 r = 2,1 C 。 c故常數(shù)項(xiàng)為一三X2 XC2=28. 8答案：284. 2019 浙江金華十校聯(lián)考已知(x + 1)4+(x -2)8=a0+ai(x 1) +a?(x 1)2+ +8a8(x 1),則 a3=()A. 64 B. 48C. 48 D. 64解析：由(x + 1)4+ (x - 2) 8= (x 1)+24+(x 1) 1 8= ao + a1(x 1) + a2(x 1)2+ a8(x 1),得 a3 , (x - 1) = C4 , (x 1) , 2+ C8 , (x 1) , ( 1),.23=8C8= 48.

9、故選 C答案：C課時彳業(yè)17計數(shù)原理、二項(xiàng)式定理1. 2019 湘贛十四校聯(lián)考有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有 5名同 學(xué)只會用綜合法證明，有 3名同學(xué)只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個問題，不同的選法種數(shù)為 （）A. 8 B. 15C. 18 D. 30解析：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有3+5= 8種選法，故選A答案：A2. 2019 云南昆明一中檢測從一顆骰子的六個面中任意選取三個面，其中只有兩個面 相鄰的不同的選法共有（）A. 20 種 B, 16

10、種C. 12種 D 8種解析：從一顆骰子的六個面中任意選取三個面共有C3= 20種選法，其中有三個面彼此相鄰的有8種，所以只有兩個面相鄰的不同的選法共有208=12（種）.答案：C3. 2019-x 2河北唐山期末在晉一忑的展開式中，x2的系數(shù)為(15A 了B.15TC8D.解析:立 馬6的展開式的通項(xiàng)公式為2 x2一再一”22r6x3T,令 r=1,可得x2的系數(shù)為(一1了*22"-63 .-.故選D8答案:其中選手甲不是第一個也不是最4. 2019 海南三亞華僑學(xué)校期末 六位選手依次演講,后一個演講，則不同的演講次序共有 ()A. 480 種 B. 360 種C. 240 種 D

11、. 120 種解析：解法一因?yàn)榱贿x手依次演講，其中選手甲不是第一個也不是最后一個演講，所以甲有。種情況，剩余的選手有 A5種情況，所以不同的演講次序共有C4-A = 480(種)，故選A解法二六位選手全排列有 A6種演講次序，其中選手甲第一個或最后一個演講有2戌種情況，故不同的演講次序共有A62A5= 480(種).故選A答案：A5. 2019 河北保定期末(1 2x)5(2+x)的展開式中，x3的系數(shù)是()A. 160 B. 120C. 40D. 200解析：(1 2x) 5(2 + x)的展開式中x3的系數(shù)是(1 2x) 5的展開式中x3的系數(shù)的2倍與(1 2x)5的展開式中x2的系數(shù)的

12、和，易知(1 2x) 5的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr + =( 2)rCxr,令r =3,得x3的系數(shù)為一8G5=80,令r = 2,得x2的系數(shù)為4c=40,所以(1 2x) 5(2 + x)的展 開式中x3的系數(shù)是80X2+ 40=- 120.故選B答案：B6. 2019 浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考若2x21n的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A. 10 B. 10C. 5D. - 5解析：由二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,知2n=32,可得n = 5,Tr + i=d(2x2)5r Jr=( 1)r-25x5r10-(-1)4X21xc5=10,故選 Arc5x2 .令10&#

13、187; = 0,可得r=4,所以常數(shù)項(xiàng)為答案：A7. 2019 廣東廣州調(diào)研某電臺做一校一特色訪談節(jié)目，分A, B, C三期播出，A期播出兩所學(xué)校，B期、C期各播出1所學(xué)校.現(xiàn)從8所候選學(xué)校中選出 4所參與這三期節(jié)目 的錄制，不同的選法共有（）A. 140 種 B. 420 種C. 840 種 D. 1 680 種解析：由題易知，不同的選法共有ddd=840（種）.故選C.答案：C8. 2019 河北定州模擬將“?！?“祿” “壽”三個字填入如圖所示的4X4小方格中，每個小方格內(nèi)只能填入一個字，且任意兩個字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有（）解析：依題意可分為以下 3步：（1）先從16個

14、格子中任選一格放入第一個字，有16種方法；（2）因?yàn)槿我鈨蓚€字既不同行也不同列，所以第二個字有9個格子可以放，有 9種方法；（3）第三個字有4個格子可以放，有 4種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的填寫方法有 16X9X4= 576（種）.故選 C.答案：C9. 2019 海南三亞華僑學(xué)校期末 在 ,十124的展開式中，x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是 3x（）A. 2 B. 3C. 4 D. 5一 5r1112-5r解析：Nx+24的展開式的通項(xiàng)公式為 +1 =以(JX)2"r 丁 r = CLx6，當(dāng)r33 -xx= 0,6,12,18,24 時，x的指數(shù)是整數(shù)，故 x的指數(shù)是整數(shù)的有

15、5項(xiàng)，故選D答案：D10. 2019 第一次全國大聯(lián)考若二項(xiàng)式x jxn的展開式中第 m項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則 m, n應(yīng)滿足()A. 2n=3(m1) B. 2n=3mC. 2n =(3m+1) D. 2n= m解析：由題意得,x-x n的展開式的通項(xiàng)公式為3rn-Tr+1 =( 1)rCx 2 ,當(dāng) n=2r,即 2n=3r時，為常數(shù)項(xiàng)，此時 r = m- 1,所以m n應(yīng)滿足2n=3(m1),故選A.答案：A11. 2019 甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念,他們站成兩排，前排 11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站在前排并與中國

16、領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A. A8種B. A20種C. A2AA0種 d. A2A8種解析：中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相 鄰，有A2種站法；其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A18種站法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有A2A8種不同的站法，故選 D答案：D12. 2019 遼寧營口模擬(1 +x)2n(n C N*)的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是 ()A.第2+ 1項(xiàng)B .第n項(xiàng)C.第n+ 1項(xiàng)D .第n項(xiàng)與第n+ 1項(xiàng) 2n*解析：在(1+x) (nCN)的展開式中，第r + 1項(xiàng)的系數(shù)與第r + 1項(xiàng)的二項(xiàng)式

17、系數(shù)相同，再根據(jù)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，展開式共有2n+1項(xiàng)，可得第n+1項(xiàng)的系數(shù)最大，故選 C.答案：C13. 2019 陜西西安質(zhì)檢如果把個位數(shù)是 1,且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有 個.解析：當(dāng)相同的數(shù)字不是1時，有C3個“好數(shù)”；當(dāng)相同的數(shù)字是1時，有C3C1個“好數(shù)”，由分類加法計數(shù)原理知共有 6+64= 12個“好數(shù)”.答案：1214. 2019 江西南昌重點(diǎn)中學(xué)段考（x y+2）6的展開式中y4的系數(shù)為 .解析：解法一 因?yàn)椋▁ y+2）6= （ x+2） y6,所以展開式中含 y4的項(xiàng)為C4（x+2

18、）2y4 =15x2y4+60xy4+60y4,所以展開式中y4的系數(shù)為60.解法二 由于（xy + 2）6的展開式中y4項(xiàng)不含x,所以（xy+2）6的展開式中y4項(xiàng)就是（2 y）6的展開式中的y4項(xiàng)，所以C6X22（ y）4=60y4,所以（x y+2）6的展開式中y4的系數(shù)為 60.答案：6015. 2019 安徽示范高中高三測試現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法白種數(shù)為.解析：解法一 從16張不同的卡片中任取 3張，不同取法的種數(shù)為 C36,其中有2張紅色 卡片的不同取法的種數(shù)為 C4XC12, 3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為 C4xc3,所以3張卡 片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多 1張的不同取法的種數(shù)為 C36-C2xc12-Cixc3 = 472.解法二 若取出的3張卡片中沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為C4X C；XC；=64;若僅有2張卡片的顏色相同，則不同取法的種數(shù)為 C3xc：xc4xc4=144.若紅色卡片有1張，且剩余2張不同色時，不同取法的種 數(shù)為Cixc3xc4xc4= 192；若紅色卡片有1張，且剩余2張同色時，不同