1、目錄.2.5.81142163.18120229.35.41第一講中國古代數學家劉徽劉徽-簡介劉徽九章算術劉徽（生于公元 250 年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算術注和海島算經，是我國最寶貴的數學遺產。九章算術約成書于東漢之初，共有246 個問題的解法。在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的貢獻 他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根。在代數方面

2、，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法在幾何方面，提出了 " 割圓術 " ，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法 他利用割圓術科學地求出了圓周率 3.14 的結果。他用割圓術，從直徑為 2 尺的圓內接正六邊形開始割圓， 依次得正 12 邊形、正 24 邊形 ，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他計算了 3072 邊形面積并驗證了這個值劉徽提出的計算圓周率的科學方法， 奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領先地位。劉徽在數學上

3、的貢獻極多， 在開方不盡的問題中提出“求徽數”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致， 它不僅是圓周率精確計算的必要條件， 而且促進了十進小數的產生； 在線性方程組解法中，他創造了比直除法更簡便的互乘相消法， 與現今解法基本一致；并在中國數學史上第一次提出了“不定方程問題”； 他還建立了等差級數前 n 項和公式；提出并定義了許多數學概念： 如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負數等等劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提。他的大多數推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把九章算術及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注九章算術所運用的數學

4、知識實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、 并以數學證明為其聯系紐帶的理論體系劉徽在割圓術中提出的 " 割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣 " ，這可視為中國古代極限觀念的佳作海島算經一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目劉徽思想敏捷，方法靈活， 既提倡推理又主張直觀他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。第二講法國數學家勒內笛卡爾勒內&

5、#183;笛卡爾勒內·笛卡爾（ ReneDescartes ，1596 1650），著名的法國哲學家、科學家和數學家。 笛卡爾常作笛卡兒， 1596 年 3 月 31 日生于法國安德爾 - 盧瓦爾省笛卡爾 -1650 年 2 月 11 日逝于瑞典斯德哥爾摩）。 他對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。 他還是西方現代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。 他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學。人物簡介笛卡爾出身于一個地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議會的議員。 1 歲多時母親患肺結

6、核去世，而他也受到傳染，造成體弱多病。母親去世后，父親移居他鄉并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育。在他 8 歲時笛卡爾就進入拉夫賴士(La Flèche)的耶穌英語會學校接受教育，受到良好的古典學以及數學訓練。1613 年到普瓦捷大學學習法律，1616 年畢業。畢業后笛卡爾一直對職業選擇不定，又決心游歷歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。因此他于1618 年在荷蘭入伍，隨軍遠游。笛卡爾對數學的興趣就是在荷蘭當兵期間產生的。一次他看到軍營公告欄上用佛萊芒語寫的數學問題征答引起了興趣，并且讓一位他當兵的

7、朋友，進行了翻譯。他的這位朋友在數學和物理學方面有很高造詣，很快成為了他的老師。 4 個月后，他寫信給這位朋友， “你是將我從冷漠中喚醒的人 . ，”并且告訴他，自己在數學上有了 4 個重大發現。可惜的是這些發現現在已經無從知道了。26 歲時，笛卡爾變賣掉父親留下的資產，用4 年時間游歷歐洲，其中在意大利住了2 年，隨后定居巴黎。1621 年笛卡爾退伍，并在1628 年移居荷蘭，在那里住了20多年。在此期間，笛卡爾專心致力于哲學研究，并逐漸形成自己的思想。他在荷蘭發表了多部重要的文集，包括了方法論、形而上學的沉思(Méditations mtaphysiques)é 和哲學

8、原理(LesPrincipes de la philosophie)等。1649年笛卡爾受瑞典女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這片 “熊、冰雪與巖石的土地”上得了肺炎，并在1650年2 月去世。1663年他的著作在羅馬和巴黎被列入禁書之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是為了對當時在法國流行起來的牛頓世界體系提供一個替代的東西。第三講速算與巧算一、知識要點：（一）四則運算的定律、性質、法則是進行速算與巧算的重要依據。1、利用運算定律使計算簡便。2、利用運算順序的改變使計算簡便。3、利用運算法則使計算巧妙。（二）轉化是速算與巧算的主要技巧。1、當一個數接近整十、整百、整千 的時候，將其轉化為整

9、十、整百、整千的數，計算比較簡便。2、利用數的分解或拆數，轉化后巧算。3、改變計算方法（變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）使計算簡便。（三）認真觀察算式及數的特征，剖析數于數之間的關系，是靈活的選擇和合理運用計算技巧的主要方法。二、例題精講例 1：（湊整法） 計算下面各題。（ 1）、5.82.32 0.68 4.2（ 2）、1999199.9 19.99 1.999（ 3）、12.59 3.24 5.76（ 4）、8.1 7.8 8.2 8.4 7.9 7.6【思路點撥】（ 1）5.8 與 4.2 剛好湊成 10，2.32 與 0.68 剛好湊成 3，這樣湊整可以使計算簡便。（ 2）19

10、99 接近 2000，其余各加數也分別接近一個整數，可先把各加數看作與它接近的整數。再把多加的那部分減去。（ 3）3.24 與 5.76 的和是整數 9，可以運用減法運算的性質把原式變為 12.59 （ 3.24 5.76 ），這樣計算就簡便了。（ 4）算式中的 6 個數都接近 8，可以用 8 作為基準數，先求出 6 個 8 的和，再加上比 8 大的數中少加的部分， 減去比 8 小的數中多加的部分。也可以運用湊整法。例 2：（分解法）計算下面各題（ 1）18×5.5（2）8.88 ×1.25（3）34.7 ×0.25（ 4）238÷1.25 （5）0.2

11、5 ×12.5 ×3.2【思路點撥】（ 1） 運用分解法巧算。把 18 分解為 9×2，然后運用乘法結合律，把 2×5.5 結合積為 11，最后求出 9 與 11 的積。（ 2）把 8.88 分解為 8×1.11 ，然后運用乘法結合律。（ 3）因為 4×0.25=1 ，所以一個數乘 0.25 ，就相當于這個數除以 4. （4）因為 8×1.25=10 ，所以一個數除以 1.25 ，相當于這個數除以 10，再乘 8，即先把小數點向左移動一位，再乘 8.（ 5）把 3.2 分解為 4×0.8 ，再運用乘法結合律 。例

12、3：計算（ 1）124.68 324.68 524.68 724.68 924.68（ 2）5795.5795 ÷5.795 ×579.5【思路點撥】（1）可運用拆分法巧算。把每一個加數都拆分為一個整數和一個小數的和，可以使計算簡便。（ 2）運用改變運算順序法使計算簡便。 ，先求出 579.5 除以 5.795 的商得 100，然后再求出 5795.5795 ×100 的積。例 4：計算下面各題。（ 1）1990×198.9 1989×198.8（ 2）2.25 ×0.16 264×0.0225 5.2 ×2.25

13、 0.225 ×20【思路點撥】（1）利用擴縮法巧算。根據積的變化規律：一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小相同的倍數，積不變的道理，可以把被減數寫成 199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（ 2）同樣利用擴縮法簡便計算，注意選擇最佳方案。例 5：計算：（ 10.28 0.84 ）×（0.28 0.84 0.66 ）（10.28 0.84 0.66 ） ×（ 0.28 0.84 ）【思路點撥】可以利用設數法解題。 整個式子是乘積之差的形式，兩個乘積斗的構成很有規律：如果把 1 0.28 0.84 用字母 A 表示，把 0.28 0.84 用字母 B表示

14、，原式就可以變成 A×（ B0.66 ）（A 0.66 ） ×B。在運用乘法分配律使計算簡便。例 6：計算 4.82 ×0.59 0.41 ×1.59 0.323 ×5.9【思路點撥】先改變原運算順序（加法交換律），先求出 4.82 ×0.59與 0.323 ×5.9 的差，可運用擴縮法把0.323 ×5.9 寫成 3.23 ×5.9,后運用乘法分配律計算，然后再加上0.41 ×1.59 ，再次運用乘法分配律巧算。例 7：計算 654321×123456654322×1234

15、55.【思路點撥】觀察算式中數的特點， 發現被減數中的兩個因數分別比減數中的兩個因數少1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1,123456 比123455 多 1，可以利用乘法分配律簡算。解： 654321×123456654322×123455=654321×（ 1234551） （ 6543211）× 123455=654321×123455654321654321×123455123455=654321123455=530866例 8：計算 1998×1999199919991999×199

16、819981998【思路點撥】可以運用數的分解和乘法分配律簡算。因為abab=ab×101,abcabc=abc ×1001, 所以 199919991999=1999× 100010001,199819981998=1998×100010001.這樣被減數和減數都有相同因數 100010001，就可以運用乘法分配律進行簡算了。解： 1998 ×1999199919991999×199819981998= 1998 ×1999×1000100011999×1998×100010001 =0例 9

17、：計算（ 135 1999） （ 246 1998）【思路點撥】根據減法的性質，將原式拆開后，在配對組合，進行等量變形。即（ 32）為一組，（54）為一組 （ 19991998）為一組，這樣每組的差都是 1，共分為（1998÷2）組，所以結果為 1000. 當然本題也可以運用等差數列求和的方法進行計算。例 10：計算 10099989796959493 8765 4321.【思路點撥】本題按順序計算太繁，觀察算式的特點，發現每兩個數相加后，又會減去兩個數，我們可以考慮把它們四個數分為一組，每組結果都是 4，共分為 100÷4=25 組。所以結果是 4×25=100

18、.三、同步練習計算下面各題（ 1） 0.125×0.25 ×32（ 2）16×4.5（ 3） 0.25 ×1.25 ×22.4（ 4）0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999（ 5）（72×357357×28）÷（ 51×7×4）（ 6）98989898×99999999÷1010101÷11111111（ 7）3.14 ×6.5 4.5 ×3.14 3.14（ 8）1240×3.8 124×511.24 &

19、#215;1400760×9.6 0.76 ×700（ 9）1÷（2÷3） ÷（3÷4）÷（4÷5） ÷ ÷（ 1999÷2000）123456 9899100100（ 10）（258 2000） （ 147 1999）20112012×2012201120112011×2012201211123456789101112131415161985198619871988198919901991199219931994第四講平面圖形的面積（1 ）一、例題精講例 1已知平

20、行四邊形的面積是28 平方厘米，求陰影部分的面積。5厘米4厘米【思路點撥】4 厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形的面積是 28 平方厘米，它的底為 28÷4=7（厘米），平行四邊形的底減去 5 厘米就是三角形的底， 7-5=2（厘米）。根據三角形的面積公式直接求出陰影部分的面積。技巧的面積最直接的方法是利用計算公式直接求陰影面積；還可以用總面積減去空白面積求得陰影部分面積。這兩種是最常用最簡便的方法。二：同步精練1. 下面的梯形中， 陰影部分的面積是 150 平方厘米，求梯形的面積。15 厘米25 厘米2已知平行四邊形的面積是48 平方厘米，求陰影部分的面積。5

21、厘米6厘米3如果用鐵絲圍成如下圖一樣的平行四邊形，需要用鐵絲多少厘米？（單位：厘米）912第五講平面圖形的面積（2 ）一、例題精講例 2 下圖中甲和乙都是正方形， 求陰影部分的面積。（單位：厘米）GA甲C乙FB6E4【思路點撥】圖中的陰影部分是一個三角形， 它的三條邊的長都不知道，三條邊上的高也不知道。所以，無法用公式計算出它的面積。仔細觀察本題的圖，我們可以發現，如果延長 GA 和 FC，它們會相交（設交點為 H），這樣就得到長方形 GBFH（如下圖），它的面積很容易求，而長方形 GBFH 中除陰影部分之外的其他三部分（ AGB 、 BFC 及 AHC ）的面積都能直接求出。二、同步練習1、

22、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米）43432、求下圖中陰影部分的面積。 （單位：厘米）8585第六講平面圖形的面積（3）一、例題精講例 3如圖所示：，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6 平方厘米，求 CE的長度。A4厘米D甲4厘F米乙BCE【思路點撥】題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面積大 6 平方厘米，即甲- 乙=6（平方厘米），而甲和乙分別加上四邊形ABCF后相減的結果還是 6 平方厘米，即： 甲- 乙=6（平方厘米）（甲 +四邊形 ABCF）- （乙 +四邊形 ABCF）=6（平方厘米）即：正方形 ABCD-ABE=6（平方厘米）這就是說正方形 ABCD的面積比三角形 A

23、BE的面積大 6 平方厘米。用正方形的面積減去 6 就得到三角形 ABE的面積，再用三角形的面積乘以 2 再除以 AB，就得到 BE的長度，從而求出 CE的長度。同步練習1 、四邊形 ABCD是一個長為 10 厘米，寬 6 厘米的長方形，三角形 ADE的面積比三角形 CEF的面積大 10 平方厘米。求 CF的長是多少厘米？FEDCAB2、正方形 ABCD的邊長是 12 厘米，已知 DE是 EC長度的 2 倍，求：（1）三角形 DEF的面積。AD（2）CF的長。EBFC第七講：邏輯推理（ 1）一、知識要點四年級已經學習過用列表法和假設法解答邏輯推理問題。 從廣義上說，任何一道數學題，任何一個思維

24、過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計算，而是通過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結論的問題。邏輯推理必須遵守四條基本規律：（ 1）同一律 。在同一推理過程中，每個概念的含義，每個判斷都應從始至終保持一致，不能改變。（ 2）矛盾律 。在同一推理過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷，至少有一個是錯誤的。例如，“這個數大于 8”和“這個數小于 5”是兩個互相矛盾的判斷，其中至少有一個是錯的，甚至兩個都是錯的。（ 3）排中律 。在同一推理過程中，對同一對象的兩個恰好相反的判斷必有一個是對的，它們不能同時都錯。例如“這個數大于 8” 和“這個數不大于 8”是兩

25、個恰好相反的判斷， 其中必有一個是對的，一個是錯的。（ 4）理由充足律 。在一個推理過程中，要確認某一判斷是對的或不對的，必須有充足的理由。我們在日常生活和學習中，在思考、分析問題時，都自覺或不自覺地使用著上面的規則，只是沒有加以總結。例如假設法，根據假設推出與已知條件矛盾，從而否定假設，就是利用了矛盾律。在列表法中，對同一事件“”與“×”只有一個成立，就是利用了排中律。二、例題精講例 1 張聰、王仁、陳來三位老師擔任五（ 2）班的語文、數學、英語、音樂、美術、體育六門課的教學，每人教兩門。現知道：（ 1）英語老師和數學老師是鄰居；（ 2）王仁年紀最小；（ 3）張聰喜歡和體育老師、數

26、學老師來往；（ 4）體育老師比語文老師年齡大；（ 5）王仁、語文老師、音樂老師三人經常一起做操。請判斷各人分別教的是哪兩門課程。分析與解 ：題中給出的已知條件較復雜， 我們用列表法求解。先設計出右圖的表格，表內用“”表示肯定，用“×”表示否定。因為題目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應有 2 個“”；因為每門課只有一人教， 所以每一豎列都只有 1 個“”，其余均為 “×”。由（3）知，張聰不是體育、數學老師；由（ 5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（ 2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表。由（ 3）知，體育老師與數學老師不是一個人，即陳來不是

27、數學老師，推知王仁是數學老師；由（ 1）知，數學老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術老師。至此，得到右上表。由（ 4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（ 5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。所以，張聰教語文、英語，王仁教數學、美術，陳來教音樂、體育。以上推理過程中， 除充分利用已知條件外， 還將前面已經推出的正確結果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個 “”，每列只有一個 “”，其余都是“×”這個隱含條件。例 1 的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選

28、取符合條件的結論，這種方法叫做 排他法。例 2 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在一小、二小、三小中的一所小學上學。現知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）愛好乒乓球的不在三小；（4）愛好游泳的在一小；（5）愛好游泳的不是小芳。問：三人上各愛好什么運動？各上哪所小學？分析與解 ：這道題比例 1 復雜，因為要判斷人、 學校和愛好三個內容。與四年級第 26 講例 4 類似，先將題目條件中給出的關系用下面的表 1、表 2、表 3 表示：因為各表中，每行每列只能有一個“”，所以表3 可補全為表4。由表 4、表 2 知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不

29、在一小。于是可將表 1 補全為表 5。對照表 5 和表 4，得到：小明在二小上學，愛好打乒乓球；小芳在三小上學，愛好打羽毛球；小花在一小上學，愛好游泳。例 1、例 2 用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例 4。例 3 小說鏡花緣中有一段林之祥與多久公飄洋過海的故事。有一天他們來到了“兩面國”，卻忘記了這一天是星期幾。迎面見了“兩面國”里的牛頭和馬面。他們知道，牛頭在星期一、二、三說假話，在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、 日說真話。牛頭說： “昨天是我說假話的日子。 ” 馬面說：“真巧，昨天也是我說假話的日子。”請判斷這一天是星期幾。分析與

30、解 ：因為牛頭、馬面只有星期日都說真話， 其它時間總是一個說真話，另一個說假話，所以這一天不是星期日，否則星期六都說假話，與題意不符。由題意知，這一天說真話的，前一天必說假話； 這一天說假話的，前一天必說真話。 推知這一天同時是牛頭、 馬面說假話與說真話轉換的日子。因為星期二、三、五、六都不是說假話與說真話轉換的日子，所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變為說假話的日子，但不是馬面由說假話變為說真話的日子， 所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變為說真話的日子，也是馬面由說真話變為說假話的日子，所以這天是星期四。例 4 A ，B，C，D 四個同學中有兩個同學在假日為街

31、道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分別回答如下。A：“ C，D兩人中有人做了好事。”B：“ C做了好事，我沒做。”C：“ A，D中只有一人做了好事。”D：“ B 說的是事實。”最后通過仔細分析調查， 發現四人中有兩人說的是事實，另兩人說的與事實有出入。到底是誰做了好事？分析與解 ：我們用假設法來解決。 題目說四人中有兩人說的是事實，另兩人說的與事實有出入。注意，此處的“與事實有出入”表示不完全與事實相符，比如，當B，C 都做了好事，或B，C 都沒做好事，或 B 做了好事而 C 沒做好事時， B 說的話都與事實有出入。因為 B 與 D 說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么 B 與 D 正

32、確，A與C錯；要么 B與D錯，A與C正確。（1）假設 B與D說的話正確。這時 C 做了好事， A 說 C，D 兩人中有人做了好事， A 說的話也正確，這與題目條件只有“兩人說的是事實”相矛盾。所以假設不對。（2）假設 A 與 C 說的話正確。那么做好事的是 A 與 C，或 B 與 D，或 C 與 D。若做好事的是 A 與 C，或 C 與 D，則 B 說的話也正確，與題意不符；若做好事的是B 與 D，則 B 說的話與事實不符，符合題意。綜上所述，做好事的是B 與 D。三、同步練習1.A ，B，C，D，E 五個好朋友曾在一張圓桌上討論過一個復雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶當時的情景。A說：“

33、我坐在B的旁邊。”B說：“坐在我左邊的不是C就是 D。”C說：“我挨著D。”D說：“ C坐在 B 的右邊。”實際上他們都記錯了。 你能說出當時他們是怎樣坐的嗎？沒有發言的 E 的左邊是誰？2.從 A ，B，C，D，E，F 六種產品中挑選出部分產品去參加博覽會。根據挑選規則，參展產品滿足下列要求：（ 1）A，B兩種產品中至少選一種；（ 2）A，D兩種產品不能同時入選；（ 3）A，E，F 三種產品中要選兩種；（ 4）B，C兩種產品都入選或都不能入選；（ 5）C，D兩種產品中選一種；（ 6）若 D種產品不入選，則 E種也不能入選。問：哪幾種產品被選中參展？3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平（女）

34、、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。（ 1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊；（ 2）老張的女兒不是小紅；（ 3）老陳和方麗不是一家人。請你將三戶人家區分開。4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業分別是教師、工人、演員。已知：（ 1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；（ 2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；（ 3）乙不是工人。求這三人各自的籍貫和職業。5.甲說：“乙和丙都說謊。”乙說：“甲和丙都說謊。”丙說：“甲和乙都說謊。”根據三人所說，你判斷一下，下面的結論哪一個正確：（ 1）三人都說謊；（ 2）三人都不說謊；（ 3）三人

35、中只有一人說謊；（ 4）三人中只有一人不說謊。6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的 10 歲，最小的 4 歲，最大的女孩比最小的男孩大4 歲，最大的男孩比最小的女孩也大4 歲，求最大的男孩的歲數。第八講邏輯問題（ 2）一、例題精講例 1 老師拿來五頂帽子， 兩頂紅的三頂白的。 他讓三個聰明的同學甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子， 同時把余下的帽子藏起來。 當他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色， 而站在最前面的甲卻根據此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？分析與解 ：這是一個

36、典型的邏輯推理問題。甲站在最前面， 雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因為一共只有兩頂紅帽子， 那么丙就會判斷出自己戴的是白帽子。 丙判斷不出自己戴的帽子的顏色， 說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。甲接著想：乙也很聰明， 當他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時，如果他看到我戴是紅帽子， 那么他就會知道自己戴的是白帽子， 只有我戴的是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。例 1 中，甲的分析非常精采，嚴密而無懈可擊。例 2 三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個

37、白球。封裝后，發現三個盒子的標簽全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把標簽全部糾正過來嗎？分析與解 ：因為“三個盒子的標簽全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖（表示白球，表示黑球） :如果從標簽是兩黑的盒子中拿一個球， 那么最不利的情況是拿出一個白球，此時無法判定是實際情況 1，還是實際情況 2，也就無法把標簽全部糾正過來；同理，從標簽是兩白的盒子中拿一個球，若拿的是黑球，則也無法把標簽全部糾正過來；從標簽是一黑一白的盒子中拿出一個球， 若拿出的是黑球， 則能確定出是實際情況 1，若拿出的是白球，則能確定出是實際情況 2，因此能把標簽全部糾正過來。所以，只要從標簽是一黑一白的盒

38、子中拿一個球， 就能糾正全部標簽。例 3 A，B，C 三名同學參加了一次標準化考試，試題共 10 道，都是正誤題，每道題 10 分，滿分為 100 分。正確畫“”，錯誤畫“×”。他們的答卷如下表：考試成績公布后，三人都得70 分。請你給出各題的正確答案。分析與解 ：我們先分析一下三人的得分情況。因為三人都得70分，所以每人都錯了3 道題。比較A，B 的答卷發現，他們有6 道題的答案不一樣，說明這6 道題 A，B 兩人各錯 3 道，也就是說， A，B答案相同的題都對了，因此找到了第1，3，4，10 題的正確答案。同理， A，C的答卷也有 6 道題的答案不一樣，因此找到了第3，6，8，9

39、 題的正確答案；同理B，C的答卷也有 6 道題的答案不一樣，因此找到了第 2，3，5，7 題的正確答案。各題的正確答案如下表：例 4 A，B，C，D，E 五位選手進行乒乓球循環賽，每兩人都只賽一盤。規定勝者得 2 分，負者不得分。現在知道的比賽結果是： A 與B并列第一名（有兩個并列第一名，就不再設第二名，下一個名次規定為第三名）， D比 C的名次高，每個人都至少勝了一盤。試求每人的得分。分析與解 ：因為乒乓球比賽沒有平局， 所以求勝的盤數與得分是一回事，勝的盤數乘以 2 就是得分。五人進行循環賽，共需賽 10 盤，總得分是 2×10= 20 （分）。因為每人都賽 4 盤，所以第一名

40、最多勝 4 盤，但因為 A，B并列第一， A，B 不可能都勝 4 盤，所以 A，B 最多各勝 3 盤。如果 A，B沒有各勝 3 盤，而是各勝 2 盤，那么剩下的 10-2 ×2= 6 （盤）的勝利者只會是 C，D，E，根據抽屜原理， C，D，E三人中至少有 1 人勝了至少 2 盤，與第一名勝2 盤矛盾。所以， A，B 各勝 3 盤，各得 6分。還有 4 盤，已知 D 比 C 名次高，每個人都至少勝一盤，只能是D勝 2 盤得 4 分， C，E 各勝一盤，各得2 分。注意：題目中“每個人都至少勝一盤”是制約結果的重要條件，如果沒有這個條件，那么該題的結果就有兩種可能：一是A，B 各勝3

41、盤，各得 6 分， D勝 2 盤得 4 分，C，E 各勝 1 盤，各得 2 分；二是A，B 各勝 3 盤，各得 6 分，D，E 各勝 2 盤各得 4 分，C勝 0 盤，得 0 分。二、同步練習1. 有個老漢想考考他的四個聰明的兒子， 他拿出六頂帽子， 三頂紅的、兩頂藍的和一頂黃的。然后，讓四個兒子按大的在前小的在后的順序排成一路縱隊，并讓他們閉上眼睛。接著，給他們每人戴上一頂帽子，藏起其余兩頂。當他們睜開眼睛后，每個人都只能看見前邊人的帽子。這時，老漢依次問小兒子、三兒子和二兒子， “你戴的帽子是什么顏色？”他們都回答“不知道”。最后，老漢又問大兒子。大兒子想了一會兒，正確地說出了自己戴的帽子

42、的顏色。問：大兒子戴的帽子是什么顏色？他是如何判斷的？2. 五年級有四個班， 每個班有兩名班長， 每次召開年級班長會議時各班參加一名班長。參加第一次會議的是 A，B，C，D，參加第二次會議的是 E，B，F，D，參加第三次會議的是 A，E，B，G。已知 H三次會都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？3. 甲、乙、丙、丁四個學生坐在同一排的相鄰座位上，座號是號至 4 號。一個專說謊話的人說： “乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙1的中間，乙的座位不是3 號。”問：坐在2 號座位上的是誰？4. 李大娘問三位青年人的年齡。小張說：“我 22 歲。比小吳小 2 歲。比小徐大 1 歲。”小吳說： “我不是年齡最小

43、的。小徐和我差3 歲。小徐 25 歲。”小徐說： “我比小張年齡小。小張23 歲。小吳比小張大3 歲。”這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。李大娘難辯真真假假，請你幫助李大娘弄清這三人的年齡。5. A ，B，C三支足球隊舉行循環比賽（每隊之間賽一場），下面是記有詳細比賽情況的表。 但后來發現表中有四個數是錯誤的。 請按規定重制一張正確的表格。 （勝一場記 2 分，負一場記 0 分，平一場雙方各記 1 分。）6. 某次數學測驗， 共有六道試題， 均是是非題。 正確的畫“”，錯誤的畫“×”。每題答對得 2 分，不答得 1 分，答錯得 0 分。甲、乙、丙、丁的答案及前三

44、人的得分如下表，求丁得了多少分。第九講列方程解應用題一、知識要點有些數量關系比較復雜的應用題， 用算術方法求解比較困難。 此時，如果能恰當地假設一個未知量為 x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數 x，那么就得到一個含有未知數 x 的等式，即方程。利用列方程求解應用題，數量關系清晰、解法簡潔，應當熟練掌握。二、例題精講例 1 商店有膠鞋、布鞋共 46 雙，膠鞋每雙 7.5 元，布鞋每雙 5.9 元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入 10 元。問：膠鞋有多少雙？分析：此題幾個數量之間的關系不容易看出來， 用方程法卻能清楚地把它們的關系表達出來。設膠鞋有 x 雙，則

45、布鞋有（ 46-x）雙。膠鞋銷售收入為 7.5x 元，布鞋銷售收入為 5.9（46-x）元，根據膠鞋比布鞋多收入 10 元可列出方程。解：設有膠鞋 x 雙，則有布鞋（ 46-x）雙。7.5x-5.9（46-x）=10，7.5x-271.4+5.9x=10，13.4x=281.4，x=21。答：膠鞋有 21 雙。分析：因為題目條件中黃球、 藍球個數都是與紅球個數進行比較，所以答：袋中共有 74 個球。在例 1 中，求膠鞋有多少雙，我們設膠鞋有 x 雙；在例 2 中，求袋中共有多少個球，我們設紅球有 x 個，求出紅球個數后，再求共有多少個球。像例 1 那樣，直接設題目所求的未知數為 x，即求什么設

46、什么，這種方法叫 直接設元法 ；像例 2 那樣，為解題方便，不直接設題目所求的未知數，而間接設題目中另外一個未知數為 x，這種方法叫間接設元法 。具體采用哪種方法， 要看哪種方法簡便。 在小學階段，大多數題目可以使用直接設元法。例 3 某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的 2 倍，計劃修建住宅若干座。 若每座住宅使用紅磚 80 米 3，灰磚 30 米 3，那么，紅磚缺 40 米 3，灰磚剩 40 米 3。問：計劃修建住宅多少座？分析與解 一：用直接設元法。設計劃修建住宅 x 座，則紅磚有（80x-40）米 3，灰磚有（ 30x+40）米 3。根據紅磚量是灰磚量的 2倍，列出方程80

47、x-40= （30x+40）× 2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。分析與解 二：用間接設元法。 設有灰磚 x 米 3，則紅磚有 2x 米 3。根據修建住宅的座數，列出方程。（ x-40）× 80=（2x+40）× 30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米 3）。由灰磚有 220 米 3，推知修建住宅（ 220-40）÷ 30=6（座）。同理，也可設有紅磚x 米 3。留給同學們做練習。例 4 教室里有若干學生，走了10 個女生后，男生是女生人數的2 倍，又走了 9 個男生后，女生是男生人數的5

48、倍。問：最初有多少個女生？分析與解 ：設最初有x 個女生，則男生最初有（x-10）× 2 個。根據走了10 個女生、9 個男生后，女生是男生人數的5 倍，可列方程x-10= （x-10 ）× 2-9 ×5，x-10= （2x-29 ）× 5，x-10=10x-145 ，9x=135，x=15（個）。例 5 一群學生進行籃球投籃測驗，每人投 10 次，按每人進球數統計的部分情況如下表：還知道至少投進 3 個球的人平均投進 6 個球，投進不到 8 個球的人平均投進 3 個球。問：共有多少人參加測驗？分析與解 ：設有 x 人參加測驗。 由上表看出，至少投進 3 個球的有（x-7-5-4）人，投進不到 8 個球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數，既等于進球數不到 3 個的人的進球數加上至少投進 3 個球的人的進球數，0×7+1×5+2×4+6×（ x-7-5-4 ）= 5+8+6×（ x-16 ）= 6x-83 ，也等于進球數不到8 個的人的進球數加上至少投進8 個球的人的進球數，3&