1、 第十一講 平面向量的概念及坐標表示 本文由 提供，未經同意，不得轉載一平面向量的有關概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母，或用，表示.（3）模：向量的長度叫向量的模，記作|或|.（4）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；零向量的方向不確定.(5) 單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.(6) 共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線.(7) 相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.二向量的運算1.向量的加法：（1）定義：求

2、兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖，已知向量，.在平面內任取一點，作，則向量叫做與的和，記作，即（2）法則：三角形法則 ，平行四邊形法則（3）運算律：，2.向量的減法：（1）定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.已知向量，求作向量 減法的三角形法則作法：在平面內取一點， 作， 則. 即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量注意：1) 表示差向量“箭頭”指向被減向量2) 用“相反向量”定義法作差向量， 3.實數與向量的積：（1）定義：實數與向量的積是一個向量，記作，規定：|=|.當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，與平行.（2）運算律：，. 注：1) 向量的加、

3、減及其與實數的積的結果仍是向量。2) 重要定理：向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得，即.三平面向量的坐標運算（1） 若，則=，= 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2） 若，則 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數，則實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標 (4)向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹ (¹)的充要條件是自主學習: （1）已知直角坐標平面上點，則 （是坐標原點）； ； （2）已知直角坐標平面上兩點，有，若與相

4、等的位置向量為 ，則點的坐標是 ； （3）已知，則 ， ； （4）已知點，在上，且，則點的 坐標是； （5）的頂點分別為，則重心的坐標。解：（1）兩點坐標分別為， 。 （2）由題可知，即位置向量， 故點的坐標是。 （3）， （4）。 （5）。考點一： 向量及與向量相關的基本概念題型1. 概念判析【例1】判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件是且；解題思路：正確理解向量的有關概念，以概念為判斷依據，或通過舉反例說明

5、。解析：解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說明模相等,還有方向 (3) 不正確，單位向量的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到；練習.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是 模為0是一個向量方向不確定的充要條件；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

6、解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.、正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關系必須把握好.BCAP題型2: 結合圖型考查向量加、減法【例2】(2008·廣州市一模)在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是( )A B C D解題思路： 本題中的已知向量都集中體現在三角形中為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實施求解【解析

7、】由,得,即,所以點是邊上的第二個三等分點,如圖所示.故考點三: 向量平行的充要條件題型1: 平行、共線問題【例3】（1）已知是兩個非零向量，且，求證：的充要條件是； （2）已知非零向量，且，則與的關系是 。證明：（1）必要性 。 ， ， 所以必要條件成立。 充分性 ， 當都不為零時，有 ，即， ，即。 當時，則中至少有兩個為零， 若，則由知，必有，進一步有，記，則，。若，則，同理可證。所以充分條件成立。 （2），且為非零向量，又， ， 與的關系是，且。點評：理解向量，所在直線與向量所在直線平行的異同。【例4】 設是不共線向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值解題思路：證明存在實數，使

8、得解析：, 使得【例5】已知三點互不重合，且滿足，求證三點共線的充要條件是。OABC證明：必要性 三點共線，且互不重合； 即存在，使。 。 又與不平行， 與是所在平面上所有向量的一組基向量， 又，根據平面分解定理，有 ， ， 所以必要條件成立。 充分性 ， ， 又， 。 若，則，與重合，這與互不重合矛盾，所以，又與起點相同，三點共線，所以充分條件成立。點評：“三點滿足，則共線的充要條件是”可作為結論加以應用。練習：1、已知向量，若，則銳角等于_；A B C DB 解：，故選B2、若向量與共線且方向相同，則_；解：=(-1,x)與=(-x, 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0

9、x=± 與方向相同 x=3、和平行的單位向量是_；錯解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量就是，即 (，)錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為的模等于5，所以與平行的單位向量是，即(，)或(，)4、已知：，則下列一定成立的是（ ）A、A，B，C三點共線 B、A，B，D三點共線C、C，A，D三點共線 D、B，C，D三點共線答案：C 解析：，所以C，A，D三點共線5、（廣東北江中學2008高三統測）若則向量的關系是（ ） A平行 B重合 C垂直 D不確定答案：C 提示：分別表示平行四邊形的兩條對角線，它們相等，即說明四邊形ABCD為矩形。故選C5-1-36、已知、

10、是兩個不共線的向量，若它們起點相同，、三向量的終點在一直線上，則實數_.【解析】如圖, 、t（+）三向量的終點在一直線上,存在實數使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共線，t=0且t=0 解得t=ABCD7、如圖，已知，用表示，則（ ）A B CD答案：B解析：8、已知+=，-=，用、表示= 。答案： 提示：（+）+（-）=+=所以=9、已知，且，試求關于的函數。答案：，則 -3t = ( 2t + 1 )( k2 1 )10、已知向量，則的最大值為 答案：2 解析：.11、已知向量，若不超過5，則的取值范圍是答案： -6，2 解析： =解得的取值范圍是-6，212、已知,當實數取何值時,

11、2與24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一實數使2=24）將、的坐標代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得= 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0與不共線， = 113、已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），且 =t（1） 當t變化時，點P是否在一條定直線上運動？（2） 當t取何值時，點P在y軸上？（3） OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應的t值；若不能，請說明理由解：（1）由= t可得 = t，又、都過A點，故A、P、B三點在同一條直線上，而A、B為定點，所以P點恒在直線AB上運動.（2）=（13t，23t），若P在y軸上，則13t=0，t=.（3）A、B、P三點在同一條直線上，OABP不可能為平行四邊形，若用 = 可列方程組，但方程組無解.【基礎練習】1、向量 （）的單位向量=_2、已知點和向量，若，求點的坐標。3、已知向量，且三點共線，求的值。4、已知，且，確定實數的值。5