1、在小學數學中培養學生的思維能力問題培養學生的思維能力是現代學校教學的一項基本任務。第二次世界大戰以后，科學技術迅猛發展，知識激增，知識的更新加快，隨之對教育提出了新的要求，就是要提高年輕一代的素質。不僅要教給學生現代科學技術知識，而且要把學生培養成勇于思考、勇于探索、勇于創新的人，從而強調教學要注重發展學生的智力。從心理學角度來看，智力的核心是思維能力。思維能力增強了，智力水平也就提高了。因此各國的小學數學都把培養學生思維能力作為教學的一項基本任務。培養學生思維能力是一個很復雜的問題，它涉及到邏輯學、心理學、教育學等多學科的知識。同時，邏輯學和心理學都研究思維，但它們的側重面有所不同。邏輯學主

2、要從思維的結果（或產物）如概念、判斷、推理等方面來研究，而且著重研究正確思維的規律及形式，以及這些認識結果之間的關系。心理學則主要從思維過程本身來研究，著重研究思維過程中的規律，以及導致形成某些認識結果的內在的隱蔽的原因。由于思維過程與思維結果是密切聯系著的，所以心理學與邏輯學對思維的研究也要緊密聯系，并且相互補充。我們在研究小學數學教學中發展思維能力也同樣要注意思維過程和思維結果緊密聯系這一特點，忽視哪一方面都不可能收到良好的教學效果。一 人類思維發展的階段思維活動是多種多樣的。根據人的不同發展階段的思維特點來劃分，可以分為以下幾個階段。（一）直觀行動思維：這是嬰兒期（1歲以后）的思維特點。

3、這個階段的思維是在對物體的感知、動作中進行的。嬰兒離開動作就不能進行思考，也不能計劃自己的動作或預見動作的結果。這階段嬰兒只能概括事物的一些外部特征。以后長到成人，直觀行動思維繼續發展成操作思維。例如運動員的技能就需要操作思維。（二）具體形象思維：幼兒期的思維特點，一般從3歲延續到小學低年級。兒童思維時可以擺脫對動作的直接依賴，而憑借事物的具體形象或具體形象的聯想（即在頭腦中形成表象）。這階段兒童能進行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。（三）抽象邏輯思維：它是以抽象概念為基礎的思維。又可以分為兩個階段。1.形式邏輯思維：簡稱邏輯思維。它是以同一律為核心規律，進行確定的、無矛盾的

4、、前后一貫的思維。它要求在同一思維過程中的每一個概念必須是確定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小學數學中每一個概念也都必須是確定的。例如教學約數、倍數時，把0排除，否則公倍數、最小公倍數也要包括0了。形式邏輯思維的特點主要是從思維形式（概念、判斷、推理）上進行思維。它是抽象邏輯思維發展的初級階段，因此也稱為普通思維，形式邏輯也稱普通邏輯。一般地說，1011歲是過渡到邏輯思維的關鍵年齡。這時學生的概括能力有了較顯著的變化。2.辯證邏輯思維：簡稱辯證思維。它是以對立統一為核心規律而進行的思維。它著重從事物內部的矛盾性，概念的矛盾運動來進行思考。它把思維形式和思維內容聯系起來，對事物的發展

5、變化、相互聯系、相互轉化的過程進行思考。它是抽象邏輯思維發展的高級階段，必須在形式邏輯思維的基礎上才能形成。據心理學家研究，911歲學生的辯證思維才開始萌芽。從個體發展來說，上述幾種思維活動雖然是分階段逐步發展的，但每發展到后一階段時，前一階段的思維特點并不因此而停止發展或消失，在一定條件下，還向更高的水平發展。例如，文學家、藝術家、建筑學家等的具體形象思維獲得了高度的發展。二 在小學數學教學中對發展思維能力的基本要求新中國成立以來，歷屆小學數學教學大綱中有關發展學生思維能力的規定基本相同，即培養學生初步的邏輯思維能力。這里所講的邏輯思維主要是指形式邏輯思維。從國家教委1992年頒發的九年義務

6、教育全日制小學數學教學大綱（試用）中看得更清楚。其中明確提出，“結合有關內容的教學，培養學生進行初步的分析、綜合、比較、抽象、概括，對簡單的問題進行判斷、推理，逐步學會有條理、有根據地思考問題；同時注意思維的敏捷和靈活。”這表明，在小學階段主要是培養學生初步的形式邏輯思維能力，同時也注意培養學生的一些良好的思維品質。為什么在小學以培養初步的形式邏輯思維能力為主呢？個人體會有以下兩點。（一）從數學的特點看：數學具有抽象性和邏輯嚴密性。數學本身是由許多判斷組成的確定體系。這些判斷都是由數學術語和邏輯術語以及相應的符號所表示的語句來表達的，并且借助邏輯推理由一些判斷形成新的判斷。而這些判斷的總和就構

7、成了數學這門科學。小學數學內容雖然比較簡單，也沒有嚴格的推理論證，但都是經過人們抽象、概括、判斷、推理、論證得出的真正的科學結論，只是不給學生進行嚴密的合乎邏輯的論證。即使這樣，一時一刻也離不開判斷、推理。這就為培養學生的邏輯思維提供了十分有利的條件。（二）從小學生的思維特點看：小學生正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。特別是中、高年級，學生的抽象思維發生了“飛躍”或“質變”。具體地說，1011歲學生開始能逐步分出概念的本質特征，能初步掌握比較科學的定義，能領會概念之間的邏輯關系，也能獨立進行一些簡單的邏輯分析，并進行間接的推理（即由幾個判斷推出新的判斷）。因此可以說，這一階段正是發

8、展學生形式邏輯思維的有利時期。由此可以看出，小學數學教學大綱中提出培養學生初步的邏輯思維能力，既符合數學學科的特點，又符合小學生的年齡特點。有人一度提出，小學數學的教學目的之一是發展學生的創造思維。這一點值得商榷。第一，根據心理學研究，創造思維是人們思維活動的高級過程。它有普通思維的特點，例如在解問題時，也有提出問題、明確問題、提出假設、檢驗假設等階段。但是不同之處在于有想象的參與。另外，創造思維往往是邏輯思維的簡縮。從多數學生來說，如果沒有良好的邏輯思維的訓練，很難發展創造思維。也就是說，發展創造思維首先要有邏輯思維做基礎。其次，人們的一般思維活動中也具有一定的創造性思維的因素。可以說，發展

9、邏輯思維，在一定程度上也包含著發展思維的創造性品質。但是如果把創造思維作為基本要求提出來，對小學生說就要求太高了。此外，由于創造思維這一過程本身比較復雜，心理學的分析研究還很不充分，還難以具體說明它的內涵，要在小學里提出明確具體的教學要求就更困難了。也有人強調小學數學應著重發展辯證思維。這也值得商榷。如前所述，辯證思維是抽象邏輯思維發展的高級階段，需要有一定的形式邏輯思維做基礎。而且從小學數學內容來說，雖然有些內容能夠反映辯證思維的某些規律，但有很多內容受到一定的局限。例如，對加與減，可以說是相反的運算，兩種運算相互依存，但是在一定條件下可以互相轉化就不好講，因為還沒有學過負數。另外從小學生的

10、年齡特點來說，911歲才開始萌發辯證思維，顯然比形式邏輯思維發展得晚。因此在小學把發展辯證思維作為教學的基本要求，還為時過早。在小學只能結合某些內容適當滲透一些唯物辯證觀點的因素，給學生積累一些感性材料，而不是講辯證法。例如，講整數加法與減法時，可以通過實例說明它們是相反的運算，是相互依存的；講分數乘除法時，可以通過實例說明兩種運算在分數中可以相互轉化。三 小學數學中培養初步的邏輯思維能力的內容和教法下面基本按照九年義務教育全日制小學數學教學大綱（試用）中所提的內容分別加以闡述，同時分別提出一些教學建議供參考。（一）培養學生初步運用分析、綜合、比較、抽象、概括等能力這些內容，從邏輯學上說都是邏

11、輯的方法；從心理學上說都是人們進行思維活動必不可少的過程。1.培養初步的分析、綜合能力。分析是在思維中把事物的整體分解成個別部分、要素或特性；綜合是把個別部分或特性結合成一個整體。分析與綜合是密切聯系著的，人們一方面不斷進行分析，另一方面對分析的結果不斷加以綜合。分析與綜合在小學數學中有廣泛的應用。通過分析可以理解某一數學知識的要素，新舊知識間的聯系；通過綜合又對數學知識有了全面的和整體的理解。從一年級開始就用到分析與綜合，而且貫穿在各年級各部分數學知識的教學之中。下面舉幾個例子。（1）教學10以內的數時，要了解每個數的分解和組成。如（2）任何一個計算，幾乎都可以分解成幾個已學的基本計算。如2

12、0（3）在進行概括的時候，一般都先經過分析，然后再綜合。例如，講除法的意義，先通過具體例子分析除法中各組成部分與乘法中各組成部分的聯系，在此基礎上概括出除法的意義。（4）解答簡單應用題時，根據問題找出所需的已知條件就是分析的過程，根據已知條件提出所能解的問題就是綜合的過程。解答復合應用題時，分析、綜合就較為復雜。先把復合應用題分解為幾個有聯系的簡單應用題，進一步分析解每個簡單應用題所需的已知條件，然后把已知條件成對的結合，連續地解答幾個簡單應用題，最后得到問題的答案。例如：兩步應用題：“同學們做了12朵紅花，8朵黃花。送給幼兒園15朵，還剩幾朵？”想：要求還剩幾朵，須知道什么？一共做多少朵，送

13、了多少朵。（分析）一共做多少朵知道嗎？那么要先算什么？要求一共做多少朵，須知道什么？做了幾朵紅花，幾朵黃花。（分析）題里告訴了什么？怎么求一共做多少朵？（綜合）知道一共做20朵，現在可以求什么？怎么求？（綜合）（5）教學幾何初步知識也同樣運用著分析與綜合。例如，教學長方體特征時，引導學生觀察、分析它們的面、校和頂點，然后加以綜合，總結出長方體有6個面、12條棱和8個頂點，以及其他特征。小學生的分析與綜合，在不同年齡段具有不同的水平。低年級學生能進行簡單的分析與綜合，但是一般都要結合動作和直觀來進行，而且主要是進行部分的分析，即能分析某個事物的個別部分或個別特征。中年級學生在教學的影響下有所發展

14、，但多數還是部分分析，而進行綜合的分析能力還很差。解答兩步應用題時，有近50的學生能正確分析出第一步先求什么，多數能列綜合算式解答。高年級學生的分析、綜合能力有較大的發展。他們能進行稍復雜的分析與綜合。解答整、小數兩步應用題時，近80的學生能正確分析出第一步先求什么。但解分數的兩步應用題時，還有較多學生對分析感到困難。在用不同方法解答應用題時，需要把原有條件重新組合分析，然后列綜合算式，從而使學生的綜合分析能力也得到了發展。教學生進行分析、綜合時要注意以下幾點：（1）研究的事物都有許多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本質的，教學時要引導學生分析重要的和本質的東西。例如，12×3，

15、口算時可以把12分解成任意兩個數的和，但是要著重引導學生把12分解成10和2，先算整十數乘以3，再算2乘以3，最后把兩個積合并起來。（2）要隨著學生的年齡逐步提高分析、綜合的要求。例如，低年級教學10以內數的組成要結合動作、直觀來進行分析；解答應用題也借助動作、直觀來分析數量關系。到了高年級，有的就可脫離直觀，但較抽象的內容還要適當利用直觀。如教學約數、公約數、倍數、公倍數等可以讓學生擺一擺計數板，以加深對分解公有的質因數的理解。（3）分析的深刻、詳細的程度注意適當劃分層次。例如，低年級教學長方形、只分析出它有4條邊、對邊相等，有4個角，都是直角。較高年級教學平行以后再分析出它的對邊平行。（4

16、）為了培養學生分析、綜合的能力，注意適當讓學生口頭表述分析、綜合的過程，可以讓同桌的學生經常互相說給對方聽。2.培養初步的比較能力。比較就是確定所研究的事物之間的相同點和不同點。有比較才能鑒別，通過比較可以加深對事物的理解。比較與分析、綜合有著密切的聯系。通過分析，把事物的個別部分、個別特性區分出來，才有可能加以比較，確定它們的異同。比較在小學數學學習中有廣泛的應用，它有助于正確理解概念和法則。從一年級開始就學習比較。如比較兩組物品的個數是同樣還是不同樣多，哪組多，哪組少。教學計算方法或法則時，通常都要出現不同的算式進行比較。例如，5+1=6，1+5=6；6-1=5，6-5=1；31+15=3

17、6，31+50=81等。教學一些概念時，也都要進行比較。如質數和互質數，分數和除法，正比例和反比例，長方形、正方形和平行四邊形等。有關聯的易混的應用題要進行比較。如比較乘、除法應用題，算術解法和方程解法等。小學生的比較能力也是逐步發展起來的。低年級學生往往只能在直接感知的條件下區分一些直觀、具體的事物的異同，或區分個別部分的異同，還不善于區分本質的異同。隨著年齡和年級的增長，學生逐步發展到能區分抽象事物的異同，許多部分的異同，并且對簡單的事物能區分本質的異同。研究還表明，小學生開始比較容易發現事物的相異點，逐步也能發現事物的相同點或相似點。而且開始發現事物的相異點都是比較明顯的，以后逐步能比較

18、細微的差異點。教學生進行比較時要注意以下幾點：（1）要比較的事物和對比較的要求必須適合上述小學生在比較方面的年齡特點。例如，低年級要多利用直觀，并且多加引導；高年級則要更多地放手讓學生進行抽象事物的比較，遇到較難的知識仍可利用直觀。開始著重比較明顯的相異點，以后逐步練習比較細微的差異點。（2）明確要比較的項目，必須在同一種屬性、特點或關系上進行比較。有時在幾方面有相同點或不同點，就要引導學生分項依次進行比較。例如引導學生比較長方形和正方形時，先比較它們的邊，再比較它們的角，然后綜合起來說出它們有什么相同點和不同點。（3）要引導學生抓住本質的屬性。特別是分析不同點時，往往有很多非本質的不同點，不

19、要在這些方面花很大力量。例如，方程解應用題和用算術方法解應用題，在解題時有很多相同點和不同點，但最重要的不同點是：用方程解時把未知量當作已知量直接參加列式，算術解法則把未知量作為解答的目標而不參加列式。學生明確這一點，就抓住用方程解應用題的本質。（4）對于易混的概念和法則要著重比較它們的相異點。例如1分米、1平方分米和1立方分米，要通過比較，使學生明確它們的實際長短或占空間的大小，弄清它們分別是長度單位、面積單位和體積單位，它們分別與1米、1平方米和1立方米的進率是10、100和1000，從而獲得明確的長度單位、面積單位和體積單位的概念。3.培養初步的抽象、概括能力。抽象是在思維中揭示出事物的

20、本質特征，舍棄其非本質特征。有時本質或非本質特征要根據研究的方向和目標而定。例如：下面的幾個形體，可以分別研究它們的形狀特征。大小特征，顏色特征或制作的材料特征等。概括則是在思維中把某些事物所抽取出的共同本質特征結合起來，并推廣到同類的事物上去。例如，研究大小不同、放的位置也不同的三角形，抽取出它們的共同本質特征，并得出一般結論，即三角形都由三條線段圍成的，都有3個角。這就是概括。顯然，抽象、概括與分析、比較、綜合有著密切的聯系。它們是在分析事物的各自特征的基礎上，舍棄其中一些非本質的對我們沒有意義的特征或屬性，分出本質的對我們有意義的特征或屬性，并且通過比較不同的事物，找出它們的共同特征或本

21、質屬性，再加以綜合。因此可以說，這幾種邏輯方法是相互聯系、相互滲透的。抽象、概括在小學數學中有著廣泛的應用。任何一個數學概念都是抽象、概括的結果。例如，認數3時，先數3個杯子，數的時候舍棄了杯子的形狀、大小、顏色等特征，區分出數量來；再數3支鉛筆、3個球，也同樣舍棄其他的特征，只區分出數量的特征。經過比較，可以看到這三種物體具有共同的數量特征，即都是3個，于是概括出數目3。認識形也是一樣，先拿一個小圓筒，舍棄它的數量、大小、顏色等特征，而抽取出它的形狀特征。那么就看到它有上下兩個圓面，還有一個側面是曲面。如果再拿幾個小圓筒，大小、顏色雖然不同，但是形狀上具有同樣的特征，那么就根據它們具有形狀的

22、共同特征把它們歸為一類，做出概括。小學生的抽象、概括能力也因年齡和年級的不同而有不同的層次和水平。據心理學家研究，低年級學生主要處于直觀形象水平階段。如認數1、 2、 3， 4、 5以及認識加、減、乘、除運算的含義等，都是通過操作、直觀而抽象、概括出來的。學生在抽象、概括時，他們往往只注意到或概括出事物的直觀形象和外部特征。例如，在一年級教學圓柱的認識，有的學生說它的形狀是“直上直下的，像個大柱子，圓乎乎的。”在教師的指導下，學生逐步能離開直觀，理解一些抽象的數概念，概括出簡單的計算法則。中年級學生則發展到形象抽象水平階段。其特點是：學生注意和區分事物的直觀的和外部的特征逐漸減少，而注意和區分

23、事物的內部的和本質的特征逐漸增加。到了高年級，進一步發展到初步的本質抽象水平。其特點是：大多數學生能對事物的本質特征或屬性以及事物的內部聯系和關系進行抽象、概括。例如，給學生出示幾個不同的菱形（來教過），四年級除了一些學生能抽象概括出它們都有 4個角或 4條邊外，有 8的學生能指出它們的四邊相等或對角相等。而五六年級除了一些學生能抽象概括出它們都有4個角或4條邊外，有21的學生能指出它們的四邊相等或對角相等，還有33的學生能指出它們是對稱圖形或有對稱軸。高年級學生還能初步理解用字母表示數。但是學生的本質抽象水平的發展還是不完全的，對于離學生生活遠的事物或高度的抽象、概括，還感困難。例如分數、小

24、數、質數、合數的本質特征，還需要通過操作或直觀來理解。教學生進行抽象、概括時要注意以下幾點：（1）要通過直觀、具體的材料進行抽象。抽象是與具體相對應的，因此要按照由具體到抽象的原則，提供豐富的直觀、具體的材料，并引導學生抽象。直觀、具體的程度可根據學生的年齡特點以及平時積累的感性經驗多少而定。低年級要多運用一些直觀、具體的材料，到高年級遇到過于抽象的概念，如質數、合數、分解質因數、分數等概念，也要注意適當運用直觀教具。（2）注意抽象、概括的科學性。進行抽象、概括時，要注意引導學生區分出事物的本質特征，舍棄其非本質特征，以便達到正確理解所學的知識。另外要注意從多個事物進行抽象、概括，避免從一個事

25、例作出概括，以防止得出片面的不正確的結論。即使是通過幾個事例進行抽象概括，有時也難免得不到正確的一般概括，因此所舉的事例要具有典型性、代表性。例如，低年級教學長方形時，要出不同的放置位置的長方形，特別要注意出現斜著放誤認為只有底邊是水平放置的長方形才是長方形。（3）進行抽象、概括之后還要注意具體化。具體化和抽象、概括是相反的過程，在抽象、概括出事物的本質的一般特征之后，還要引導學生回到單獨的個別的事物上去，以作為對抽象、概括出的結論的應用和驗證。通過這一活動還可以加深學生對所學的知識的理解，使學生的思維生動、靈活。例如，教學乘法的初步認識后，可以出現算式3×4，讓學生用小圓片擺出這個

26、算式表示的是幾個幾。另外，如果有些差生對抽象、概括出的概念的本質特征不易理解，還要再回到具體的事例中去以幫助理解。（二）培養學生初步的判斷、推理能力前面講的是思維的過程和方法，但人們在進行思維時，以什么形式表現出來呢？這就是通常所說的概念、判斷和推理。無論邏輯學或心理學，都把這三者看作基本的思維形式。1.重視概念的教學。概念是對事物的一般屬性和本質特征的反映形式。任何一個概念都是對事物進行抽象、概括的結果。概念與知覺、表象不同。知覺、表象都是事物的具體的映象，具有直觀的性質。而概念具有抽象、概括的性質。概念是用詞來表達的，它以詞的意義的形式而存在。在小學數學中概念有很多，也都是用詞來表示的，如

27、整數、分數、小數、約數、倍數、直線、長方形、圓等。（1）概念的定義。任何一個概念都反映事物的本質特征，通常叫做概念的內涵。例如，平行四邊形這個概念，它的內涵就是兩組對邊分別平行的四邊形。一個概念還反映了某一類事物的總和或范圍，通常叫做概念的外延。例如，三角形的外延就是指所有的三角形，其中包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。可以看出，概念的內涵是說明概念的含義的，概念的外延是說明它的適用范圍的。這兩者相互聯系、相互依賴。每個概念都有確定的內涵和外延，不能混淆。概念一般都要加以定義。通過定義來揭示概念所反映的事物的本質特征。這在小學數學中例子也很多。給概念下定義的方法也有多種，下面舉出幾種常見

28、的下定義的方法。例如，兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（關系定義，說明平行四邊形是四邊形中的一種，它的本質特征是兩組對邊分別平行。）已知兩個數的和及其中一個加數求另一個加數的運算叫做減法。（也是關系定義。）一條線段繞它的端點旋轉一周所成的角叫做周角。（發生定義，說明這種角的由來。）兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量。（條件定義，通常有“如果那么”）此外，在某些情況下，概念不好下定義，就采取描述、說明的方法。這在小學數學中還比較多。例如，物體表面或圍成平面的大小叫做它們的面積。（描述）把一個合數表示

29、成若干個質數的乘積，叫做分解質因數。（說明、解釋）1、2、3、4、5叫做自然數。（指出概念的外延）有些初始概念是不定義的，如集合。（在小學不講）（2）小學生對概念的掌握。小學生掌握概念有一個逐步提高的過程。低年級學生掌握的概念大部分是具體的；如果是比較抽象的概念，那么必須是通過直觀可以了解其本質特征的。據心理學家研究，兒童對概念的掌握的水平是與其概括的發展水平相適應的。低年級學生掌握概念的水平主要是描述型和功用型，如果給概念下定義，學生還較難接受。另外，學生往往對概念的本質特征不很清楚，也不易全面掌握。例如，有的學生誤認為，只有水平放置的長方形才叫長方形。中年級學生可以初步理解和掌握一些概念的

30、本質特征，但是由于抽象、概括水平的限制，對某些概念的本質特征的理解和掌握還有困難，而且往往不能脫離直觀形象的支持。例如，中年級學生掌握億以內的數比較容易，對億以上的數就比較困難。分數、小數的概念，還需要通過操作、直觀來逐步理解它們的含義。另據研究，四年級學生能識別垂線、直角三角形、平行四邊形、正方形、梯形、圓這6種圖形的平均正確率可達62.3，但是能說明圖形特征的平均正確率只有28.3。這說明要掌握幾何圖形的本質特征還是比較難的。到了高年級，學生能夠掌握一些概念的本質特征，理解一些概念的抽象定義。據測試，五年級能正確掌握所學平面圖形特征的可達50。但是有些概念還需要通過直接的經驗或感性的表象來

31、掌握。例如教學分數時，仍需要借助一些直觀材料來說明概念的意義。高年級學生還能理解和掌握一些概念間的邏輯聯系或概念系統，如平行四邊形、長方形和正方形之間的聯系和區別。但對概念的本質特征的理解和掌握也有不完全、邏輯性差等缺點，有時甚至發生混淆。例如，學生往往難以區分質數、互質數和質因數的含義，在計算時還往往用錯術語。（3）教學數學概念時要注意的幾點。正確說明所教概念的意義，首先教師要弄清概念的意義。要把數學的科學概念與日常生活中的概念的含義區別開來。例如“角”在數學中指的是平面的角，與日常生活“角”的含義不同。要防止不適當地擴大或縮小概念的內涵或外延。例如教學“整數”不能只包括0和自然數。教學概念

32、的意義時避免同一詞語的反復。例如不能說“求兩個數加在一起是多少叫做加法”。不能任意解釋一個概念。例如教學體積概念時，用粉筆盒說明裝多少支粉筆就是體積的大小。要注意在理解的基礎上給學生分析概念的定義。例如教學平行四邊形，首先說明它是一個四邊形，再說明它與一般的四邊形的差別在于兩組對邊分別平行。注意形成概念要符合兒童的認知特點。由于數學概念都是抽象的，一般要按照如下的認知順序進行教學：動作、感知表象概念、符號。如教學數目3，先出數量是3的各種實物圖（可讓學生自己擺），然后出點子圖，最后出數字“3”。教學質數和合數，可以先引導學生對20以內數的約數的多少進行分析，找出它們的特點，然后進行分類，把2、

33、3、5、7、11、13、17、19歸為一類，把4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20歸為另一類，最后概括出質數和合數的概念。注意概念的具體化。概念的形成是把具體事物進行抽象化的過程，形成概念以后還要回到具體化，以利于學生正確理解并加深理解概念的意義。例如教學乘法的含義后，給出一個乘法算式，讓學生用小棒擺出它表示的是幾個幾。教學分數的意義后，讓學生舉實例說明它的含義。注意概念間的聯系和區別。這對于加深學生對概念的理解有重要的作用。了解概念的聯系也就是了解概念間的關系。概念間的關系一般有以下幾種。從屬關系：如四邊形、平行四邊形和長方形的從屬關系可以用下圖表示。同一關系：說明兩個概

34、念完全相同。如等邊三角形和等角三角形，質數和素數。矛盾關系：如加法和減法，正比例和反比例。并列關系：如直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，奇數和偶數。交叉關系：如等腰三角形和直角三角形，可以用下圖表示。了解概念間的區別，就是要精確地掌握概念的內涵，弄清各概念的本質特征有什么不同。如長方形的周長和面積，要通過操作和直觀使學生弄清楚各指長方形的哪一部分，用的計量單位和計算方法各有什么不同。對于一些有聯系的概念，到適當時候可以引導學生把所學的概念納入概念系統中去，使知識系統化。例如，整數四則運算通過下表可把知識系統化。重視概念的應用和鞏固。牢固地掌握一個概念，必須是能識別和應用它，理解概念的意義，而

35、不是一字不差地背出概念的定義。為了使學生識別和理解概念，可以出現如下的練習，讓學生判斷是否正確。最小的自然數是0。（ ）角的兩邊越長，角就越大。（ ）為了使學生學會應用概念，可以出現如下的練習。用加法的意義說明下面的應用題為什么用加法算：“小明有15張郵票，小強比小明多3張，小強有多少張郵票？”能整除120的質數有_。2.培養初步的判斷能力。判斷是對事物具有某種特征或屬性的肯定或否定的思考。例如，“自然數和0都是整數”，“含有質因數3的數不能化成有限小數”，都是判斷。很明顯，判斷是用語句來表達的。而語句是由詞聯結成的，因此判斷是由概念聯結成的。也可以說，判斷是反映概念間的聯系的形式，它反映一個

36、概念是不是包含于另一個概念之中。例如，“減法是加法的逆運算”這個判斷，它首先說明減法是一種運算，同時又說明是加法的逆運算。它表示了減法這個概念與加法概念的聯系。小學數學中有關概念的定義，法則，定律和公式等一般都用判斷形式來表示。（1）判斷的分類。簡單判斷：指一個判斷中不包含其他的判斷。根據事物的數量、各種性質以及不同的關系，簡單判斷可以分成很多種。這里結合小學數學舉出常見的幾種。按照肯定或否定某一種性質來分，有：肯定判斷：如，能被2整除的數都是偶數。否定判斷：如，0不是自然數；分母含有2、5以外的質因數的分數，不能化成有限小數。按照事物的數量來分，有：單稱判斷：判斷中只關系到一個事物。如，1不

37、是質數，也不是合數。特稱判斷：判斷中關系到某些事物。如，有些質數是奇數。全稱判斷：判斷中關系到某一類事物的全部。如，任意三角形的內角和是180°。按照判斷中所確定的事物與事物間的關系來分，有：對稱性的：如，3加2等于5；1米等于100厘米。非對稱性的：如，5大于3。傳遞性的：如，小明比小華高，小華比小林高，小明比小林高。復合判斷：它是由幾個簡單判斷結合而成的。常見的有：聯言判斷：它是斷定幾個事物情況同時存在的判斷。如，3和5都是質數；15既是3的倍數，又是5的倍數。選言判斷：它是斷定幾個可能的事物情況至少有一個存在的判斷。如，互質的兩個數，或者一個是質數一個是合數，或者兩個都是質數，

38、或者兩個都是合數。假言判斷：它斷定的是在某一條件下事物才具有某種屬性。如，如果一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除；（如果）小數的小數點向右移動一位，小數就擴大10倍。（2）小學生判斷能力的發展。小學生的判斷能力也是逐步發展的。低年級學生已能作一些簡單判斷，但是大多屬于感知形式的直接判斷。例如，教師出示5朵紅花，學生點數后說出“紅花是5朵”。在學生所進行的簡單判斷中，很多是對事物是否具有某種屬性的直接斷定。如“紅花是5朵”，“正方形的四條邊是相等的”。還有大量的判斷是反映事物間的關系的。如“5比3大”，“紅花比黃花少3朵”，“羊的頭數是牛的2倍”，“3加2等于5”，“1米等于1

39、00厘米”等。這些判斷，在教學的影響下，學生一般都能掌握。有時還用到一些稍復雜的判斷。例如，“在沒有括號的算式里，有乘法和加、減法，要先算乘法。這實際上是一個假言判斷，只是在法則中把“如果那么”給省略了。通過實際例子，低年級學生還是能夠理解和運用的。進入中年級，學生的判斷能力有了一定的發展。有些學生能夠離開直觀進行一些抽象的判斷。例如，對“兩個加數的和一定比每個加數大”，有43.9能做出正確的判斷。但有些比較難的問題，判斷的正確率比較低。有些學生能對所做的判斷提出根據，但仍是少數。例如，在出示x×3=24，讓學生求未知數x時，大多數學生能做對，但只有9.6的學生能說出根據什么用除法計

40、算。中年級學生能理解和掌握比較容易的假言判斷。在數學課上通過具體事例，多數學生能理解和掌握積的變化規律和商不變的規律。例如，“一個數和35相乘，積是7000，如果這個數縮小10倍，積變成（ ）。”正確率達76.7。高年級學生的判斷能力有較大的發展。多數學生能進行抽象的判斷。例如，對“一個近似數是350，它可以表示的準確數里，最小的是351。”64.5的學生能做出正確的判斷。多數學生還能對做出的判斷提出簡單的論證或說明根據。例如，在解x×3=24時，68.7的學生能回答出計算的根據。據心理學家研究，高年級學生還能論證一些比較復雜的或然判斷，提出各種可能的原因，并從中確定正確的原因或主要

41、原因。但是根據數學測試，當一道題有不同的判斷時，學生能答出幾個可能的判斷的只占12.4，大多數學生只做出一種判斷。這可能與平時教學解題時只有一個正確答案有關。盡管如此，這些事例已能說明高年級學生具有一定的邏輯判斷能力。（3）培養學生初步的判斷能力要注意的幾點。要正確理解數學知識中的每個判斷，能從邏輯角度弄清它屬于哪類判斷，挖掘數學知識中的邏輯因素，才便于教學中有意識地引導學生做出合乎邏輯的判斷。例如，三角形的內角和是180°，這是一個全稱判斷，因此教學時要對直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形分別加以考察、分析，然后再做結論。教學后還要問一問學生，為什么能做出結論說“任意三角形的內角和

42、是180°”呢？要根據學生的年齡特點，通過具體例子引導學生做出正確的判斷。在低年級還要多運用操作、直觀，在高年級對一般的判斷可以脫離直觀，但對比較抽象又難理解的判斷，如有關分數大小的比較，還要適當運用直觀。要使學生正確理解判斷中所確定的量，事物間的關系以及所具有的屬性的特點。首先要分清一個判斷是單稱的、特稱的或是全稱的。其次要分清判斷中概念間的關系。有些可通過畫圖來說明（如下圖）。對于假言判斷，要使學生弄清條件。如小數點移位引起小數大小的變化，要弄清什么條件下小數的大小發生變化，怎樣變；什么條件下小數的大小不變（即小數的基本性質）。設計好判斷的練習。這是培養學生判斷能力的重要途徑。做

43、一些判斷是否正確的題目很有好處。例如，所有的偶數都是合數。（ ）分數都比1小。（ ）互質的兩個數一定都是質數。（ ）對于學生的回答，要注意引導學生檢查和糾正其判斷中的邏輯錯誤。也可進行這樣的練習。例如，任意兩個等底等高的三角形可以拼成一個平行四邊形。（“任意”兩字應改為“有些”，即把全稱判斷改成特稱判斷。）不同一。）不能化成有限小數？3.培養初步的推理能力。推理是從一個或幾個判斷得出一個新判斷的思維形式。推理所依據的判斷叫做前提，推出的新判斷叫做結論。人們在實踐中常常運用邏輯推理的方法獲得新知識。推理在學習數學知識方面起著極其重要的作用。大部分數學知識是由一些基本判斷推導出來的。根據前提的數目

44、來分，推理有兩種：直接推理：是以一個判斷作前提的推理。例如，由“5比3大”推出“3比5小”。有些直接推理也并不是很容易掌握的。例如，由“自然數和0都是整數”推出“整數就是自然數和0”，就錯了。間接推理：是有兩個或兩個以上的判斷作前提的推理。例如，各位上的數的和能被3整除的數都能被3整除；375各位上的數的和能被3整除；所以，375能被3整除。（1）幾種常用的間接推理。歸納推理：它是從特殊判斷到一般判斷的推理。這種推理又分為完全歸納和不完全歸納兩種。完全歸納是根據某類事物的每一種特殊情況（即對所有情況都一一考察）做出一般結論。這在小學數學中是少見的。下面可以算作接近完全歸納的例子。例如，通過直觀

45、得出，直角三角形的內角和是180°；銳角三角形的內角和是180°；鈍角三角形的內角和是180°；所以，任意三角形的內角和是180°。不完全歸納是僅根據某類事物中的部分情況具有某種屬性做出一般性結論。這在小學數學中有廣泛的應用。例如，教學0的乘法、運算定律、分數的基本性質等，一般舉幾個例子，分別做出個別結論（即單稱判斷），然后做出一般結論（即全稱判斷）。應用不完全歸納推理，有時根據不多的幾個事實，會得出不正確的結論。例如，3是質數，也是奇數；7是質數，也是奇數；11是質數，也是奇數；所以，所有的質數都是奇數。（2是質數，卻是偶數。）因此使用不完全歸納推理必

46、須十分謹慎，所舉事實必須注意代表性，做出結論后要進一步加以驗證。演繹推理：它是從一般判斷到特殊判斷的推理。演繹推理中最常用的是三段論形式。例如，分數的分子、分母是互質數的是最簡分數；（大前提）可以看出，三段論是由3個判斷組成的，前兩個判斷分別叫大前提和小前提，最后是結論。在大前提中提供了一般原理原則，在小前提中提供了一個特殊情況（即特殊判斷）。三段論通常都是從大前提開始的。但在實際中也往往從小前提開始，然后再提出大前提。因此在思維時兩個前提可以顛倒順序。但必須分清哪個是大前提，哪個是小前提。在小學數學中應用法則、公式、定律等解決具體問題時，都運用了演繹推理。但往往不是嚴格按照三段論形式，而采取

47、了簡略的推理形式。例如，375各位上的數的和能被3整除；所以，375能被3整除。（這里省略了大前提。）另外，在說明算理或論證的時候，實際上是先說了結論，再補充前提。例如，判斷下面哪些數能被3整除：375，回答：375能被3整除。（這是結論。）為什么？因為375各位上的數的和能被3整除。（只說出小前提，省略了大前提。）也可能答：因為各位上的數的和能被3整除的數都能被3整除。（只說出大前提，省略了小前提。）類比推理：是根據兩個事物在一系列屬性上有相似之點，已知其中一個事物還有其他屬性，由此做出另一個事物也具有同樣的其他屬性的結論。它的推理方式如下。事物A具有屬性 a、b、c、d；事物B具有屬性 a

48、、b、c；所以，事物B也具有屬性d。可以看出，這是從特殊判斷到特殊判斷的推理。類比推理在小學數學教學中也有一些應用。例如，整數的計數單位間進率是10，做加法要相同數位對齊，從低位加起；小數的計數單位間進率是10，做加法要相同數位對齊(就是小數點對齊）；所以，小數加法也要從低位加起。有關平面圖形的許多判斷通過類比推理可推到立體圖形上去。例如，長方形的面積等于相鄰兩條邊的乘積；長方體的體積等于相鄰三條棱的乘積。圓可以分成一些相等的扇形，再拼成一個近似的長方形，從而導出圓面積計算公式；直圓柱的兩底面是半徑相等的圓，因此可以把圓柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切開，再拼成一個近似的長方體，從而

49、導出圓柱體體積計算公式。必須注意，用類比推理所得的結論不總是真實的。因為進行類比推理的兩個事物雖有許多相似之點，但仍有一些差異，如果遇到有差異的屬性，或者在第二個事物中根本沒有這種屬性，而仍使用類比推理，就會出現錯誤。例如，各位上的數的和能被3整除的數，能被3整除；9是3的3倍，各位上的數的和能被9整除的數，能被9整除；27是9的3倍，各位上的數的和能被27整除的數，卻不一定能被27整除。（這里的27是兩位數）由于類比推理所得的結論有或然性，它不能代替科學論證，所以在推出結論后，需要進一步論證或在實踐中檢驗。（2）小學生推理能力的發展。小學生的推理能力，是隨著年齡的增長以及教學的影響逐步發展起

50、來的。低年級學生首先掌握的是簡單的直接推理，如由“5比3大”直接推出“3比5小”。遇到帶有逆思考性質的推理，則有些學生感到困難。例如，一年級算14-9，要求用加法想出得數，有些中、下學生開始感到困難，要通過操作、直觀和多次練習才能逐步掌握。低年級學生也開始初步發展了間接推理，當然只限于簡單易懂的，而且要借助直觀或熟悉的事例。例如，配合直觀出示6+0=6，8+0=8，0+5=5學生在教師的引導下能歸納出一個數加上0還得原來的數。又如，加法的交換性質，一年級結合直觀進行歸納也不困難。實驗表明，低年級學生由幾個例子歸納出一條法則比較容易，如果要歸納兩條或更多條法則就比較困難。低年級學生的演繹推理能力

51、也獲得初步發展，因為在數學課上經常要把歸納出的法則用到具體的計算中去。但是學生的演繹推理往往不是嚴格地按照三段論的形式進行的。例如計算8+9，學生知道用9+8來計算，但不會都想到調換兩個加數的位置和不變這個大前提。往往經過教師提問，學生才把大前提補上。低年級解兩步應用題時，開始學習多步的演繹推理，多數感到困難，經過較長時間的訓練，能掌握的也還達不到半數。但是列式解答比較容易的兩步應用題，一般沒有困難。這也說明，學習解答兩步應用題的能力和口頭分析兩步應用題的能力不是同步發展的。進入中年級，學生的推理能力有了一定的發展。多數學生能進行比較容易的間接推理。他們能結合直觀進行歸納推理，但進行抽象的歸納

52、推理還感困難。學生單獨歸納一般規律也比較困難，而且表述時也往往不夠確切。例如，加法結合律，學生還不善于從幾個特殊判斷上升到一般判斷，需要教師加以引導。中年級學生大都能進行簡單的演繹推理，但是在數學課上把已學的法則運用到個別問題中去時，往往是不自覺的。在解答兩三步計算的應用題時，學生口頭分析、推理的能力比低年級有較大的提高。中年級學生的類比推理能力也有了一些發展。據研究，具有正確類推能力的學生約占35，有很多新知識可以在已學的基礎上類推出來，但往往需要加以引導。總的來看學生獨立類推的能力還較差。到了高年級，學生的推理能力有較大發展。據心理學家研究，12歲學生歸納推理的正確率比10歲的有較大增加。

53、從數學教學來看，多數學生能從幾個具體例子歸納出一般結論，但是能從特殊結論合乎邏輯地逐步上升到一般結論，仍占少數。高年級學生的演繹推理也比中年級有了較大發展。例如給出一個未學過的法則，讓學生按照所給的法則對某個式子進行運算。四年級學生能做對的只有13.2，五年級做對的達45.9，六年級則達58.3。學生綜合運用歸納和演繹推理的能力還較差。從測試情況看，問題中所反映的規律是比較簡單明顯的，學生容易推出，規律比較復雜和不明顯的，則感到困難。例如，給出一列數：7，8，13，15，20，23，（），（），要求找出數的排列規律并在括號里填數，做對的只有16.5。高年級學生的類比推理也有進一步發展。據心理學

54、家研究，高年級能正確類推的達59。在高年級數學教學中較多運用類比推理，不僅為加快理解和掌握數學知識提供了有利條件，也促進了學生類比推理的發展。但是學生也容易出現類比推理的錯誤。例如，在低年級學過甲比乙多20，反過來就推出乙比甲少20。到高年級學過分數，多數學生易把這種方法錯誤地類推到分數中去，即如果甲比乙多20，反過來就推出乙比甲少20。（3）培養學生初步的推理能力要注意的幾點。在引導學生進行歸納推理時，注意要舉幾個事例，避免只舉一個事例就做出一般結論。同時要引導學生對每一事例的屬性或特征做出正確的特殊判斷，最后再上升到一般判斷。例如，教學加法交換律，先就每個等式做出特殊判斷：3+5=5+3

55、3和5這兩個加數調換位置，和不變；10+8=8+10 10和8這兩個加數調換位置，和不變；129+46=46+129 129和46這兩個加數調換位置，和不變；所以，加法中兩個加數調換位置，和不變。另外，由于不完全歸納所得的結論不一定真實，在這之后還要引導學生把一般結論應用于個別例子中加以檢驗。為了培養學生的初步推理能力，每教一個新的法則、性質、公式后，再應用于具體情況時，要注意讓學生說根據。在這時并不要求學生嚴格按照三段論的形式來回答，但是當學生回答時缺少大前提，教師要通過提問，使學生明確補上所缺少的大前提。應用演繹推理必須遵循一定的規則，否則會出現邏輯錯誤。例如，凡9的倍數都是3的倍數；20

56、不是9的倍數；所以，20不是3的倍數。這個例子的結論是對的，但推理不正確。因為有一條規則是大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的。而這里的小前提是否定的。因此要真正掌握好，還需要深入研究一些邏輯規則。注意綜合運用歸納、演繹推理。一方面，在歸納出新的法則、公式之后要應用于具體情況中去；另一方面，注意安排一些富于思考的題目，引導學生運用歸納推理探索出規律，再運用所得規律解決新的問題。例如，（a）先找出數的排列規律，再在（ ）里填適當的數。15 16 18 19 21 20（ ）（ ）（b）找出下面每個三角形中的線段的條數與所含的三角形的個數有什么關系。算一算，在三角形中加5條線段可以有多少個三角形

57、。 s 在解答復合應用題的時候，充分注意培養學生推理能力。解答應用題時，既應用了分析、綜合，又應用了判斷、推理。如解答兩步應用題時實際上是應用了多步的演繹推理。例如，“一個食堂原有煤200噸，用去3/5，還剩多少噸？”推理的步驟如下：要求還剩多少噸，必須知道原有的噸數和用去的噸數；這道題知道原有200噸，不知道用去的噸數；所以，必須先求出用去的噸數。要求用去的噸數，必須知道原有的噸數和用去的占原有的幾分之幾；所以，可以求出用去的噸數。根據分數乘法的意義，可以求一個數的幾分之幾；當然只在開始時這樣一步一步地推理，以后可以適當簡縮推理過程。使用類比推理時，要注意學生是否有亂用類比推理的錯誤，發現后要及時糾正