1、第7節(jié)克萊姆（Cramer）法則、線(xiàn)性方程組n元線(xiàn)性方程組是指形式為:%西+的后=瓦如典+如為+%/-4（1）的方程組，其中丙；"再代表H個(gè)未知量,那是方程的個(gè)數(shù)，二陽(yáng)；J=12”）稱(chēng)為方程組的系數(shù)，亳072,1二附）稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)。線(xiàn)性方程組的一個(gè)解是指由力個(gè)數(shù)J組成的有序數(shù)組當(dāng)打個(gè)未知量力卜勺，分別用乜/，代入后，式（1）中每個(gè)等式都成為恒等式。方程組（1）的解的全體稱(chēng)為它的解集合，如果兩個(gè)線(xiàn)性方程組有相同的解集合，就稱(chēng)它們是同解方程組。為了求解一個(gè)線(xiàn)性方程組，必須討論以下一些問(wèn)題：（1）,這個(gè)方程組有沒(méi)有解？（2）.如果這個(gè)方程組有解，有多少個(gè)解？（3）,在方程組有解時(shí)，解之間的關(guān)

2、系，并求出全部解。本節(jié)討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等（即加=月）的情形。二、克萊姆法則定理1（克萊姆法則）如果線(xiàn)性方程組7口七+12/+為把/十03a電十十叼叫的系數(shù)行列式:那么這個(gè)方程組有解，并且解是唯一的，這個(gè)解可表示成:(3)其中叢是把D中第i列換成常數(shù)項(xiàng)4瓦”也所得的行列式，即a2i-l9+1l7h+1卜12'二并）。給出。分析：定理一共有3個(gè)結(jié)論：【方程組有解；T,解是唯一的；E,解由公式（3）因此證明的步驟是:D¥=（i=2,津）第一，把D代入方程組，驗(yàn)證它確實(shí)是解。這樣就證明了方程組有解，并且（3）是一個(gè)解，即證明了結(jié)論T與30。第二，證明如果45七馬，內(nèi):是

3、方程組（2）的一個(gè)解，那么一定有口14Dq=-,%=_-：q=-口0Q''"Do這就證明了解的唯一性，即證明了結(jié)論2°o證明：先回憶行列式的一個(gè)性質(zhì)，設(shè)為階行列式4工趣&=沏4+電£&+戛4JL當(dāng)i=J時(shí)；當(dāng)時(shí).=鼻口Ha+困jAjjj=ji時(shí);接下來(lái)證明定理。首先，證明（3）確實(shí)是（2）n的解。將行列式/按第1列展開(kāi)得:D.其中4,是行列式。中元素餐的代數(shù)余子式?，F(xiàn)把；二,代入第t個(gè)方程的左端，得:外卷+%a+氣甘二,均+%4+%旦=-M+務(wù)當(dāng)1+a4)+%(44+與4+44。十十%囪&34+44)=%奴恤&+%&

4、amp;+-+%4)+%(知41+知與+%醺)+4(/4+%4+1-+44)這說(shuō)明將（3）代入第雄=12濯）個(gè)方程后，得到了一個(gè)恒等式，所以（3）是（2）的一個(gè)解。其次，設(shè)1L：1人后，得到冊(cè)個(gè)恒等式：1xrx是方程組（2）的一個(gè)解，那么，將胃可I代入（2），的15+鼻口與+鼻仍白=4的Fi+"%=瓦(4)用系數(shù)行列式的第而=L2,總）列的代數(shù)余子式,4）依次去乘（4）中r個(gè)恒等式，得到:知,4?當(dāng)與+=44口削4g+口啟月3步&十'+出密4%=%當(dāng)產(chǎn)社4q*/a4啟+4t4q=將此并個(gè)等式相加，得：14+囪4+/A>i+&A+%色+%4%+（a1H+%

5、4+%4）彳=Mu+&&+44cQ=D*e«=L"、（,>從而有：D。這就是說(shuō)，如果舊，孫，C”是方程組（2）的D6=。=1,2,一個(gè)解，那么一定有D,所以方程組只有一個(gè)解。三、齊次線(xiàn)性方程組在線(xiàn)性方程組中，有一種特殊的線(xiàn)性方程組，即常數(shù)項(xiàng)全為零的方程組，稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。顯然，齊次線(xiàn)性方程組總是有解的，因?yàn)榱?。?,2尊）就是它的解，這個(gè)解稱(chēng)為零解；其他的，即I不全為零的解（如果還有的話(huà)），稱(chēng)為非零解。所以，對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組，需要討論的問(wèn)題，不是有沒(méi)有解，而是有沒(méi)有非零解。這個(gè)問(wèn)題與齊次線(xiàn)性方程組解的個(gè)數(shù)是有密切關(guān)系的。如果一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組只有

6、零解，那么這個(gè)方程組就只有唯一解；反之，如果某個(gè)齊次線(xiàn)性方程組有唯一解，那么由于零解是一個(gè)解，所以這個(gè)方程組不可能有非零解。對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線(xiàn)性方程組，應(yīng)用克萊姆法則，有推論1如果齊次線(xiàn)性方程組711七-*12與+,一+1龍4媒21再+次短/+曰期/=0</十先占+''+葭=°（5）的系數(shù)行列式不等于零，那么（5）只有零解。推論2齊次線(xiàn)性方程組工+鼻口?？?，,.+口以/=0白把金+3地通十一,+0腦/=041勺+4/'+/A=0有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式等于零。四、例子例1解線(xiàn)性方程組十勺-均+xt=-3W一啊+弓+2礴=42

7、金+為+2%-x4=7石+2rs+工4=6解：方程組的系數(shù)行列式:-1122-173Ko所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線(xiàn)性方程組有唯一解。又因41-1-11120212-113-3-114=1412=-26272-11621-3131-11-11&=212102=-13所以這個(gè)線(xiàn)性方程組的唯一解為：例2解線(xiàn)性方程組2/一噸+3/十2元4=6|3xt-3犯+3KM+2%=53金一x3-均+2/=33七一%+3/-4二4解：方程組的系數(shù)行列式：2-1323-3323-1-123-13-1所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線(xiàn)性方程組有唯一解。又因6-14-13232-123-1=70.3-1-16-35-1

8、3-142-1所以這個(gè)線(xiàn)性方和組的唯一解為:01D2141A1DDDD處的例3已知三次曲線(xiàn).義)=%+印+Q/在四個(gè)點(diǎn)m2值分別為：川)=/(T)=/(2)=6J(-2)=-6，試求其系數(shù)/曲用兩。解：將三次曲線(xiàn)在4點(diǎn)處的值代入其方程，得到關(guān)于勺的線(xiàn)性方程組：aa+琪i+tXj+%=6曲十的）十仃式一球十的（-球=6,+的2+句2十色23=6的十的（-2）+q式-2y+鼻式-2），=-丘它的系數(shù)行列式是范德蒙行列式:所以根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)線(xiàn)性方程組有唯一解。又因666-611-1124一24-1=5768-81-2616T=-14468-6-811T124-24-6所以場(chǎng)=8岡=T,電=-2四=1,即所求的三次曲線(xiàn)方程為/=8-1-2/+/。例4如果齊次線(xiàn)性方程組百十萬(wàn)十勺十白仆=o西+2/+鳥(niǎo)+5=0而+逝-3餐+仆=05十+嗎-姐=0有非零解，那么必須滿(mǎn)足什么條件？解：由克萊姆法則知，齊次線(xiàn)性方程組有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式等于零,此有Illa101111D=10-3又由：1°a1a71-a=(0+1了一較a-1b-a,從而樂(lè)方必須滿(mǎn)足的條件為+1)=也注用克萊姆法則求解系數(shù)行列式不等于零的在元非齊次線(xiàn)性方程組