1、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)課程改革* 本文曾發(fā)表於第四屆中國(guó)教育國(guó)際論壇(2003/11, 無(wú)錫)，此處對(duì)原文略有修改。韋輝樑澳門 培道中學(xué) 副校長(zhǎng)2003年9月3 日摘要在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象或問題置於一個(gè)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，從”動(dòng)”的觀點(diǎn)，用”動(dòng)”的方法對(duì)概念、問題進(jìn)行探索式和發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，我們稱之為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)。進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)可能會(huì)引起對(duì)原有課程的徹底改革，包括課程規(guī)劃、教學(xué)模式、教材編寫、教學(xué)方法、教師培訓(xùn)、實(shí)驗(yàn)課程與原教程的配合等一系列與課程改革有關(guān)的問題。作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，與物理實(shí)驗(yàn)課一樣，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己動(dòng)手操作，在實(shí)驗(yàn)過程中自己獲取知識(shí)，這樣又將牽涉到動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的研發(fā)。如果用魚

2、和魚竿來(lái)比喻知識(shí)和方法的話，則動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該就是魚竿了。作者開發(fā)了PG_Lab和DM_Lab作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)動(dòng)態(tài)函數(shù)教學(xué)進(jìn)行了兩年實(shí)踐和研究研究。目前為止，我們?cè)赑G_Lab和DM_Lab上實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容有：² 動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)² 動(dòng)態(tài)軌跡教學(xué)² 動(dòng)態(tài)函數(shù)教學(xué)² 代數(shù)問題動(dòng)態(tài)化本文就上述四項(xiàng)內(nèi)容分別舉例以說(shuō)明動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和方法。最後介紹了澳門培道中學(xué)進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)課程改革的情況。關(guān)鍵詞 Key Word動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)Dynamic Mathematics數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境Mathematic Experiment Envi

3、ronments數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)Mathematic Experiment Teaching動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)課程改革韋輝樑澳門培道中學(xué) 副校長(zhǎng)2003年9月3 日前言在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)學(xué)研究的對(duì)象或問題置於一個(gè)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，從”動(dòng)”的觀點(diǎn)，用”動(dòng)”的方法對(duì)概念、問題進(jìn)行探索式和發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，我們稱之為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)。進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)可能會(huì)引起對(duì)原有課程的徹底改革，包括課程規(guī)劃、教學(xué)模式、教材編寫、教學(xué)方法、教師培訓(xùn)、實(shí)驗(yàn)課程與原教程的配合等一系列與課程改革有關(guān)的問題。作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，與物理實(shí)驗(yàn)課一樣，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己動(dòng)手操作，在實(shí)驗(yàn)過程中自己獲取知識(shí)，這樣又將牽涉到動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的研發(fā)。如果用魚和魚

4、竿來(lái)比喻知識(shí)和方法的話，則動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該就是魚竿了。作者開發(fā)了PG_Lab和DM_Lab作為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)動(dòng)態(tài)函數(shù)教學(xué)進(jìn)行了兩年實(shí)踐和研究研究。目前為止，我們?cè)赑G_Lab和DM_Lab上實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容有：² 動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)² 動(dòng)態(tài)軌跡教學(xué)² 動(dòng)態(tài)函數(shù)教學(xué)² 代數(shù)問題動(dòng)態(tài)化本文就上述四項(xiàng)內(nèi)容分別舉例以說(shuō)明動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和方法。最後介紹了澳門培道中學(xué)進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)課程改革的情況。一. 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)的例1. 動(dòng)態(tài)幾何和動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)的例幾何學(xué)研究的對(duì)象是：圖形及其之間的關(guān)係。幾何教科書上常用性質(zhì)一詞，例如等腰三角形的性

5、質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等等。圖形的性質(zhì)是中學(xué)幾何學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。何謂圖形的性質(zhì)?圖形的性質(zhì)是指同類圖形所具有的共同特徵，是從眾多同類圖形中由觀察、測(cè)量、分析、思考，最後經(jīng)歸納抽象而得到的。這是定義和性質(zhì)的來(lái)龍去脈。忽略了這一點(diǎn)，就有從定義出發(fā)，從理論到理論之嫌。圖形的性質(zhì)是由考察眾多同類圖形後經(jīng)歸納而發(fā)現(xiàn)的，因此學(xué)習(xí)和研究圖形性質(zhì)的方法是:(1) 作出同一類別的眾多圖形；(2) 考察這些圖形的共同特徵；(3) 發(fā)現(xiàn)圖形的某項(xiàng)性質(zhì)，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)；(4) 由於作圖的有限性和不精確性，對(duì)此發(fā)現(xiàn)尋求邏輯證明。(5) 應(yīng)用於解決問題。作圖 觀察(測(cè)量、思考、分析) 發(fā)現(xiàn)(猜想) 證明 應(yīng)用，是學(xué)習(xí)和研究

6、圖形性質(zhì)的基本方法和道路。真正能作出眾多的同類圖形，無(wú)論在時(shí)間或空間上都有很大的困難，在40分鐘的課堂時(shí)空限制下幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。一個(gè)可替代的辦法是利用動(dòng)態(tài)圖形，動(dòng)態(tài)圖形是這樣的圖形：(1) 它可以隨時(shí)被操控，可以很方便地改變其形狀、大小、方位等等，這樣的動(dòng)態(tài)圖形可以代表了眾多；(2) 在圖形動(dòng)態(tài)變化過程中圖形的幾何性質(zhì)不變，這樣的動(dòng)態(tài)圖形可以代表了同類。將幾何圖形置於一個(gè)動(dòng)態(tài)環(huán)境中進(jìn)行動(dòng)態(tài)考察,我們稱之為動(dòng)態(tài)幾何。動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)是一種全新的教學(xué)模式，它是在一特定的幾何實(shí)驗(yàn)環(huán)境下進(jìn)行的教學(xué)。在幾何實(shí)驗(yàn)的環(huán)境中，圖形的性質(zhì)就表現(xiàn)為動(dòng)態(tài)變化過程中的不變性。通過在動(dòng)態(tài)過程中進(jìn)行觀察、測(cè)量和思考，集中注意

7、力於發(fā)現(xiàn)圖形的不變性，從而探究和發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。由此補(bǔ)足了傳統(tǒng)教學(xué)所缺少了的學(xué)習(xí)和研究圖形性質(zhì)的前三段學(xué)習(xí)步驟，解決了學(xué)生從何而來(lái)的疑問。動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)在動(dòng)態(tài)中發(fā)現(xiàn)不變性的過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察和分析的能力，觀察的主要方法是目測(cè)、估算和測(cè)量，在目測(cè)、估算和測(cè)量的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納。目測(cè)和估算正是人腦思維最常用的方式，又是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)最底層的內(nèi)容。動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，在課堂的時(shí)空條件下，重現(xiàn)前人研究幾何圖形的歷程，使學(xué)生真正學(xué)習(xí)到研究幾何的方法和技巧，使教學(xué)真正實(shí)現(xiàn)從學(xué)習(xí)知識(shí)轉(zhuǎn)軌到學(xué)習(xí)方法。例一. 已知: 在ABC中，BC=a，AC=b，a>b； 求: 當(dāng)B達(dá)最大值時(shí)，A的大小。解：

8、作出如下的圖形，可見ABC不是唯一的，令A(yù)或B沿圓周滑動(dòng)，可以產(chǎn)生多個(gè)符合條件的ABC，在動(dòng)態(tài)過程中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)A=90°時(shí)，B達(dá)到最大值。後記 一般學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手，存在從何而來(lái)的疑問。這是一道幾何極值問題，本題若從理論上求解，所需知識(shí)已經(jīng)超越了初中平幾的範(fàn)圍。動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)可以把艱深的問題變得簡(jiǎn)單和容易理解，因而可以使學(xué)生學(xué)習(xí)得更多和更廣。因?yàn)樗刂鴰缀窝芯康目茖W(xué)道路，還原了幾何問題的來(lái)龍去脈。例二.已知: 如圖，AE=DE，AEDE，ABBC，DCBC，原命題: 求證: AB+DC=BC。新命題: 探究: AB、DC與BC的大小關(guān)係。(傳統(tǒng)教學(xué)採(cǎi)原命題，幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)

9、採(cǎi)新命題)實(shí)驗(yàn)步驟:(1) 用工具作正方形ABCD；(2) 連結(jié)對(duì)角線AC；(3) 隱藏DA、CD，取消D點(diǎn)名稱，隱藏D點(diǎn)，改點(diǎn)B為E，改點(diǎn)C為D；(4) 過E作直線EK，(5) 用工具，過A作ABEK，過D作DCEK；(6) 用工具，將ABE和ECD填色。觀察與分析(1) 稍為移動(dòng)A點(diǎn)，目測(cè)觀察ABE和ECD，猜想到ABE _ ECD(2) AE=ED，AEDE (已知)(3) BEA _CDE (同角CED的餘角)(4) RtABE_RtECD ( _ )(5) AB_EC，DC_BE(6) BC = AB+DC² 原命題到此已完成，教學(xué)也到此為止。但用動(dòng)態(tài)幾何的方法進(jìn)行探究式學(xué)

10、習(xí)，還可以繼續(xù)進(jìn)行:實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(1) 移動(dòng)A點(diǎn)可分別得如下圖形。分析與發(fā)現(xiàn)(1) 當(dāng)兩個(gè)小在BE同側(cè)時(shí)，BC等於AB、DC之_(和)_；(2) 當(dāng)兩個(gè)小在BE異側(cè)時(shí)，BC等於AB、DC之_(差)_；後記1. 按已知條件，原題只給出一種靜態(tài)圖形，結(jié)論只有一個(gè): AB、CD之和等於BC；2. 用動(dòng)態(tài)幾何的方法進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)可發(fā)現(xiàn)按已知條件，原題可以有多種圖形，它們可分為兩類，一類圖形的結(jié)論是: AB、CD之和等於BC；而另一類圖形的結(jié)論是: AB、CD之差等於BC。3. 將題目由原命題改為新命題，是一種開放式命題，實(shí)為探究式和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。新命題沒有結(jié)論性語(yǔ)句，結(jié)論由學(xué)生進(jìn)行探究後發(fā)現(xiàn)。有利於培養(yǎng)學(xué)生

11、學(xué)會(huì)研究問題的方法，提高解決問題的能力，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。但是如果沒有動(dòng)態(tài)幾何實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的支持，這種命題方式只有增加教學(xué)的難度，學(xué)生更感無(wú)從著手，教學(xué)效果因拔苗助長(zhǎng)而走向反面，或使學(xué)習(xí)進(jìn)一步走向兩極分化。4. 學(xué)生由探究中發(fā)現(xiàn)了新結(jié)果，比原命題的學(xué)習(xí)更為活潑生動(dòng)、印象深刻、有趣樂學(xué)，而且比原命題學(xué)得更多和更好。有利於提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。5. 將圖形動(dòng)態(tài)化、將問題開放化、由學(xué)生自己動(dòng)手,通過觀察、分析、思考和發(fā)現(xiàn)，用填充的形式自己獲取知識(shí)，是動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)的特點(diǎn)。2. 動(dòng)態(tài)軌跡和動(dòng)態(tài)軌跡的例何謂軌跡? 動(dòng)點(diǎn)留痕就是軌跡。在數(shù)學(xué)中研究的軌跡是指符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的留痕。軌跡問題研究的對(duì)

12、象是能按一定條件運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，顯然，軌跡問題只能在動(dòng)態(tài)的環(huán)境下才能表達(dá)清楚它的過程和結(jié)論，難怪在黑板教學(xué)的環(huán)境下軌跡問題難教又難學(xué)。例三. 九條軌跡問題在中學(xué)教材裡介紹了幾條軌跡如下表:九條軌跡相等之和為一常量之差為一常量的 點(diǎn) 的 軌 跡 是：到兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)連線的中垂線橢圓雙曲線到一點(diǎn)一直線的距離拋物線？到兩相交直線的距離夾角平分線？按表列應(yīng)該有九條軌跡，但書本只教了5條，查閱其它參考書也沒查著。我問數(shù)學(xué)老師，他們也沒想過。於是我請(qǐng)老師們研究一下，然後讓學(xué)生自己去探索，把上表空白給填上。經(jīng)過幾天，在老師與同學(xué)的共同努力下，在DM_Lab動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下找出了這四條軌跡，填補(bǔ)了上表的空白。 後

13、記 1. 這種在原有知識(shí)基礎(chǔ)上，在書本知識(shí)之外，師生共同探索，引起學(xué)生很大的興趣，通過互動(dòng)學(xué)習(xí)和協(xié)同學(xué)習(xí)，學(xué)生不但鞏固了原有知識(shí)，還能運(yùn)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行連書本上也沒有的知識(shí)的探索，最後獲得了新的知識(shí)。2. 培道中學(xué)初三級(jí)學(xué)生，在教師的引導(dǎo)下，設(shè)計(jì)並發(fā)現(xiàn)了許多動(dòng)點(diǎn)軌跡的圖形，這些圖形不單學(xué)生從未見過，教師也絕大多數(shù)沒有見過，學(xué)生對(duì)軌跡知識(shí)的學(xué)習(xí)早已大大超出了書本的要求，更重要的是學(xué)會(huì)了研究軌跡的方法，發(fā)現(xiàn)到新的知識(shí)。3. 動(dòng)態(tài)函數(shù)和動(dòng)態(tài)函數(shù)教學(xué)例四：研究函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在DM_LAb上作出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象。實(shí)驗(yàn)一. 以a為參數(shù)，讓a從-3到3變化，觀察圖象的變化，發(fā)現(xiàn)：

14、1. 當(dāng)a<0時(shí)，圖象開口_；當(dāng)a=0時(shí)圖象是_；當(dāng)a>0時(shí)圖象開口_；2. |a|越大，開口_，|a|越小，開口_；3. 當(dāng)a=0時(shí)，開口_(變成無(wú)窮大)_，圖象變成 (直線)_。實(shí)驗(yàn)二. 運(yùn)用DM_Lab的參數(shù)監(jiān)察，1. 監(jiān)察 d=b2-4ac的值，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)d>0時(shí)，圖象與x軸有_個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)d=0時(shí)，圖象與x軸有_個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)d<0時(shí)，圖象與x軸有_個(gè)交點(diǎn)；2. 監(jiān)察頂點(diǎn)座標(biāo)：，並作出軌跡，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a變化時(shí)，圖象頂點(diǎn)的軌跡是一條_線。實(shí)驗(yàn)三. 以b為參數(shù)，讓b從-8到8變化，觀察圖象的變化，發(fā)現(xiàn)：1. 圖象開口方向 (不變) ，張口大小 (不變) ，圖象 (沿一曲線軌

15、跡平移) ；2. 監(jiān)察頂點(diǎn)座標(biāo)：，並作出軌跡，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b變化時(shí)，圖象頂點(diǎn)的軌跡是一條_線。² 有興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步求出該曲線的方程。實(shí)驗(yàn)四. 以c為參數(shù)，讓c從-3到3變化，觀察圖象的變化，發(fā)現(xiàn)：1. 圖象開口方向_，張口大小_，圖象 (沿一豎直線平移) ；2. 監(jiān)察頂點(diǎn)座標(biāo)：，並作出軌跡，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)c變化時(shí)，圖象頂點(diǎn)的軌跡是一條_線。後記 1. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，y=ax2+bx+c的圖象是一條不動(dòng)的拋物線，學(xué)生難以想像系數(shù)對(duì)圖象的影響，就是連:當(dāng)a>0時(shí),開口向上；當(dāng)a<0時(shí),開口向下，也只能靠死記硬背。其它的變化，課堂上不能作更多的介紹， 更遑論學(xué)生自己探索和發(fā)現(xiàn)了。2

16、. 學(xué)生通過親自操作進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)，自己獲取知識(shí)，對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的特徵以及系數(shù)對(duì)圖象的影響，有了非常深刻的認(rèn)識(shí)。4. 代數(shù)問題動(dòng)態(tài)化的例代數(shù)學(xué)習(xí)的最大特徵在符號(hào)的定義和運(yùn)算，演譯推理是常用的方法。這類問題能否實(shí)驗(yàn)?如何實(shí)驗(yàn)?還有待進(jìn)一步研究和探討。近年代數(shù)教學(xué)提出了一個(gè)新的問題：數(shù)學(xué)建模問題。所謂數(shù)學(xué)建模是指，對(duì)於一個(gè)應(yīng)用問題，如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型或建立一個(gè)怎麼樣的數(shù)學(xué)模型去描述和解決該問題。數(shù)學(xué)建模沒有唯一的方法，也沒有明顯的規(guī)律或公式，學(xué)生往往感到無(wú)從著手。在中學(xué)數(shù)學(xué)的範(fàn)圍內(nèi)，有一部分應(yīng)用題，將某些未知條件或隱藏條件以參數(shù)表示，借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，幫助學(xué)生尋找解決問題的方

17、法，這不失為一種數(shù)學(xué)建模的方法。我暫時(shí)稱這種方法為代數(shù)問題動(dòng)態(tài)化。代數(shù)問題動(dòng)態(tài)化不單是為一個(gè)具體應(yīng)用問題建立求解的數(shù)學(xué)模型，而且是為一類應(yīng)用數(shù)學(xué)問題，提供了探索數(shù)學(xué)建模方法新的天地。例五. 已知: ABC的底邊BC=8， 高AD=6，求: ABC內(nèi)接矩形EFGH的最大面積；實(shí)驗(yàn)步驟：1. 測(cè)量E點(diǎn)的x座標(biāo)；2. 測(cè)量?jī)?nèi)接矩形EFGH的面積；3. 選取描點(diǎn)座標(biāo): E的x座標(biāo)為x，EFGH的面積為y；4. 在B、D之間移動(dòng)E點(diǎn)，作出函數(shù)圖象；5. 發(fā)現(xiàn)圖象是一條 (經(jīng)過B和D的拋物線) ；方 法 一(幾何)方 法 二(代數(shù))6. 當(dāng)E為BD中點(diǎn)時(shí)面積s最大；6. 由圖可知: 拋物線的方程是: y

18、= kx(x-6)7. 這時(shí)F為AB中點(diǎn)，EF是ABD的中位線: ；7. 由測(cè)量值表可知: 12=k3(3-6)=> 8. 而FG是ABC的中位線: ；8. 面積 9. 最大面積9. 當(dāng)x=3時(shí)，面積y最大:後記1. 本題為二次方程極值應(yīng)用題，學(xué)生開始時(shí)，一般都感到無(wú)從入手。2. 在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，顯見E的位置與面積之間存在函數(shù)關(guān)係，DM_Lab可以在末知函數(shù)關(guān)係為何之前先作出其圖象。由圖象的形態(tài)，學(xué)生很容易猜想到該圖象是一條拋物線。再根據(jù)拋物線的性質(zhì)順理成章地很快得到方程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)函數(shù)圖象代數(shù)方程圖象性質(zhì)問題解決一種數(shù)學(xué)建模過程3. 通常我們總是先有方程，再有圖象。而這裡是先有圖象再有方程

19、。如果將獲取方程的過程看作是數(shù)學(xué)建模的話，那麼，DM_Lab可以幫助我們通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)首先得到函數(shù)圖象，再由圖象獲取方程，這不失為一種數(shù)學(xué)建模的有效途徑(一種數(shù)學(xué)建模過程如下圖所示)。4. 由函數(shù)圖象知FG是ABC的中位線，由此對(duì)中位線的性質(zhì)有了新的發(fā)現(xiàn): 中位線與底邊所夾內(nèi)接矩形是三角形的所有內(nèi)接矩形中面積最大。中位線的這一性質(zhì)是前所未學(xué)的。此外，學(xué)生還不難發(fā)現(xiàn): 三角形內(nèi)接矩形的最大面積等於三角形面積的一半。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)還在於學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新大陸，學(xué)生不單學(xué)到預(yù)期的知識(shí)，而且學(xué)習(xí)到研究問題的方法，在探究活動(dòng)中學(xué)得更多和更好。例六. 如圖，在五邊形ABCDE中，B、C、D是直

20、角，AB=4，BC=4，CD=7，DE=2。G為EA上一點(diǎn)，四邊形GFCH是矩形。求: 矩形GFCH的最大面積。² 這一問題與例五相似，但比例五難度更大，一般學(xué)生更無(wú)從著手。用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)，則與例五幾乎完全照套。這裡不再累贅了。例七. 填充: ² 這是對(duì)數(shù)教學(xué)中一道經(jīng)典題目，傳統(tǒng)教學(xué)是讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，然後填上不等號(hào)(>或<)。² 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)從動(dòng)的觀點(diǎn)和動(dòng)的方法來(lái)看，兩邊對(duì)數(shù)式的不同在於其底數(shù)不同，將底數(shù)設(shè)成一個(gè)參數(shù)，讓這個(gè)參數(shù)動(dòng)起來(lái)，觀察其值的變化規(guī)律，使學(xué)生不單掌握本題的答案，更重要的是掌握了對(duì)數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，解決了類似的一類問題。實(shí)驗(yàn)步驟:1.

21、 作函數(shù)：的圖象；2. 設(shè)a Î(0.0001, 0.9999)為參數(shù)，(a=0，a=1沒有定義)，自變量xÎ(0.0001,14)；3. 作豎直線L：x=5，如圖；4. 用手動(dòng)令曲線呈現(xiàn)如圖，作曲線與L相交於P；觀察和分析1. 當(dāng)a增加時(shí)，P點(diǎn) 上升/下降 ；即y值 變大/變小 ； 2. 當(dāng)a減少時(shí)，P點(diǎn) 上升/下降 ；即y值 變大/變小 ；因而知：。3. 平移L：x=k；發(fā)現(xiàn)： (當(dāng)k>1時(shí)) (當(dāng)k<1時(shí))，從而知：思考： 和 後記 讓函數(shù)動(dòng)起來(lái)，在一節(jié)課裡同時(shí)解決了幾個(gè)問題，大大提高了課堂的效率和效果。二. 由動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)思考數(shù)學(xué)課程改革在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)

22、學(xué)研究的對(duì)象置於一個(gè)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，從”動(dòng)”的觀點(diǎn)，用”動(dòng)”的方法對(duì)概念、問題進(jìn)行探索式、發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，我們稱之為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)。進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)可能會(huì)引起對(duì)原有課程的徹底改革，包括:課程規(guī)劃、教學(xué)模式、教材編寫、教學(xué)方法、教師培訓(xùn)等。例如：1. 傳統(tǒng)幾何教材是按照定義、定理 證明 舉例應(yīng)用的學(xué)習(xí)模式來(lái)編寫的，引入動(dòng)態(tài)幾何實(shí)驗(yàn)後的幾何教材，應(yīng)按實(shí)驗(yàn) 猜想 證明 定理 應(yīng)用的學(xué)習(xí)模式來(lái)編寫；2. 以動(dòng)的觀點(diǎn)、動(dòng)的方法滲透於整個(gè)數(shù)學(xué)教材之中，教材的編寫將會(huì)有很大的不同：課題、概念、定理、規(guī)則等的導(dǎo)入，盡量通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自然獲??；實(shí)驗(yàn)可作為數(shù)學(xué)建模的重要方法之一；推理、證明的關(guān)鍵步驟，可以通過實(shí)驗(yàn)獲得啟示。

23、3. 一些較難、較抽象的內(nèi)容和習(xí)題近年從教材中刪除了，但是在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，這些較難較抽象的內(nèi)容卻變得容易理解或可以接受，是否應(yīng)以另外的形式重現(xiàn)於教材之中?4. 在教科書本上如果少用結(jié)論性語(yǔ)句，需要下結(jié)論的地方留以空白，以填充的形式，通過實(shí)驗(yàn)，在學(xué)生自己獲取知識(shí)之後填充上去，允許學(xué)生以自己的語(yǔ)言表達(dá)(要符合數(shù)學(xué)語(yǔ)言的有關(guān)約定)，這樣的教材是否更好？無(wú)字天書常常比和盤托出更誘人思考；讓學(xué)生動(dòng)起手來(lái)、動(dòng)起腦來(lái)，這也是動(dòng)態(tài)的另外一層意義。5. 配合書本教材，設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，編寫與之配合的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)；6. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法大有研究的天地，像物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)法一樣，是否可以作為獨(dú)立課程或章節(jié)列入職前數(shù)學(xué)教師(

24、師範(fàn)生)培訓(xùn)課程之中?三. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在澳門培道中學(xué)PG_Lab是作者於1995年在澳門大學(xué)教育學(xué)院任教時(shí)，為講授電腦在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用課程而設(shè)計(jì)的，現(xiàn)已由澳門基金會(huì)在澳門出版。2000年作者轉(zhuǎn)任澳門培道中學(xué)副校長(zhǎng)後，組織培道中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了學(xué)習(xí)，並著手編寫了第一套平面幾何 學(xué)生實(shí)驗(yàn)手冊(cè)(該書榮獲澳門教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)異獎(jiǎng))，於01年度在初二年級(jí)試用，一年下來(lái)，師生反映教學(xué)效果良好。澳門培道中學(xué)初二級(jí)平面幾何課程採(cǎi)用內(nèi)地人教版教材，每周3節(jié)。我們從教材中選編了28個(gè)實(shí)驗(yàn)，每周1節(jié)實(shí)驗(yàn)在電腦室上課，2節(jié)在原教室上課，原教室也有電腦+投影的設(shè)備，可以作演示實(shí)驗(yàn)用。與物理實(shí)驗(yàn)課一樣，每次幾何實(shí)驗(yàn)課，學(xué)生都要預(yù)習(xí)、完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告和作業(yè)。培道中學(xué)自編的平面幾何 學(xué)生實(shí)驗(yàn)手冊(cè)