1、第二章5夾角的計算 知識梳理 自主學習知識點一直線與平面的夾角(1)平面外一條直線與它在該平面內的 的夾角叫作該直線與此平面的夾角.(2)如果一條直線與一個平面平行或在平面內，我們規定這條直線與平面的夾角為 .(3)如果一條直線與一個平面垂直， 我們規定這條直線與平面的夾角是 .(4)直線與平面夾角的范圍： .(5)斜線與平面夾角的范圍： .答案0投影返回知識點二直線與平面夾角的向量求法設平面的斜線l的方向向量為a，平面的法向量為n.(1)當a，n與，l的關系如圖所示時，則l與所成角與a，n所成的角互余.即sin cosa，n.(2)當a，n與，l的關系如圖所示時，sin -cosa，n.(2

2、)直線與平面所成角的范圍是可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角s，n求得,關系式:sin =|cos s，n| 題型探究 重點突破題型一求直線與平面的夾角的基本方法例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD的夾角.解析答案反思與感悟解方法一連接BC1，B1C交于點O，連接A1O，在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD.故A1O為A1B在平面A1B1CD內的投影，即BA1O為A1B與平面A1B1C的夾角.解析答案反思與感悟BA1O30.A1B與平面A1B1CD的夾角是30.反思與感悟方法

3、二如圖所示，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，設平面A1B1CD的一個法向量為n(x，y，z).令x1，則有y0，z1，可取n(1,0,1).則A1B與平面A1B1CD的夾角是30.感悟求直線與平面的夾角的方法與步驟思路一：找直線在平面內的投影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數值).思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟：(1)建立空間直角坐標系；(3)求平面的法向量n；解析答案跟蹤訓練1 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面A

4、BCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中點.求EB與平面ABCD夾角的余弦值.解析答案解取CD的中點M，則EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的投影為BM，MBE為BE與平面ABCD的夾角，如圖建立空間直角坐標系，設PDDC1，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，解析答案題型二空間夾角的綜合應用例2四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分別為CD，PB的中點.(1)求證：EF平面PAB；又ABPAA，EF平面PAB；解析答案反思與感悟反思與感悟設平面AEF的一個法向量為n(x，y，z)，反思

5、與感悟本題有兩問是一個綜合題，題目以四棱錐為背景構造垂直的證明和線面角的求解，求解過程充分體現了向量的工具性作用.解析答案跟蹤訓練2在如圖所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中點.(1)求證：CMEM；證明如圖，以點C為坐標原點，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，設EAa，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).解析答案返回(2)求CM與平面CDE的夾角.解設向量n(1，y0，z0)與平面CDE垂直，所以y02，z0

6、2，即n(1,2，2)，因此直線CM與平面CDE的夾角是45. 當堂檢測1.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若B1MN90，則PMN的大小是()A.等于90B.小于90C.大于90D.不確定解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，A解析答案MPMN，即PMN90.也可由三垂線定理直接得MPMN.解析答案2.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值為()解析 建系如圖，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，答案C解析答案A.60 B.90 C.105 D.75解析 建立如圖所示的空間直角坐標系，設BB11，則A(0,0,1)，B即AB1與C1B所成角的大小為90.解析答案4. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為()解析以D點為坐標原點，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(圖略)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D解析答案解由于ACBC2，D是AB的中點，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，