1、數學模型中的反問題向下運動向上運動風箏數學模型竟賽中有很多涉及反問題。如2010國賽中A題和2011年美賽中A題都涉及反問題。顧名思義，反問題是相對于正問題而言的。正問題的定義為：按著自然順序來研究事物的演化過程或分布形態，起著由因推果的作用。自然順序的定義為：不受任何限制和約定俗成的順序，一般地都認為他們是自然而然的，無須多加解釋的。在一般地語境下，認為這些順序都是是前提條件的。如時間順序、空間順序、因果順序，等等。純粹的自然順序的例子是第一，第二，第三這種升序；或者反過來的倒序；約定俗成的例子是上北下南左西右東。反問題的定義為：根據事物的演化結果，由可觀測的現象來探求事物的內部規律或所受的

2、外部影響，由表及里，索隱探秘，起著倒果求因的作用。可以看出，正、反兩方面都是科學研究的重要內容。但相對正問題，反問題求解難大，計算量大。許多人知道求解問題的思路，但由于選用計算方法不適當，在幾天內求不出計算結果，失去獲獎機會。盡管一些經典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學研究中經常要通過間接觀測來探求位于不可達、不可觸之處的物質的變化規律；生產中經常要根據特定的功能對產品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題。可見，反問題的產生是科學研究不斷深化和工程技術迅猛發展的結果，而計算技術的革命又為它提供了重要的物質基礎。 現在

3、，反問題的研究已經遍及現代化生產、生活、研究的各個領域。簡單的概括不足以說明問題，我們下面具體介紹一些常見的反問題類型，希望大家能夠對它有一個概括的了解.第一節反問題的例子例1 物體下落距離L與時間T，正問題是：已知物體的高度，測量下落時間，即t=t(x). 反問題是：已知物體下落時間，求物體的高度,即x=x(t)。當人們不知道自由落體運動規律x=0.5gT2之前，能用時鐘測量物體下落時間，但反過來，給定下落時間，測量物體高度比較難。對于沒有讀中學的人，能完成時鐘測量物體下落時間的試驗。但給他物體下落時間，測量物體的下落高度是不容易的事情。例2 年齡與身高。正問題是，根據年齡T，每周歲測身高H

4、，得到身高H與年齡T的關系H=H(T). 反問題是：已知身高H，求年齡T，即求關系T=H(T). 例3速度V與軌道形狀z=f(x)，其摩擦系數為，z為高度，初始速度為V0，末速度為Ve=V(y=H). 正問題是，已知軌道形狀z=f(x)，求末速度為Ve.反問題是：給定末速度為Ve.求軌道形狀z=f(x)。對大學生，正問題能求出來，但反問題有些難。例4 熱傳導問題（2013美賽A題）設點P到邊界的距離為x, 傳熱系數為a, 溫度T=T(a,x). 正問題是：已知距離x, 傳熱系數a的數值, 求溫度T。如用一維傳熱公式：反問題是：已知溫度T,x，求傳熱系數為a,例5 光電板問題(2012A題)設屋

5、頂面積為D，光電板長為L，寬為H。正問題是：已知D，L，H，求在屋頂上鋪設光電板最大數量N。反問題是：已知光電板總鋪設面積D*，光電板長L，寬H，求屋頂面積。由上面幾個例子，可以在數學上定義正問題為y=f(x)，定義域為D，值域為V。反問題為x=g(y). 由高等數學可知，若函數f(x)在D上是單調的，則反函數g(y)存在且唯一。相對正問題而言，反問題計算量大，選用適當的計算方法是成功求解反問題的關鍵。因而要求在求反問題之前，要求學生掌握基本的計算方法。第二節計算方法2.1方程求根在數學建模中，求解方程的根是經常遇到的。常用求根方法有迭代法，二分法，牛頓法，極小值法，一維尋查法，格子法。迭代法

6、設函數f(x)=x-g(x)有一根x*, 則f(x*)=0, 或x*-g(x*)=0; 或x*=g(x*); 定義求根的迭代公式為：定理: 若導數g的絕對值小于1, 即|g|L1, 則迭代收斂。證：由于x*=g(x*)，則xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g() (xk-x*)有| xk+1-x*|L| xk-x*|L2| xk-1-x*|Lk+1| x0-x*|因為L0, 故xkx*. 證畢。例 求f(x)=x-x*x的零點。解：這里g(x)=x*x, g(x)=2x, 則當|x|0.5時，|g(x)|1, 即|x|0.5時，迭代公式. xk+1=xk2收斂。取x0=0.1, 計算得X

7、1=x02=0.12=10-2X2=x12=(10-2)2=10-4.最后求得xkx*=0. 實際上，我們知道x=0為x=x*x的解，但它還有一解x=1; 由于|2x|=|2*1|=2, 則用上面迭代公式x=g(x)=x*x求不出解x=1. 它需要構造另一種迭代公式.xk+1=g(xk)=xk容易驗證當x=1時，|g|1. 取x0=2, 計算得X1=x00.5=20.51.414X2=x10.5=(20.5) 0.5=20.251.1189X3=x30.5=(20.25) 0.5=20.1251.090.最后求得xkx*=1.由上面例子可知，對同一函數f(x)，它的不同零點對應的迭代公式不同。

8、2.1.2二分法在高等數學里，我們已學習下面定理。定理：設f(a)f(b)0, f(x)在區間a,b上連續可導，則至少有一個(a,b)中的點x*，使f(x*)=0.取a0=a, b0=b, x1=(a0+b0)/2, 則點x*屬于子區間a0,x1，或子區間x1,b0。若屬于子區間a0,x1，取a1=a0,b1=x1. 否則屬于子區間x1,b0，取a1=x1,b1=b0. 得到點x*屬于子區間a1,b1，且b1-a1=0.5(b0-a0)，即區間長度只有原始區間的一半。類似上面方法，取x2=(a1+b1)/2, 則點x*屬于子區間a1,x2，或子區間x2,b1。若屬于子區間a1,x2，取a2=a

9、1,b2=x2. 否則屬于子區間x2,b1，取a2=x2,b2=b1. 得到點x*屬于子區間a2,b2，且b2-a2=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0), 即區間長度只有原始區間的四分之一。這種方法一直分二去，得點x*屬于子區間ai,bi, 和數列xi, 且bi-ai=0.5i(b0-a0)0, xix*. 例. 求f(x)=1-x2 在區間0.5, 2上的零點。解這里a0=0.5, b0=2; 有f(a0)=f(0.5)=1-0.52=0.75, f(b0)=f(2)=1-22=-3, 有f(a0)f(b0)=0.75*(-3)0, 故在0.5,2上f(x)有一零點x*. 取x1=

10、(a0+b0)/2=(0.5+2)/2=1.25, 有f(x1)=f(1.25)=-0.5625, f(a0)f(x1)=0.75*(-0.5625)0, 則零點x*在區間x2,b1=0.875,1.25中，故取a2=0.875, b2=1.25. 如此計算下去， 當bi-ai0, 無根，停止計算。否則轉下一步；3)取x1=(a0+b0)/2, 若f(a0)f(x1)0, 取a1=a0,b1=x1; 否則取a1=x1, b1=b0;4)若b1-a1, 輸出近似根x*=(a1+b1)/2; 否則a1a0, b1b0, 轉第三步。二分法能用圖形來說明，其示意圖見圖2.1, 圖中給出了點a0,b0,

11、x1,x2,x3, 它們根據二分法計算。由圖可知，當二分次數增加時，中間點xi相互靠近，收斂于零點x*.圖2.1 二分法示意圖2.1.3 極小值法定型：若x*為f(x)的零點，則它為F(x)=f2(x)的極小值點。證：由于F(x)非負，F(x*)=f2(x*)=00=0, 則x*為F(x)的一個極小值點。我們容易得：定理：若F(x) =f2(x),F(x*)=0, 則f(x*)=0.可見，f(x)的零點計算問題能化為極小值計算問題。它常用一維尋查法求解。一維尋查法比較簡單，它的計算步驟為1)輸入初始點d0, 步長h, 誤差；2)計算函數值F(d0),F(d0-h),F(d0+h);3)若F(d

12、0)F(d0-h), 取d1=d0-h; 否則取d1=d0+h;5)令d1d0, h2h, 轉第2步。6)取a=d0-h, b=d0+h, 用二分法求極值點。二分法求極值點的原理與求根原理類似。由下面定理給出：定理：設F(x)在a,b上連續，且0F(x),若c為a,b中的點，且 F(c)minF(a),F(b), 則F(x)在a,b上存在極小值點x*. 上面定理用反證法容易證明。二分法求極值點的步驟為，取a0=a,b0=b,c0=c=(a0+b0)/2; h=(b-a)/2; 中點x0=(a0+c0)/2; y0=(c0+b0)/2; 若F(z0)=minF(a0),F(b0),F(x0),F

13、(c0),F(y0), z0為a0,c0,b0,x0,y0 中的一點， 取h1=h/2, a1=z1-h1, c1=z1, b1=z1+h1; 容易計算出(b1-a1)=0.5(b0-a0); 即長度只有原區間的一半。用類似方法，取中點x1=(a1+c1)/2; y1=(c1+b1)/2; 若F(z1)=minF(a1),F(b1),F(x1),F(c1),F(y1), z1為a1,c1,b1,x1,y1 中的點， 取h2=h/4, a2=z2-h2, c2=z2, b2=z2+h2; 有(b1-a1)=0.5(b1-a1)= 0.25(b0-a0); 則長度只有初始區間長度的四分之一。如此下

14、去，我們得到點ai, ci, bi, 且(bi-ai)=0.5i(b0-a0)0. 可以證明，xix*為極小值點。由上面討論可知，求極小值點分為兩步，先求極點所在的區間a,b, 然后用二分法逐步縮小區間，求出極小值點。其計算過程可以用圖2.2說明。圖中函數F只有一個極小值點。 給定初值d0和步長h, 求出d0+h為最小值，取2h, 計算得d0+2h也為最小，再取4h, 計算得d0+2h也為最. 圖2.2 極小值示意圖例. 用極小值法求函數f(x)=1-x*x的零點，x0=1.4, h=0.1.解. 令F(x)= f2(x*)=(1-x2)2先用一維尋查法求含有根的區間a,b. 計算F(x0-h

15、)=F(1.3)=0.4761; F(x0)=F(1.4)=0.9216; F(x0+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個數值，x1=1.3時F=0.4761最小。將步長放大2倍，取h=0.2, 計算F(x1-h)=F(1.1)=0.0441; F(x1)=F(1.3)=0.4761; F(x1+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個數值，x2=1.1時F=0.0441最小。再將步長放大2倍，取h=0.4, 計算F(x2-h)=F(0.7)=0.216; F(x2)=F(1.1)=0.0441; F(x2+h)=F(1.5)=1.5612; 比較3個數值，x3=1.1時F=0.0

16、441最小。因而取a=0.7, b=1.5. 再用二分法求極值點。取a0=0.7,b0=1.2,c0=0.95, h=0.25; 中點x0=(a0+c0)/2=0.825; y0=(c0+b0)/2=1.075; 計算得F(0.7)=0.216; F(0.825)=0.102; F(0.95)=0.0095; F(1.075)=0.02421; F(1.2)=0.1936; 當z1=0.95時，函數F(0.95)=0.0095最小。則取a1=0.825, c1=0.95, b1=1.075; x1=0.8875; y1=1.0125; 計算得F(0.825)=0.102; F(0.8875)=

17、0.04509, F(0.95)=0.0095; F(1.0125)=6.328e-4, F(1.075)=0.02421; 給定誤差=0.1時，若(bi-a1)/4, 輸出近似根x*=1.0125.2.1.4格子法對于高維問題，格子法是求極值點的常用方法。它的思想與二分法類似，基本原理為，給定非負的高維函數y=F(X), 初始點X0, 步長h, 將每個坐標分量加上h和減去h, 求最小值y0=minF(X0),F(X-h),F(X+h), 和對應的坐標點X1, 若X1=X0，取hh/2, 步長減半，否則取h2h, 步長加倍，再將X1的每個坐標分量加上h和減去h, 求最小值點X2，如此下去，直到

18、步長h為止。最后Xi為近似最小值點。例.求方程式組的極小解：x-y(x+y)-1=0; y(x+y)-y-2=0;解：令F(x,y)=x-y(x+y)-12+y(x+y)-y-22取初值點X0=(0,0), 步長h=0.8; 計算得：F(-0.8,0)=7.24; F(0.8,0)=4.04 F(0,0)=5.0; F(0,-0.8)=3.00; F(0,0.8)=7.355;可知X1=(0,-0.8)為最小值點，取加倍步長h=1.6, 計算中心得：F(-1.6,0.8)=20.9; F(1.6,0.8)=4.923; F(0,0.8)=3.0; F(0,-2.4)=83.6; F(0,0.8

19、)=7.32;則X2=X1=(0,-0.8)為最小值點，取減半步長h=0.8,繼續計算，最后求得近似極小值點(1.3175,-1.5675).滿足誤差=0.01.2.1.5 多項式擬合 在反問題計算中，多項式擬合是常用的方法，其基本原理是：給定測量數據(xi,yi), i=1, 2, ,m, 求一個多項式. y=a0+a1x+a2x2+anxn將數據代入得上式可寫為矩陣表達式： Y=XA這里：兩邊乘以X的轉置XT有 XTY=XTXA故有編程：clear allt=0,1,2,3L=0,9,35,90Y=L(MATLAB中表示Y的轉置矩陣)for i=1:nx(i,1)=1for j=1:3 x

20、(i,j+1)=x(i,j)*t(i)endendA=inv(X*X)*X*Y當n=1時，y=a+bx為線性函數，可以由上式求出具體表達式：式中E(X)為X的平均值，E(Y)為Y的平均值。D(X)為X的方差。上式與最小二乘法得到的結果相同。例. 已知數據(0,0), (1,1), (2,4),(3,8)， 求一元回歸函數y=a+bx?解. 我們求得m=4E(X)=(0+1+2+3)/4=7/4; D(X)=(-7/4)2+(-3/4)2+(1/4)2+(5/4)2)/4=1.3125E(Y)=(0+1+4+8)/4=13/4E(XY)=(0*0+1*1+2*4+3*8)/4=33/4計算得：

21、b=1.9524; a=-0.1667; 則一元回歸為：Y=-0.1667+1.9524x2.1.6 數值積分在數學模型竟賽中，能求出分析解的積分太少，大多只能用數值方法離散計算。設h為步長，a=x0x1 New-M-file3)在編輯窗中輸入程序；4）點擊Debug-Save and Run5）輸入文件名w11, 保存6）屏幕上出現結果c=3;上機實習程序二；計算 S=1+2+.+10clear all s=0;for k=1:10; s=s+k;end;sun=s上機實習程序三計算s=2+4+6+.+20; 如s10, 輸出“優秀”，否則輸出“下一次優秀”clear alls=0;for

22、k=1:10; s=s+2*k;end;if(s10);display(優秀),end if(s4);continue;end; f2=x1+4*x2+x3; if(f14);continue;end; f3=2*x2+x3; if(f36);continue;end; f4=x1+x2; if(f41);continue;end; z=3*x1-x2+4*x3; if(Mzz);Mz=z;y(1)=x1;y(2)=x2;y(3)=x3;end; end;%i3 end;%i2end;%i1y(4)=Mz程序中continue為進行下一個循環，而不計算后面的語句。程序二：clear allf=-3;-1;4;A=1 3 -2 1 4 1 0 2 1 1 1 0;b=4;4;6;1;x，fval=bintprog(f,A,b)上面bintprogo為0-1整數線性規劃