1、2020-2021中考數學直角三角形的邊角關系（大題培優）含詳細答案一、直角三角形的邊角關系1 .如圖，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC為直徑的。0分別交 AB BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且 / CAB=2/ BCP（1）求證：直線CP是。的切線.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求點 B 至ijAC 的距離.（3）在第（2）的條件下，求 4ACP的周長.【答案】（1）證明見解析（2） 4 （3） 20試題分析：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判斷出/ ACP=90 即可；（2）利用銳角三角函數，即勾股定理即可

2、.試題解析：（1）ZABC=Z ACB, .AB=AC,.AC為。0的直徑，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；點D在。O上，直線CP是。的切線；(2)如圖，作BF,AC,. AB=AC, /ANC=90；1.CN，CbW, / BCP玄 CAN, sin/ BCP=5 ,唧sin / CAN=，CN _k 丁.AC=5,.AB=AC=5,設 AF=x,貝U CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=Ab2-AF2=2

3、5-x2,在 RtCBF中，BF2=BC2C聲=2O (5x) 2,.25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,. BF2=25 - 32=16,BF=4,即點B到AC的距離為4.考點：切線的判定2.已知RtABC中，/ACB=90,點D、E分別在BC、AC邊上，連結 BE、AD交于點P, 設AC=kBD, CD=kAE k為常數，試探究 /APE的度數：(1)如圖1,若k=1,則/APE的度數為；(2)如圖2,若k=J3,試問(1)中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數.(3)如圖3,若k=,且D、E分別在CR CA的延長線上，(2)中的結論是否成立，請說明理

4、由.【答案】（1） 45。； （2） （1）中結論不成立，理由見解析；（3） （2）中結論成立，理由見解析.【解析】分析：（1）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 FA三ACD,得出EF=AD=BF再判斷出/ EFB=90 ；即可得出結論；（2）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結論；（3）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 ACDHEA,再判斷出/ EFB=90；即可得出結論；詳解：（1）如圖1,過點A作A

5、F/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,aL卻 ./FBE=Z APE, /FAC4 C=90 ；四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD. . AC=BD, CD=AE .AF=AC. / FAC土 C=90 ； .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC. / ADC+Z CAD=90 , / FEA+/ CAD=90 = Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . .EF=BF/ FBE=45,/ APE=45 ,(2) (1)中結論不成立，理由如下：如圖2,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,CD圖2./F

6、BE=Z APE, /FAC4 C=90 四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD. AC=/3bD, CD= , 3 AE,蛆CD 3BD AE3 BD=AF,. 王CDq.AF AE4 / FAC叱 C=90 ;5 .FAEAACD,ACADBF-V3, /FEA之 ADC.AFEFEF6 / ADC+/ CAD=90 ,7 / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF,/ EFB=90.在 RtEFB 中，tan/FBE=EFBF/ FBE=30,/ APE=30 ,OEBDH是平行四邊形,CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,連接 AH,

7、.BE=DH, EH=BDAC= 3BD, CD=、.3AE,ACBDCDae3 / HEA=/ C=90 ；4 .ACDAHEAsADAHAC J3 , / ADC=Z HAE EH5 / CAD+/ ADC=90 ,6 / HAE+Z CAD=90 ；/ HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= J3 AD / ADH=30 ；/ APE=30 ,點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，構造全等三角形和相似三角形的判定和性質.3.在正方形ABCD中，BD是一條對角線.點P在射線CD上（與點C, D不重合），

8、連接 AP,平移ADP,使點D移動到點C,得到ABCQ,過點Q作QHLBD于點H,連接AH、 PH.（1）若點P在線CD上，如圖1,依題意補全圖1 ;判斷AH與PH的數量關系與位置關系并加以證明；（2）若點P在線CD的延長線上，且 ZAHQ=152,正方形 ABCD的邊長為1 ,請寫出求 DP長的思路.（可以不寫出計算結果）1 -Wnl71 【答案】（1）如圖；AH =PH, AHPH.證明見解析（2） 3n加,或1 + tanl7 【解析】試題分析：（1）如圖（1）;（1）法一：軸對稱作法，判斷：AH=PH,AHXPHI.連接CH,根據正方形的每條對角線平分一組對角得：4DHQ等腰RtA ,

9、根據平移的性質得DP=CQ,證得4HD國HQC,全等三角形的應邊相等得PH= CH,等邊對等角得/HPC=/HCP,再Z合BD是正方形的對稱軸得出 /AHP= 180 - Z ADP= 90, .AH： PH且AH, PH.四點共圓作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、D、P、H共向，/AHP= 90； / APH=/ADH=45 , . APH 等腰 Rt4 .（2）軸對稱作法同（1）作HR，PC于R,DR HR / DCH= 17 ：設 DP= x,貝U可得出x的值.四點共圓作法，A、H、D、AD1PD = tan2B所62 口 62 口試題解析：（1）法一：軸對稱作法，判斷： AH=P

10、H, AH證：連接 CH,得：4DHQ等腰RtA ,/ HPC= / HCPBD為止方形 ABCD對稱軸，AH = CH, / Z AHQ=152, ，/AHB= 62, . . / DAH= 1717HRRQ - rjtanl7工.由匕戶代入HR, CR解方程即P 共向，Z APD= / AHB= 62,_ PH. DP= CQ,AHDPAAHQC, . PH= CH,:DAH= / HCP,AH= PH, / DAH= / HPC,/ AHP= 180 - Z ADP= 90 :AH= PH 且 AH, PH.法二：四點共圓作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、/APH= / ADH=

11、45 ,. APH 等腰 RtA . DE, 當ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰， OEXDM, 又 AD= AC,.ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;,1在 RtADN 中，DN=AD=732 在 RtA ODN 中,ON=匣 DN= 13 ， 當ON等于1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形；當MD=ME, DE為底邊，如圖 3,作DHXAE,. AD=2 73 , /DAE= 30。，.DH= 73, /DEA= 60 , DE= 2, .ODE為等邊三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30

12、 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ；/ DNO= 45 ；.NDH為等腰直角三角形，,-.nh=dh=也,ON= 73 - 1 ;綜上所述，當ON等于1或J3 - 1時，三點D、E、M組成的三角形是等腰三角形;(3)當。O變動時DP-DQ的值不變，DP - DQ= 2 J3 .理由如下：連AP、AQ,如圖2,3 z c= Z CAD= 60 ；而 DPI AB,4 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ,Z CAQ= / PAD5 . AC=AD, /AQC=/P,6 .AQCAAPD,

13、.DP= CQ,7 .DP- DQ= CQ- DQ= CA2 M .【點睛】在同圓和等圓中，相30的直角三角形三邊的關本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對的弦;等的弧所對的圓周角相等.也考查了等腰三角形的性質以及含系.10.如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60。方向前進實施攔截，紅方行駛 1000米到達C處后，因前方 無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西 45。方向前進了相同的距離，剛好在 D處成功 攔截藍方，求攔截點 D處到公路的距離（結果不取近似值）.D【答案】攔截點 D處到公路的距離是（500 + 50

14、。）米.【解析】試題分析：過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F,則/ E=Z F=90。，攔截點D處到公路的距離1 1DA=BE+CF 解 RtBCE 求出 BE=7 BC. 乂 1000=50張；解 RCDF,求出J2CF二 CD=5006米，則 DA=BE+CF=（500+500百）米.試題解析：如圖，過 B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E;過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點 F,則ZE=Z F=90。，攔截點D處到公路的距離 DA=BE+CF在 RtBCE中，. /E=90, /CBE=60,/

15、 BCE=30,1 1BE=- BC=- X 1000=50米；在 RtCDF中， ZF=90, /DCF=45, CD=BC=1000米，.CF=4CD=500忘米， .DA=BE+CF=( 500+500 盧)米,故攔截點D處到公路的距離是(500+500)米.AB考點：解直角三角形的應用 -方向角問題.11.如圖，正方形 ABCD的邊長為72+1,對角線AC、BD相交于點O, AE平分/BAC分別 交 BC BD 于 E、F,(1)求證：ABFsACE；(2)求 tan/BAE的值；(3)在線段AC上找一點P,使得PE+PF最小，求出最小值.DC【答案】(1)證明見解析；(2) tan/

16、EAB= J2 T ; (3) PE+PF的最小值為 22【解析】【分析】(1)根據兩角對應相等的兩個三角形相似判斷即可；(2)如圖1中，作EHIAC于H.首先證明 BE=EH=HC設BE=EH=HC=x構建方程求出 x 即可解決問題；(3)如圖2中，作點F關于直線AC的對稱點H,連接EH交AC于點P,連接PF,此時PF+PE的值最小，最小值為線段 EH的長；【詳解】(1)證明：二四邊形ABCD是正方形，/ ACE= / ABF= / CAB- 45 ；1 . AE 平分 / CAB,/ EAC= / BAF= 22.5 ,2 .ABFAACE(2)解：如圖1中，作EHIAC于H.圖1 .EA

17、 平分/CAB, EHXAC, EB AB, .BE=EB, / HCE= 45 ； C CHE= 90 ;/ HCE= ZHEC= 45 ； .HC=EH,-.BE=EH= HC,設 BE= HE=HC= x,貝U EC= . 2 x, BC=拒+1,-x+x= 2+1,. . x= 1 ,在 RtA ABE 中， Z ABE= 90,BE _1_ -tan / EAB=尸v2 1 .AB .2 1(3)如圖2中，作點F關于直線AC的對稱點H,連接EH交AC于點P,連接此時 AC= Jab2 bc2 =2+ &,八 八 12、2.OA=OC= OB= -AC= ,22,-.OH = OF=

18、OA?tanZ OAF= OA?tan / EAB= 2 ? ( V2 - 1)=22八八 2.2.HM=OH+OM=在 RtA EHM 中,EH= Jem 2 HM 2 =22,=2 22.PE+PF的最/、值為22 22【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定，勾股定理，最短問題等知識，解題的關鍵是 學會添加常用輔助線，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型.BDAE于 D.（1）求證：/DBA=/ ABC;1（2）如果 BD=1, tan/BAD,求。的半徑.5【答案】（1）證明見解析；（2） .【解析】試題分析：（1）如圖，連接 OA,由AE為。的切線,BD AE得至U / DAO=/ EDB=90 ,于是得到 DB/AO,推出/ DBA=/ BAO,由于 OA=OB,得到/ ABC=/ BAO,即可得到結 論；（2）根據三角函數的知識可求出AD,從而根據勾股定理求出