1、精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業數值計算方法試題一數值計算方法試題一填空題（每空 1 分，共 17 分）1、 如果用二分法求方程043 xx在區間2 , 1 內的根精確到三位小數， 需對分 （）次。2、迭代格式)2(21kkkxxx局部收斂的充分條件是取值在（） 。3、已知31) 1() 1() 1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次樣條函數，則a=()，b=（） ，c=（） 。4、)(,),(),(10 xlxlxln是以整數點nxxx,10為節點的 Lagrange 插值基函數，則nkkxl0)()，nkkjkxlx0)()，當2n時)()3(204xlxxkknkk

2、()。5、設1326)(247xxxxf和節點, 2 , 1 , 0, 2/kkxk則,10nxxxf和07f。6、5 個節點的牛頓-柯特斯求積公式的代數精度為，5 個節點的求積公式最高代數精度為。7、0)(kkx是區間 1 , 0上權函數xx )(的最高項系數為 1 的正交多項式族，其中1)(0 x，則104)(dxxx。8、給定方程組221121bxaxbaxx，a為實數，當a滿足，且20時，SOR迭代法收斂。9、解初值問題00( , )()yf x yy xy的改進歐拉法),(),(2),(011101nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy是階方法。10、設11001aaaa

3、A，當a（）時，必有分解式TLLA ，其中L為下三角陣，當其對角線元素)3 , 2 , 1( ilii滿足（）條件時，這種分解是唯一的。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業二、選擇題（每題 2 分）1、解方程組bAx 的簡單迭代格式gBxxkk)()1(收斂的充要條件是（） 。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B2、在牛頓-柯特斯求積公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，當系數)(niC是負值時，公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，3、有下列數表x00

4、.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數是（） 。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4 、 若 用 二 階 中 點 公 式),(4,2(1nnnnnnyxfhyhxhfyy求 解 初 值 問 題1)0(,2yyy，試問為保證該公式絕對穩定，步長h的取值范圍為（） 。(1)20 h,(2)20 h,(3)20 h,(4)20 h三、1、 （8 分）用最小二乘法求形如2bxay的經驗公式擬合以下數據：ix19253038iy19.032.349.073.32、 （15 分）用8n的復化梯形公式（或復化 Simpson 公式）計算dxex1

5、0時，(1)試用余項估計其誤差。（2）用8n的復化梯形公式（或復化 Simpson 公式）計算出該積分的近似值。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業四、 1、 （15 分） 方程013 xx在5 . 1x附近有根， 把方程寫成三種不同的等價形式（1）31xx對應迭代格式311nnxx； (2)xx11對應迭代格式nnxx111；（3）13 xx對應迭代格式131nnxx。 判斷迭代格式在5 . 10 x的收斂性， 選一種收斂格式計算5 . 1x附近的根，精確到小數點后第三位。選一種迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并進行計算與前一種結果比較，說明是否有加速效果。2、 （8 分）

6、已知方程組fAX ，其中4114334A，243024f（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi 迭代矩陣的譜半徑，寫出 SOR 迭代法。五、1、 （15 分）取步長1 . 0h，求解初值問題1)0(1yydxdy用改進的歐拉法求) 1 . 0(y的值；用經典的四階龍格庫塔法求) 1 . 0(y的值。2、 （8 分）求一次數不高于 4 次的多項式)(xp使它滿足)()(00 xfxp,)()(11xfxp,)()(00 xfxp,)()(11xfxp,)()(22xfxp六、 （下列 2 題任選一題，4 分）1、 數值積分公式形如

7、10) 1 ()0() 1 ()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf（1）試確定參數DCBA,使公式代數精度盡量高； （2）設 1 , 0)(4Cxf，推導余項公式10)()()(xSdxxxfxR，并估計誤差。2、 用二步法),()1 (),(111101nnnnnnnyxfyxfhyyy求解常微分方程的初值問題00)(),(yxyyxfy時，如何選擇參數,10使方法階數盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業數值計算方法試題二數值計算方法試題二一、判斷題： （共 16 分，每小題分）、若A是nn階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和

8、上三角陣U，使LUA 唯一成立。（）、當8n時，Newtoncotes 型求積公式會產生數值不穩定性。 （）3、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數精確度的次數為12 n。 （）、矩陣210111012A的范數2A。 （）5、設aaaaA000002，則對任意實數0a，方程組bAx 都是病態的。 （用）（）6、 設nnRA，nnRQ， 且有IQQT（單位陣） ， 則有22QAA。（）7、區間ba,上關于權函數)(xW的直交多項式是存在的，且唯一。 （）8、對矩陣 A 作如下的 Doolittle 分解：60010322110120015427743

9、22baA，則ba,的值分別為a2，b2。 （）二、填空題： （共 20 分，每小題 2 分）1、設102139)(248xxxxf，則均差2 ,2 ,2810f_，3 ,3 ,3910f_。2、設函數)(xf于區間ba,上有足夠階連續導數，bap,為)(xf的一個m重零點，Newton 迭代公式)()(1kkkkxfxfmxx的收斂階至少是 _階。、區間ba,上的三次樣條插值函數)(xS在ba,上具有直到_階的連續導數。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業4、向量TX)2, 1 ( ,矩陣1327A，則1AX_，)(Acond_。5、為使兩點的數值求積公式：1110)()()(xfxf

10、dxxf具有最高的代數精確度，則其求積基點應為1x_，2x_。6、設nnRA，AAT，則)(A（譜半徑）_2A。 （此處填小于、大于、等于）7、設2141021A，則kkAlim_。三、簡答題： （9 分）1、 方程xx24在區間2 , 1內有唯一根*x，若用迭代公式：2ln/ )4ln(1kkxx), 2 , 1 , 0(k，則其產生的序列 kx是否收斂于*x？說明理由。2、 使用高斯消去法解線性代數方程組，一般為什么要用選主元的技術？3、 設001. 0 x，試選擇較好的算法計算函數值2cos1)(xxxf。四、 （10 分）已知數值積分公式為：)()0()()0(2)(20hffhhff

11、hdxxfh，試確定積分公式中的參數，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。五、 （8 分）已知求)0(aa的迭代公式為：2 , 1 , 00)(2101kxxaxxkkk證明：對一切axkk, 2 , 1，且序列 kx是單調遞減的，從而迭代過程收斂。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業六、 （9 分）數值求積公式30)2() 1 (23)(ffdxxf是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？七、 （9 分）設線性代數方程組bAX 中系數矩陣A非奇異，X為精確解，0b，若向量X是bAX 的 一 個 近 似 解 ， 殘 向 量XAbr， 證 明 估 計 式 ：brAcon

12、dXXX)(（假定所用矩陣范數與向量范數相容） 。八、(10 分)設函數)(xf在區間3 , 0上具有四階連續導數，試求滿足下列插值條件的一個次數不超過 3 的插值多項式)(xH，并導出其余項。i012ix012)(ixf-113)(ixf3九 、 (9 分 ) 設)(xn是 區 間,ba上 關 于 權 函 數)(xw的 直 交 多 項 式 序 列 ，) 1, 2 , 1(nnixi為)(1xn的零點，) 1, 2 , 1)(nnixli是 以 ix為 基 點 的 拉 格 朗 日 (Lagrange) 插 值 基 函 數 ，11)()()(nkkkbaxfAdxxwxf為高斯型求積公式，證明：

13、（1）當jknjk,0時，0)()(11ijikniixxA（2）bajkjkdxxwxlxl)(0)()()(（3）112)()()(nkbabakdxxwdxxwxl精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業數值計算方法試題三數值計算方法試題三一、 （24 分）填空題(1)(2 分)改變函數f xxx( ) 1(x 1)的形式，使計算結果較精確。(2)(2 分)若用二分法求方程 0 xf在區間1,2內的根，要求精確到第 3 位小數，則需要對分次。(3)(2 分)設 212221xxxxxf，則 xf (4)(3 分)設 21,10,2233xcbxaxxxxxS是 3 次樣條函數，則a=,

14、 b=, c=。(5)(3 分)若用復化梯形公式計算10dxex，要求誤差不超過610，利用余項公式估計，至少用個求積節點。(6)(6 分)寫出求解方程組24 . 016 . 12121xxxx的 Gauss-Seidel 迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂。(7)(4 分)設A 5443,則A， CondA。(8)(2 分)若用 Euler 法求解初值問題 10,10yyy，為保證算法的絕對穩定，則步長 h 的取值范圍為二. (64 分)(1)(6 分)寫出求方程 1cos4xx在區間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(2)(12 分)以 100,121,144 為插值節點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。(3)(10 分)求 xexf在區間0,1上的 1 次最佳平方逼近多項式。(4)(10 分)用復化 Simpson 公式計算積分 10sindxxxI的近似值，要求誤差限為5105 . 0。(5)(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程組：276234532424321321321xxxxxxxxx(6)(8 分)求方程組1251121312