2025年福建省初中畢業(yè)年級模擬考試2025.03初三數(shù)學(xué)（本試卷共8頁，滿分150分；考試時間：120分鐘）溫馨提醒：所有答案必須填（涂）在答題卡的相應(yīng)位置，在此卷上答題無效．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2的相反數(shù)是（）A.2 B.－2 C. D.2.如圖所示的機械零件，它的主視圖是（）A B.C. D.3.2024年4月，福建省作為“21世紀(jì)海上絲綢之路”核心區(qū)，成功舉辦中國—海絲沿線國家經(jīng)貿(mào)合作洽談會．本屆洽談會吸引了來自30多個國家和地區(qū)的企業(yè)參與，共簽約經(jīng)貿(mào)合作項目158個．據(jù)組委會通報，累計達(dá)成的意向成交金額約50億美元．將數(shù)據(jù)5000000000用科學(xué)記數(shù)法表示，其結(jié)果是（）A. B. C. D.4.如圖所示，為估計池塘兩岸A，B間的距離，小華在池塘一側(cè)選取一點P，測得，，那么，之間的距離不可能是（）A. B. C. D.5.下列等式正確的是（）A. B.C. D.6.體育老師為調(diào)查七年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況，從全校1000名七年級學(xué)生中隨機抽取50名進行一分鐘跳繩測試，并對數(shù)據(jù)進行整理，結(jié)果如表：次數(shù)x（單位：次）頻數(shù)512285跳繩次數(shù)不低于180次為優(yōu)秀，估計七年級學(xué)生跳繩測試達(dá)到優(yōu)秀人數(shù)有（）A.50 B.100 C.500 D.9007.如圖，過外一點作圓的切線，，點為切點，為直徑，設(shè)，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.8.近年來，福建著力推進高水平對外開放，外貿(mào)外資量穩(wěn)質(zhì)升高，根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計，福建省2021年的進口總額為7612.3億元，2023年的進口總額為7977.1億元，設(shè)這兩年福建省地區(qū)進口貿(mào)易總額的年平均增長率為，根據(jù)題意可列方程（）A. B.C. D.9.如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點D，點E分別位于測繪點C的正北和正西方向．已知測得兩定位點E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測繪點H，G分別為，的中點，測繪方在測繪點H測得點G在點H的南偏西的方向上，且，則隧道的長約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1600m B.1300m C.980m D.900m10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)k，使得 B.無論實數(shù)k取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)k，使得 D.無論實數(shù)k取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別以“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”來命名，若收入80元記作元，則支出90元記作______元．12.如圖，在中，，若沿圖中虛線剪去，則______．13.某校課后服務(wù)課程有：足球，籃球，書法，舞蹈．為了解最受學(xué)生喜愛的課后服務(wù)課程，該校對初一同學(xué)進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息可知，該校初一學(xué)生中最喜愛足球課程的人數(shù)是___．14.若點在反比例函數(shù)的圖象上，則m，n的大小關(guān)系是m________n（用“”或“”號連接）．15.已知，則________．16.如圖，在矩形中，，點E是邊上的一個動點（E不與重合），連接，過點E作，交邊于點F，給出以下結(jié)論：①若，則平分；②若，則；③在點E運動的過程中，動點F可能與點A重合；④在點E從C運動到D的過程中，逐漸增大；其中正確的是________．（寫出正確結(jié)論的序號）三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．18.如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，，，．求證：．19.化簡代數(shù)式，然后判斷它的值能否等于，并說明理由．20.為豐富校園生活，某校九年級開展籃球比賽活動．比賽得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分；在3分線內(nèi)（含3分線）投籃，投中一球可得2分；罰球投中一球可得1分．（1）A班球隊在某場比賽中，上半場共投中12個球，其中投中5個2分球，所得總分為23分，問該球隊上半場比賽罰球得分是多少？（2）A班球隊預(yù)想在下半場比賽中投中12個球，若在沒有罰球的情況下，且下半場所得總分不少于29分，則該班級下半場比賽中至少投中多少個3分球？21.如圖，是的內(nèi)接三角形，E在的延長線上．給出以下三個條件：①是的直徑，②是的切線，③．（1）請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論，組合成一個新的真命題，并給予證明；（2）在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．22.學(xué)習(xí)《相似三角形》后，曾老師開展了一節(jié)《探索黃金分割之旅》的活動課．【背景資料】黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系．如圖1，點C把線段分成和兩部分，如果那么稱點C為線段的黃金分割點，叫做黃金分割比．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，在人體、建筑、美學(xué)等很多方面都有廣泛應(yīng)用，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．幾何圖形中的黃金分割，造就了圖形不一樣的美．如圖2和圖3，都是黃金三角形（腰與底的比或底與腰的比等于黃金比）；如圖4，矩形是黃金矩形（寬與長的比等于黃金比）．【知識探究】直角三角形中的黃金分割活動一：如圖5，在中，，是邊上的高．以為邊，作平行四邊形，使得點E，F(xiàn)分別落在邊上．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．）活動二：在活動一的條件下，若，求證：點F是線段的黃金分割點．23.綜合與實踐活動主題扇面制作活動情景如圖1，扇面字畫是一種傳統(tǒng)中國藝術(shù)形式，它將字和繪畫結(jié)合在扇面上，形成一種獨特的藝術(shù)風(fēng)格．為了迎接我市2025年傳統(tǒng)民俗文化活動的到來，某班組織同學(xué)們開展扇面制作展示活動．如圖2所示，扇面形狀為扇環(huán)，已知，，．活動小組甲組乙組制作工具直尺、三角板、量角器、圓規(guī)、剪刀制作材料【任務(wù)一】確定弦的長度．如圖2，請你求出所對弦的長度．【任務(wù)二】設(shè)計甲組扇面．如圖3，已知甲組的圓形卡紙直徑為請運用表格中所給工具在中設(shè)計與圖2相同的扇面，并標(biāo)出相應(yīng)數(shù)據(jù)．【任務(wù)三】確定卡紙大小．如圖4，乙組利用矩形卡紙，恰好設(shè)計出與圖2相同的扇面，求矩形卡紙的最小規(guī)格（即矩形的邊長）．24.已知點A為拋物線對稱軸右側(cè)上一動點，直線AB：與拋物線有且只有一個交點A，且與軸交于點B，點C的坐標(biāo)為，直線交拋物線于點，連接，，．（1）用含k的代數(shù)式表示b；（2）求證：；（3）在點A運動過程中，是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由．25.如圖，在中，，，點為邊上一點，連接，過點作，交于點．（1）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并說明原因；（2）如圖2，若為中點，且，求證：，，三點共線．（3）如圖3，若在線段上截取，連接，交于點，求證：．

2025年福建省初中畢業(yè)年級模擬考試2025.03初三數(shù)學(xué)（本試卷共8頁，滿分150分；考試時間：120分鐘）溫馨提醒：所有答案必須填（涂）在答題卡的相應(yīng)位置，在此卷上答題無效．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.2的相反數(shù)是（）A.2 B.－2 C. D.【答案】B【解析】【詳解】2的相反數(shù)是-2.故選：B.2.如圖所示的機械零件，它的主視圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了三視圖，根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．【詳解】從正面，可得選項D的圖形．故選：D．3.2024年4月，福建省作為“21世紀(jì)海上絲綢之路”核心區(qū)，成功舉辦中國—海絲沿線國家經(jīng)貿(mào)合作洽談會．本屆洽談會吸引了來自30多個國家和地區(qū)的企業(yè)參與，共簽約經(jīng)貿(mào)合作項目158個．據(jù)組委會通報，累計達(dá)成的意向成交金額約50億美元．將數(shù)據(jù)5000000000用科學(xué)記數(shù)法表示，其結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：．故選：B．4.如圖所示，為估計池塘兩岸A，B間的距離，小華在池塘一側(cè)選取一點P，測得，，那么，之間的距離不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，可得，再計算即可得的范圍．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，即，∴A、B之間的距離不可能是，故選：D．5.下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了積的乘方，同底數(shù)冪除法和冪的乘方等計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；B、，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算正確，符合題意；D、，原式計算錯誤，不符合題意；故選；C．6.體育老師為調(diào)查七年級學(xué)生體質(zhì)健康狀況，從全校1000名七年級學(xué)生中隨機抽取50名進行一分鐘跳繩測試，并對數(shù)據(jù)進行整理，結(jié)果如表：次數(shù)x（單位：次）頻數(shù)512285跳繩次數(shù)不低于180次為優(yōu)秀，估計七年級學(xué)生跳繩測試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有（）A.50 B.100 C.500 D.900【答案】B【解析】【分析】用總?cè)藬?shù)乘以優(yōu)秀率即可．【詳解】解：，∴七年級學(xué)生跳繩測試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)有100名．故選：B．【點睛】本題考查了頻數(shù)分布表，正確從頻數(shù)分布表中獲取信息是解題的關(guān)鍵．7.如圖，過外一點作圓的切線，，點為切點，為直徑，設(shè)，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理．連接，由切線的性質(zhì)可得，由四邊形內(nèi)角和定理得到，再由等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，由切線的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，∴，故選：C．8.近年來，福建著力推進高水平對外開放，外貿(mào)外資量穩(wěn)質(zhì)升高，根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計，福建省2021年的進口總額為7612.3億元，2023年的進口總額為7977.1億元，設(shè)這兩年福建省地區(qū)進口貿(mào)易總額的年平均增長率為，根據(jù)題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．設(shè)這兩年福建省地區(qū)進口貿(mào)易總額的年平均增長率為，根據(jù)福建省2021年的進口總額為7612.3億元，2023年的進口總額為7977.1億元，據(jù)此列方程．【詳解】解：設(shè)這兩年福建省地區(qū)進口貿(mào)易總額的年平均增長率為，根據(jù)題意得，，故選：A．9.如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點D，點E分別位于測繪點C的正北和正西方向．已知測得兩定位點E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測繪點H，G分別為，的中點，測繪方在測繪點H測得點G在點H的南偏西的方向上，且，則隧道的長約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1600m B.1300m C.980m D.900m【答案】B【解析】【分析】先解直角三角形求出，然后根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求解．【詳解】解：由題意知：，，，，在中，，∴，∵點H，G分別為，的中點，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方位角問題，三角形中位線定理等，明確題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)k，使得 B.無論實數(shù)k取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)k，使得 D.無論實數(shù)k取什么值，都有【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．將兩點代入，得到，，，再根據(jù)平方非負(fù)性進行判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴無論實數(shù)k取什么值，都有，故B符合題意，A不符合題意；∵，，∴，故C不符合題意；∵，，∴，故D不符合題意，故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別以“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”來命名，若收入80元記作元，則支出90元記作______元．【答案】【解析】【分析】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，理解負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，是解題的關(guān)鍵，由于收入與支出是互為相反意義的量，由已知即可求解．【詳解】解：收入80元記作元，則支出90元記作，故答案為：．12.如圖，在中，，若沿圖中虛線剪去，則______．【答案】##250度【解析】【分析】本題考查了三角形及四邊形的內(nèi)角和．熟記相關(guān)結(jié)論即可求解．【詳解】解：∵，∴∵沿圖中虛線剪去后的圖形為四邊形，且四邊形的內(nèi)角和度數(shù)為∴故答案為：13.某校課后服務(wù)課程有：足球，籃球，書法，舞蹈．為了解最受學(xué)生喜愛的課后服務(wù)課程，該校對初一同學(xué)進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：根據(jù)以上信息可知，該校初一學(xué)生中最喜愛足球課程的人數(shù)是___．【答案】210【解析】【分析】先求解總?cè)藬?shù),再利用總?cè)藬?shù)乘以足球所占的百分比即可.【詳解】解：總?cè)藬?shù)為：（人），∴該校初一學(xué)生中最喜愛足球課程的人數(shù)是（人），故答案為：210【點睛】本題考查的是從條形圖與扇形圖中獲取信息，理解題意，再列式計算是解本題的關(guān)鍵.14.若點在反比例函數(shù)的圖象上，則m，n的大小關(guān)系是m________n（用“”或“”號連接）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性直接解題即可．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∴，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．15.已知，則________．【答案】12【解析】【分析】本題考查分式化簡求值，代數(shù)式求值，完全平方公式的運用，根據(jù)，等號左右兩邊同乘得到，再利用完全平方公式得到，由，代入計算即可．【詳解】解：，，，即，，即，，即，，，故答案為：12．16.如圖，在矩形中，，點E是邊上的一個動點（E不與重合），連接，過點E作，交邊于點F，給出以下結(jié)論：①若，則平分；②若，則；③在點E運動的過程中，動點F可能與點A重合；④在點E從C運動到D的過程中，逐漸增大；其中正確的是________．（寫出正確結(jié)論的序號）【答案】①②【解析】【分析】如圖，延長、交于，利用證明，得，從而證明是的垂直平分線，可知，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論，從而可知①正確；證明，得，，可知②正確；當(dāng)點與重合時，設(shè)，，，則，由勾股定理得，，利用根的判別式可知不存在，從而③錯誤；由，得，則，可知④錯誤．詳解】解：①如圖，延長、交于，四邊形是矩形，，，在和中，，，，，垂直平分，，∵EF=EG，平分，故①正確；②，，，，，，，，，，，故②正確；③當(dāng)點與重合時，設(shè)，，，則，由勾股定理得，，整理得，，△，，△，方程無解，說明不存在，即點與不重合，故③錯誤；④由②知，，，，不變，點從運動到的過程中，逐漸減小，故④錯誤，綜上：正確的有①②，故答案為：①②．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，三角函數(shù)等知識，熟練掌握基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了零指數(shù)冪、絕對值、二次根式的性質(zhì)，先計算零指數(shù)冪、絕對值、化簡二次根式，再計算加減即可得解．【詳解】解：．18.如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，在和中，∴，∴．19.化簡代數(shù)式，然后判斷它的值能否等于，并說明理由．【答案】，代數(shù)式的值不能等于，理由見解析【解析】【分析】根據(jù)分式混合運算先化簡，再列方程求解驗證即可得到答案．【詳解】解：，代數(shù)式的值不能等于，理由如下：若，解得，在化簡代數(shù)式過程中，作過分母，根據(jù)分式分母不能為零可知代數(shù)式的值不能等于．【點睛】本題考查分式化簡求值，解分式方程，熟練掌握分式混合運算法則是解決問題的關(guān)鍵．20.為豐富校園生活，某校九年級開展籃球比賽活動．比賽得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分；在3分線內(nèi)（含3分線）投籃，投中一球可得2分；罰球投中一球可得1分．（1）A班球隊在某場比賽中，上半場共投中12個球，其中投中5個2分球，所得總分為23分，問該球隊上半場比賽罰球得分是多少？（2）A班球隊預(yù)想在下半場比賽中投中12個球，若在沒有罰球的情況下，且下半場所得總分不少于29分，則該班級下半場比賽中至少投中多少個3分球？【答案】（1）4分（2）5個【解析】【分析】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的實際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)方程或不等式是解決問題的關(guān)鍵．（1）A班球隊上半場投中了個3分球，則罰球投中了個1分球，由題意列出方程求解即可得到答案．（2）A班球隊下半場比賽中投中個3分球，則投中個2分球，由題意列出不等式求解即可得到答案．【小問1詳解】解：設(shè)A班球隊上半場投中了個3分球，則罰球投中了個1分球，根據(jù)題意得：，解得：，故罰球投中了：答：A班球隊上半場比賽罰球得分是4分．【小問2詳解】解：設(shè)A班球隊下半場比賽投中個3分球，則投中個2分球，根據(jù)題意得：，解得：，答：A班球隊下半場比賽中至少投中5個3分球．21.如圖，是的內(nèi)接三角形，E在的延長線上．給出以下三個條件：①是的直徑，②是的切線，③．（1）請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論，組合成一個新的真命題，并給予證明；（2）在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】（1）選擇作為條件，③作為結(jié)論；選擇作為條件，②作為結(jié)論；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）選擇作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得到，則可得，再由等邊對等角得到，由此可得；選擇作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接，由圓周角定理得到，由等邊對等角得到，由此即可得到，進一步得到，則是的切線；（2）證明，再由進行求解即可．小問1詳解】解：選擇作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接，∵是的直徑，是的切線，∴，∴，∵，∴，∴；選擇作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵；∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知切線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．22.學(xué)習(xí)《相似三角形》后，曾老師開展了一節(jié)《探索黃金分割之旅》的活動課．【背景資料】黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系．如圖1，點C把線段分成和兩部分，如果那么稱點C為線段的黃金分割點，叫做黃金分割比．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，在人體、建筑、美學(xué)等很多方面都有廣泛應(yīng)用，蘊藏著豐富的美學(xué)價值．幾何圖形中的黃金分割，造就了圖形不一樣的美．如圖2和圖3，都是黃金三角形（腰與底的比或底與腰的比等于黃金比）；如圖4，矩形是黃金矩形（寬與長的比等于黃金比）．【知識探究】直角三角形中的黃金分割活動一：如圖5，在中，，是邊上的高．以為邊，作平行四邊形，使得點E，F(xiàn)分別落在邊上．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．）活動二：在活動一的條件下，若，求證：點F是線段的黃金分割點．【答案】活動一：見解析；活動二：見解析【解析】【分析】活動一：作，，如圖，四邊形是所求作的平行四邊形；活動二：利用平行線分線段成比例定理，得到和，推出，再證明，據(jù)此求解即可得到，點F是線段的黃金分割點．【詳解】解：活動一：如圖所示，四邊形是所求作的平行四邊形．活動二：證明：∵在中，，∴是菱形，∴，，，∴，，，，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴．∴，∴點F是線段的黃金分割點．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，利用相似三角形得線段比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23.綜合與實踐活動主題扇面制作活動情景如圖1，扇面字畫是一種傳統(tǒng)的中國藝術(shù)形式，它將字和繪畫結(jié)合在扇面上，形成一種獨特的藝術(shù)風(fēng)格．為了迎接我市2025年傳統(tǒng)民俗文化活動的到來，某班組織同學(xué)們開展扇面制作展示活動．如圖2所示，扇面形狀為扇環(huán)，已知，，．活動小組甲組乙組制作工具直尺、三角板、量角器、圓規(guī)、剪刀制作材料【任務(wù)一】確定弦的長度．如圖2，請你求出所對弦的長度．【任務(wù)二】設(shè)計甲組扇面．如圖3，已知甲組的圓形卡紙直徑為請運用表格中所給工具在中設(shè)計與圖2相同的扇面，并標(biāo)出相應(yīng)數(shù)據(jù)．【任務(wù)三】確定卡紙大小．如圖4，乙組利用矩形卡紙，恰好設(shè)計出與圖2相同的扇面，求矩形卡紙的最小規(guī)格（即矩形的邊長）．【答案】任務(wù)一：任務(wù)二：見解析任務(wù)三：最小規(guī)格矩形邊長為、或．【解析】【分析】任務(wù)一：由弧所對的圓心角為，可得，求得，應(yīng)用勾股定理求出，即可求解，任務(wù)二：以直徑為底邊，構(gòu)造底角為30度的等腰三角形，則得到的三角形和任務(wù)一三角形全等，再按要求取點，再以為圓心，分別以、為半徑畫弧，得到的扇面圖形與圖2相同；任務(wù)三：分兩種情況：①在上取一點使，以為圓心，為半徑的圓與相切，此時點與點重合，在圓上取一點A，使，即可得到扇面．過點作，則矩形為最小規(guī)格矩形；②當(dāng)矩形的邊與相切于點M，且A、B兩點分別在上，C、D在上；連接交于點N，連接；利用等腰三角形的性質(zhì)，含度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．詳解】任務(wù)一：解：過點O作，交于點，，，，，，，，任務(wù)二：如圖，是以直徑為底邊，底角為度，由任務(wù)一可知，，取，以O(shè)為圓心，分別以、為半徑畫弧，即可得到扇面．任務(wù)三：分兩種情況：①如圖所示：當(dāng)與矩形兩邊相切時，過點作，則矩形為最小規(guī)格矩形，∵，，，∴，，，∵當(dāng)與矩形兩邊相切，∴最小規(guī)格矩形的邊長為、；②如圖，當(dāng)矩形的邊與相切于點M，且A、B兩點分別在上，C、D在上；連接交于點N，連接；由題意知，，，∴，∴；由勾股定理得，∴；同理：，∴，此時最小規(guī)格邊長分別為；綜上，最小規(guī)格矩形邊長為、或．【點睛】本題考查了垂徑定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角