1、問(wèn)題問(wèn)題:如圖如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建三個(gè)村莊合建一所學(xué)校一所學(xué)校,要求校址要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等莊都相等.請(qǐng)你幫助確定校址請(qǐng)你幫助確定校址. ABCABMNC PMNCABQ ABMNP.Q.C線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等.定理定理(線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離距離相等相等.定理定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等.定理定理線(xiàn)段垂直平

2、分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)的的距離相等距離相等.定理定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的的點(diǎn)點(diǎn)和這條線(xiàn)段和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)的的距離相等距離相等.定理定理直線(xiàn)直線(xiàn)MN AB，垂足是，垂足是C，且且AC=CB.點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.已知：已知：PA=PB求證：求證：ABCNMP證明證明:MNMN ABAB（已知）已知） PCA=PCA= PCB(PCB(垂直的定義垂直的定義) )在在 PCAPCA和和 PCBPCB中中, ,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已證已證) )PC=PC=PCPC( (公共邊公共邊

3、) ) PCA PCA PCB(SAS)PCB(SAS)PA=PB(PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) )ABCMNPABCMNP當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)重合時(shí),上述證上述證明有什么缺陷明有什么缺陷? PCAPCA與與 PCBPCB將不存在將不存在. .PA與與PB還相等嗎還相等嗎?相等相等! !此時(shí)此時(shí),PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PB已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段AB,有一有一點(diǎn)點(diǎn)P,并且并且PA=PB.那么那么,點(diǎn)點(diǎn)P是否一定是否一定在在AB的垂直平分的垂直平分線(xiàn)上線(xiàn)上?PABMN C P /這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)P /不存在不存在ABPC已知已知:線(xiàn)

4、段線(xiàn)段AB,且且PA=PB求證求證:點(diǎn)點(diǎn)P在線(xiàn)段在線(xiàn)段AB的垂直的垂直平分線(xiàn)平分線(xiàn)MN上上. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作PC AB垂足為垂足為C.在在Rt PCA和和Rt PCB中中PA=PB，PC=PC PCA PCB(HL)PCPC是線(xiàn)段是線(xiàn)段ABAB的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn). .即即點(diǎn)點(diǎn)P在線(xiàn)段在線(xiàn)段AB的垂直的垂直平分線(xiàn)平分線(xiàn)MN上上.證明證明:和一條線(xiàn)段兩個(gè)端和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在在這條線(xiàn)段的垂直平這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上分線(xiàn)上.逆定理逆定理小結(jié)小結(jié):1.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn),和這條和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2.和一條線(xiàn)段

5、兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的 點(diǎn)點(diǎn),在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.ABC MN C ABMN和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等和線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的的所有點(diǎn)的集合集合.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作是例例 已知已知:如圖如圖 ABC中中,邊邊AB、BC的的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P.求證求證:PA=PB=PC. PA=PB(線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等)證明證明: 點(diǎn)點(diǎn)A在線(xiàn)段在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上的垂直平分線(xiàn)上(已知已知)同理同理 PB=PC PA=PB=PC

6、.ACBMPNM/N/問(wèn)題問(wèn)題:如圖如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建三個(gè)村莊合建一所學(xué)校一所學(xué)校,要求校址要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等莊都相等.請(qǐng)你幫助確定校址請(qǐng)你幫助確定校址. ABCP 點(diǎn)點(diǎn)P為校址為校址作圖題作圖題:如圖如圖,在直線(xiàn)在直線(xiàn) l 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P,使使PA=PB l BAP點(diǎn)點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)為所求作的點(diǎn)填空：填空：1.已知已知:如圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,則則 ABC為為 三角形三角形.ABCED1題圖題圖等腰等腰填空：填空：1.已知已知:如圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,

7、則則 ABC為為 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD為為BC邊上的高邊上的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),則則BE EC.(填填、或或=號(hào)號(hào))ABCEDABCED1題圖題圖2題圖題圖等腰等腰=3.已知已知:如圖如圖,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分線(xiàn)直平分線(xiàn)MN交交AC于于D,則則 1= , 2= .ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：填空：4.已知已知:如圖如圖,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分線(xiàn)的垂直平分線(xiàn),AE=3cm, ABD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為13cm,則則 ABC 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)為為 cmABDCE3cm3cm1913cm5.

8、如圖如圖,CD、EF分別是分別是AB、BC的垂直的垂直平分線(xiàn)平分線(xiàn).請(qǐng)你指出圖中相等的線(xiàn)段有哪些請(qǐng)你指出圖中相等的線(xiàn)段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即即:BF=CF=DFACEBFD證明題證明題:1.已知已知: ABC中中, C=90 , A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求證求證:D點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線(xiàn)上的垂直平分線(xiàn)上.ABCD證明證明:30o C=90o, A=30o(已知已知) ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) A= ABD (等量代換等量代換) D點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線(xiàn)上的垂直平分線(xiàn)上.(和一和一條

9、線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.)BD平分平分 A BC(已知已知) ABD=30o(角平分線(xiàn)的定義角平分線(xiàn)的定義)30o AD=BD(等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊)證明題證明題:2.已知已知:如圖如圖,線(xiàn)段線(xiàn)段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求證求證:ADBC.ABCDO123證明證明: 線(xiàn)段線(xiàn)段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知) CA=CB(線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理性質(zhì)定理) 1= 3(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知) 1= 2(角平分線(xiàn)的定義角平分線(xiàn)的定義) 2=

10、 3(等量代換等量代換) AD BC(內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等, ,兩直線(xiàn)平行兩直線(xiàn)平行)證明題證明題:3.已知已知:如圖如圖,在在 ABC中中, AB=AC, A=120o,AB的垂直平分線(xiàn)交的垂直平分線(xiàn)交AB于于E,交交BC于于F.求證求證:CF=2BF.ABCEF30060O30030OCF=2AFAF=BFCF=2BFv線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段 兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), 在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.k線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作是和線(xiàn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作是和線(xiàn) 段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.證明題證明題:4.已知已知:如圖如圖,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,連結(jié)連結(jié)AF.求證求證: CAF= B.ABCDEF1234ABCDEF1234 1+ 2= 4(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)又又 4= B+ 3(三角形的一個(gè)外角等于與它三角形的一個(gè)外角等于與它 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和) 1+ 2= B+ 3 AD平分平分 BAC(已知已知) 2= 3(角平分線(xiàn)的定義角平分線(xiàn)