1、優(yōu)化設(shè)計復(fù)習(xí)題()10/165/99/341/2一、單項選擇題(在每小題列出的選項中只有一個選項是符合題目要求的)1 .多元函數(shù)F(X)在點乂附近偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，F(xiàn)'(X*)=0且H(X)正定，則該點為F(X)的()極小值點極大值點鞍點不連續(xù)點2 .F(X)為定義在n維歐氏空間中凸集D上的具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，若H(X)正定，則稱F(X)為定義在凸集D上的()凸函數(shù)凹函數(shù)3 .黃金分割法中，每次縮短后的新區(qū)間長度與原區(qū)間長度的比值始終是一個常數(shù)，此常數(shù)是()0.3820.1860.6180.8164.在單峰搜索區(qū)間X1,X3(X1<X3)內(nèi)，取一點X2,用二次插值法計算得X4(在

2、X1,x3內(nèi))，若X2>X4,并且其函數(shù)值F(X4)<F(X2),則取新區(qū)間為()X1,X4X2,X3X1,X2X4,X35 .用變尺度法求一n元正定二次函數(shù)的極小點，理論上需進(jìn)行一維搜索的次數(shù)最多為()n次2n次n+1次2次6 .下列特性中，梯度法不具有的是()二次收劍性要計算一階偏導(dǎo)數(shù)對初始點的要求不高只利用目標(biāo)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成搜索方向8 .對于極小化F(X),而受限于約束g"(X)W0(科=1,2,m)的優(yōu)化問題，其內(nèi)點罰函數(shù)表達(dá)式為()m(X,r(k)=F(X)-r(k)£1/gu(X)u=1m(X,r(k)=F(X)+r(k11/gu(X)u1m

3、(X,r(k)=F(X)-r(八max0,gu(X)u1m(X,r(k)=F(X)-r(八min0,gu(X)u=19 .外點罰函數(shù)法的罰因子為()遞增負(fù)序列遞減正序列遞增正序列遞減負(fù)序列10 .函數(shù)F(X)為在區(qū)間10,20內(nèi)有極小值的單峰函數(shù)，進(jìn)行一維搜索時，取兩點13和16,若F(13)<F(16),則縮小后的區(qū)間為()10,1610,1313,1616,2011 .多元函數(shù)F(X)在X*處存在極大值的充分必要條件是：*.在X處的Hesse矩陣()等于零大于零負(fù)定正定12 .對于函數(shù)F(x)=x；+2x；,從初始點x(0)=1,1T出發(fā),沿方向s(0)=-1,-2T進(jìn)行一維搜索，最

4、優(yōu)步長因子為13 .目標(biāo)函數(shù)F(x)=x；+x；X1X2,具有等式約束，其等式約束條件為h(x)=xi+X2-1=0,則目標(biāo)函數(shù)的極小值為()10.50.250.114 .優(yōu)化設(shè)計的自由度是指()設(shè)計空間的維數(shù)可選優(yōu)化方法數(shù)所提目標(biāo)函數(shù)數(shù)所提約束條件數(shù)15.在無約束優(yōu)化方法中，只利用目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成的搜索方法是()梯度法Powell法共軻梯度法變尺度法17.利用0.618法在搜索區(qū)間a,b內(nèi)確定兩點a1=0.382,b1=0.618,由此可知區(qū)間a,b的值是()0,0.3820.382,10.618,10,118.已知函數(shù)F(X)=xi2+X22-3xiX2+xi-2x2+1,貝U其Hesse矩

5、陣是()pT？3？11F2132歸2|12(2-319 .對于求minF(X)受約束于g(x)W0(i=1,2,m)的約束優(yōu)化設(shè)計問題，當(dāng)取入，>0時，則約束極值點的庫恩一塔克條件為()7F(X)=£九Vgj(X)，其中入i為拉格朗日乘子i土m-VF(X廣%Vgi(X)，其中入i為拉格朗日乘子i4qVf(X尸工7Hgi(X)，其中入i為拉格朗日乘子，q為該i4設(shè)計點X處的約束面數(shù)q>>_Vf(X尸工，Rgi(X),其中入i為拉格朗日乘子，q為該iz+設(shè)計點X處的約束面數(shù)20 .在共軻梯度法中，新構(gòu)造的共軻方向屋+1)為()S(k+1)=VF(X(k+1)+3(k)S

6、(K),其中3(k)為共軻系數(shù)S(k+1)=VF(X(k+1)-3s其中3(k)為共軻系數(shù) S(i=EF(X(k+1)+3(k)S(K),其中3(k)為共軻系數(shù) S(k+1)=-VF(X(k+1)-3(k)S(K),其中3的為共軻系數(shù)21 .用內(nèi)點罰函數(shù)法求目標(biāo)函數(shù)F(X)=ax+b受約束于g(X)=c-x<0的約束優(yōu)化設(shè)計問題，其懲罰函數(shù)表達(dá)式為()ax+br(k)，r的為遞增正數(shù)序列c-xax+b_r(k)工，")為遞減正數(shù)序列axb1c-xax+b+r的工，r(k)為遞增正數(shù)序列c-xax+b+r(k)，的為遞減正數(shù)序列c-x22 .f(x)在區(qū)間xi,X3上為單峰函數(shù)，

7、X2為區(qū)間中的一點，X4為利用二次插值法求得的近似極值點，若X4-X2V0,且f(X4)>f(X2),則新的搜索區(qū)間為()X1,X4X2,X3X1,X2X4,X323 .已知F(X)=xiX2+2x2+4，則F(X)在點乂0)=1>的最大變化率為()1042匹24 .試判別矩陣j1它是()矩陣單位正定矩負(fù)定不定半正定半負(fù)定25 .約束極值點的庫恩塔克條件為：q阱(X)=£九%(X),當(dāng)約束函數(shù)是gi(X尸0和i=1入i>0時，則q應(yīng)為()等式約束數(shù)目不等式約束數(shù)目起作用的等式約束數(shù)目起作用的不等式約束數(shù)目26 .在圖示極小化的約束優(yōu)化問題中，最優(yōu)點為()ABCD27

8、 .內(nèi)點罰函數(shù)(X,r(k)=F(X)-r(k)f_(g(X)<0)ugu(X),u一在其無約束極值點X(r(k)逼近原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點時，懲罰項中()mr趨向零，手1不趨向零uigu(X)r(k)趨向零，寸1趨向零u±gu(X)mr(k)不趨向零，£一趨向零ugu(X)mr不趨向零，£不趨向零ugu(X)29.0.618法在迭代運(yùn)算的過程中，區(qū)間的縮短率是()不變的任意變化的逐漸變大逐漸變小30.對于目標(biāo)函數(shù)F(X)受約束于gu(X)<0(u=1,2,，m)的最優(yōu)化設(shè)計問題，外點法懲罰函數(shù)的表達(dá)式是()m(k)(k)x.2(k)UX,MFXMma

9、xgu(X),0,Mu1為遞增正數(shù)序列m、(X,M(k)尸F(xiàn)(X)+M(k)工maxgu(X),02,M(k)為遞u-1減正數(shù)序列m(X,M(k)=F(X)+M(k)2mingu(x),02,M(k)為遞u1增正數(shù)序列m代X,M(k)=F(X)+M(k)Emingu(x),02,M(k)為遞u衛(wèi)減正數(shù)序列31 .對于二次函數(shù)F(X)=1XTAX+bx+c,若乂為其駐點，則2F(X*)為()零無窮大正值負(fù)值32 .在約束優(yōu)化方法中，容易處理含等式約束條件的優(yōu)化設(shè)計方法是()可行方向法復(fù)合形法內(nèi)點罰函數(shù)法外點罰函數(shù)法33 .已知F(X)=(x1-2)2+x22,則在點乂0)=101處的梯度為00、

10、F(X(0):04F(X(0)=034 .Powell修正算法是一種(f(x(0)-20一小-4F(X(0)=工：,一維搜索方法處理約束問題的優(yōu)化方法利用梯度的無約束優(yōu)化方法不利用梯度的無約束優(yōu)化方法二、多項選擇題(在每小題列出的多個選項中有兩個以上選項是符合題目要求的，多選、少選、錯選均無分)35 .下列矢量組中，關(guān)于矩陣A=I1-05"1共軻的矢量組90.51是()S1=01,s2=10TS1=-11T,s2=11TS1=10T,s2=12TS1=11T,s2=12T.s尸12T,s2=21T36 .對于只含不等式約束的優(yōu)化設(shè)計問題，可選用的優(yōu)化方法有()Powell法變尺度法內(nèi)

11、點罰函數(shù)法外點罰函數(shù)法E.混合罰函數(shù)法37 .根據(jù)無約束多元函數(shù)極值點的充分條件，已知駐點X,下列判別正確的是()n.5'_z.*_-若Hesse矩陣H(X)正定，則X是極大值點 若Hesse矩陣H(X)正定，則X是極小值點>.*.、一*一.*. 若Hesse矩陣H(X)負(fù)定，則X是極大值點 若Hesse矩陣H(X)負(fù)定，則X是極小值點 若Hesse矩陣H(X)不定，則X是鞍點38.下述Hesse矩陣中，正定矩陣為(313154：3-37245523434222：542_327_39.F(X)在區(qū)間a,b上為單峰函數(shù),區(qū)間內(nèi)函數(shù)情況如圖所示：F艮利用試探法可知縮短后的有極值區(qū)間可

12、以是()a,aia,biai,bia,bbi,b三、簡答題40.在內(nèi)點罰函數(shù)法中，初始罰因子的大小對優(yōu)化計算過程全局最優(yōu)點？57 .什么是復(fù)合形法，有何特點？58 .什么是坐標(biāo)輪換法，有何特點？59 .什么叫區(qū)間消去法原理？它是如何縮短區(qū)間的？60 .什么叫線性收斂？哪些無約束優(yōu)化方法是線性收斂的(最少寫出兩種)？61 .簡述可行方向法中，對于約束優(yōu)化設(shè)計問題：minF(X)(X£R)s.t.gu(X)<0(u=i,2,m)確定適用可行方向S時應(yīng)該滿足的要求。62 .已知目標(biāo)函數(shù)f(X)=xisinx2-4xi,約束條件有iwxi<4,0<x2<5,x2sin

13、x2-xi3=0,試寫出外點形式的罰函數(shù)。63 .什么是牛頓法和阻尼牛頓法，有何特點？64 .優(yōu)化問題一般如何分類？65 .優(yōu)化設(shè)計的步驟一般分為幾個階段？66 .寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義。67 .用梯度法求解目標(biāo)函數(shù)F(X)的極小值，給定迭代的初始點為X°),允許誤差為£i。簡述梯度法的迭代步驟。68 .簡述圖解法的基本步驟。有何影響？四、作圖分析題41 .什么是庫恩-塔克條件？其幾何意義是什么？42 .求解優(yōu)化問題的基本思想和策略是什么？43 .設(shè)計一容積為V的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少。試建立其優(yōu)化設(shè)計的數(shù)

14、學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。44 .某廠生產(chǎn)兩種機(jī)器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺所需鋼材分別為2t和3t,所需工時分別為4千小時和8千小時，而產(chǎn)值分別為4萬元和6萬元。如果每月工廠能獲得原材料為100t,總工時為120千小時。現(xiàn)應(yīng)如何安排兩種機(jī)器的月產(chǎn)臺數(shù)，才能使月產(chǎn)值最高。試寫出這一優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式的數(shù)學(xué)模型。指出這是什么型式的優(yōu)化設(shè)計問題？45 .寫出POWEL方法基本算法的要點。46 .有約束函數(shù)為：gj(x)=HOmaM，試寫出其規(guī)格化處理的表達(dá)式。47 .什么叫二次收斂，哪些優(yōu)化方法是二次收斂的(最少寫出三種)。48 .黃金分割法與二次插值法有何區(qū)別，它們對搜索區(qū)間的函數(shù)各有何要求。4

15、9 .什么叫函數(shù)的梯度，它有何重要特性，其對優(yōu)化方法有何指導(dǎo)意義。什么是最速下降法？有何特點？50.什么叫共軻方向，共軻方向有何特性。51 .寫出無約束極小化算法的粗框圖。52 .什么叫目標(biāo)函數(shù)，什么叫約束條件，什么叫設(shè)計變量,寫出優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)形式。53 .寫出內(nèi)點懲罰函數(shù)法與外點懲罰函數(shù)法的主要區(qū)別。54 .常用的迭代終止準(zhǔn)則有哪些？列出公式。55 .用梯度法求解目標(biāo)函數(shù)F(X)的極小值，給定迭代的初始點為X0),允許誤差為£i。簡述梯度法的迭代步驟。56 .什么叫目標(biāo)函數(shù)的等值線？什么是局部最優(yōu)點？什么是68.對一個約束優(yōu)化問題minf(x)=(xi-2)2+(

16、x2-i)22s.t.gi(x)=xi+x2-4三0g2(x)=-xi_0g3(x)=-x2_0畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線和約束曲線，并回答:(1) x(i)=i,iT是可行點還是不可行點；(2) X二口0T是內(nèi)點還是外點；(3)哪些范圍是可行域(用陰影線畫出)；(4)哪些約束是性能約束，哪些約束是側(cè)面約束;(5)指出無約束最優(yōu)點和約束最優(yōu)點；(6)對約束最優(yōu)點來說，哪些約束是起作用約束？(7)寫出內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰函數(shù)；(8)寫出外點懲罰函數(shù)法的懲罰函數(shù)。(9)此問題是線性規(guī)劃(優(yōu)化)，二次規(guī)劃(優(yōu)化)，還是非線性規(guī)劃(優(yōu)化)的優(yōu)化問題？(i0)可行域是凸集還是非凸集？69.用Powell算法求

17、F(X)=xi2+2x24xi2xix2的極/、點,已知初始點Xi(0)=和第一輪搜索方向Si，S，s(3),試定性地作出第二輪搜索方向。70.優(yōu)化問題：minF(X)=(x1-6)2+(X2-2)2s.t.0.5xi+X2<43x1+X2W9Xi+X2>1x1>0,x2>0圖解求最優(yōu)點和最優(yōu)值。五、計算題71 .用梯度法求下列無約束優(yōu)化問題：MinF(X)=x：+4x22,設(shè)初始點取為X0)=2,2T,以梯度模為終止迭代準(zhǔn)則，其收斂精度為5。72 .現(xiàn)在要用鋼板制作一個有蓋的長方本儲水箱，要求各邊長均不超過20厘米，且長度為寬度的2倍，試確定三邊長度值，使該儲水箱的容

18、積最大，要求其表面積不超過400平方厘米。建立數(shù)學(xué)模型后，用復(fù)合形法迭代3次。73 .設(shè)某無約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是f(x)=x12+2x22,已知初始迭代點XW=1,1T,第一次迭代所取的方向d°=-2,-4T,步長8=01試計算：(1)第一次迭代計算所獲得的迭代點X。(2)計算X°、X處的目標(biāo)函數(shù)值f(X'0)、f(X)。(3)分別用三種迭代終止準(zhǔn)則判斷第一次迭代后能否終止迭代，設(shè)迭代精度s=0.01o74 .求函數(shù)F(X)=(xi-X2)2+(x2-x3)2+f(x3xi)2的Hesse矩陣，并判別其性質(zhì)。75 .用最速下降法對函數(shù)f(x)=x12+2x22進(jìn)

19、行兩次迭代，初始點取X(0)=1,0T。76 .一目標(biāo)函數(shù)f(x)=25xi2+X22-XiX2怎樣尺度變換可使其等值線形態(tài)改善，給優(yōu)化計算帶來方便。22T77 .試求目標(biāo)函數(shù)f(X)-X1x21在點X0=0冏處的最速下降方向。78 .用KKT條件求解有不等式約束的非線性規(guī)劃問題。minf(X)=xi2+6xiX2-4x1-2x2s.t.gi(X)=x12+2x2-1<0g2(X)=X2-x1-1/2479 .求目標(biāo)函數(shù)4322,2f(X)=X12X23X3X1X2,4X2X3X1X3的梯度和Hesse矩陣。六、填空題(請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分)。80 .函數(shù)F(

20、x)=3xf+x2-2X1X2+2在點(1,0)處的梯度為。81 .多元函數(shù)F(x)在點x處的梯度VF(x)=0是極值存在的條件。部分試題參考答案一、單項選擇題1A2A3C4C5A6A78A9C10A11C12B13C14A15B16D17D18A19D20C21B22D23D24E25D26B27A28B29A30A31A32D33D34D二、多項選擇題35.BC36CDE37BCE38ABE39BC三、簡答題40.答：在內(nèi)點罰函數(shù)法中，若初始罰因子選得過小，則迭代點有跑出可行域的危險，使優(yōu)化過程失敗；若初始罰因子選得過大，則導(dǎo)致前幾次的迭代點遠(yuǎn)離約束邊界，使計算效率降低。44.解：這是一個

21、生產(chǎn)計劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項生產(chǎn)條件，又使每月所能獲得的產(chǎn)值達(dá)到最大的優(yōu)化設(shè)計問題。設(shè)每月生產(chǎn)甲機(jī)器X1臺，乙機(jī)器X2臺，則每月獲得的產(chǎn)值為4X1+6X2萬元。每月消耗的鋼材要滿足2x1+3x2100、每月工時要滿足4X1+8X2120。此生產(chǎn)計劃問題數(shù)學(xué)模型為：minf(x1,X2)=-4x1-6x2或f(x1,X2)=1/(4x1+6x2)s.t.g1(x1,X2)=2x1+3x2100<0g2(x1,X2)=4x1+8x2120W0g3(X1,X2)=X1<0g4(X1,X2)=X2<0其中f(x1,X2)為目標(biāo)函數(shù)。由于存在約束，故為有約束的優(yōu)化設(shè)計問題。47 .

22、答：若將某種算法應(yīng)用于任意一個具有正定Hesse矩陣的二次函數(shù)時，都能在有限步內(nèi)達(dá)到極小點，則稱此算法具有二次收斂性(有的文獻(xiàn)也稱有限收斂性)。如牛頓法，POWEL法，共軻方向法等。48 .答：黃金分割法也稱0.618法，是通過對黃金分割點函數(shù)值的計算和比較，將初始區(qū)間逐次進(jìn)行縮小，直到滿足給定的精度要求，即求得一維極小點的近似解。黃金分割法特點是：(1)不必要求f(x)可微，只要利用函數(shù)值大小的比較，即可很快地找到；(2)除了第一次縮小區(qū)間要計算兩個點及其函數(shù)值以外，其余每次只要計算一個點及其函數(shù)值；(3)可靠性好。二次插值法是多項式逼近法的一種，利用目標(biāo)函數(shù)在若干點的信息和函數(shù)值，構(gòu)成一個

23、與目標(biāo)函數(shù)相接近的低次插值多項式，然后求該多項式的最優(yōu)解作為原函數(shù)的近似最優(yōu)解。隨著區(qū)間的逐次縮小，多項式的最優(yōu)點與原函數(shù)最優(yōu)點之間的距離逐漸縮小，直到滿足一定精度要求時終止迭代。二次插值法的特點是：(1)二次插值法只要求f(x)連續(xù)，不要求其一階可微。(2)收斂速度比黃金分割法快，但可靠性不如黃金分割法好，程序也較長。(3)如p(x)的相鄰兩個迭代點重合，則產(chǎn)生死循環(huán)。49 .答：函數(shù)的扁導(dǎo)數(shù)組成的向量稱為梯度，任一點的負(fù)梯度方向是函數(shù)值在該點下降最快的方向。將n維問題轉(zhuǎn)化為一系列沿負(fù)梯度方向用一維搜索方法尋優(yōu)的問題，利用負(fù)梯度作為搜索方向，故稱最速下降法或梯度法。最速下降法的特點(1)初始

24、點可任選，每次迭代計算量小，存儲量少，程序簡短。即使從一個不好的初始點出發(fā)，開始的幾步迭代，目標(biāo)函數(shù)值下降很快，然后慢慢逼近局部極小點。(2)任意相鄰兩點的搜索方向是正交的，它的迭代路徑為繞道逼近極小點。當(dāng)?shù)c接近極小點時，步長變得很小，越走越慢。53.答：內(nèi)點法的特點：1)初始點必須為嚴(yán)格內(nèi)點；2)不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型；3)迭代過程中各個點均為可行設(shè)計方案4)一般收斂較慢；5)初始罰因子要選擇得當(dāng)；6)罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1外點法的特點：1)初始點可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義；2)對等式約束和不等式約束均可適用；3)僅最優(yōu)解為可行設(shè)計方案；4)一般收斂較快；

25、5)初始罰因子要選擇得當(dāng)；6)罰因子為遞增，遞增率c'有c'>156 .答：將目標(biāo)函數(shù)取不同值所畫出的曲線或曲面，稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線或等值面。不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件的函數(shù)形態(tài)不同，極值點分布可能有多個局部極值點(即局部最優(yōu)解)。而全局最優(yōu)解是指這些局部最優(yōu)解中目標(biāo)函數(shù)值最好的一個解，往往只有一個。在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中，目標(biāo)函數(shù)和約束條件一般都是非線性函數(shù)，尋找全局最優(yōu)解有很大困難。目前很多優(yōu)化方法，在理論上可以證明能收斂到局部最優(yōu)解，僅對于特殊的數(shù)學(xué)模型，可以收斂到全局最優(yōu)解。這并不影響優(yōu)化設(shè)計廣泛應(yīng)用，因為人們用常規(guī)設(shè)計方法很難找到一個復(fù)雜

26、問題的局部最優(yōu)解。但是，還是可以通過不同的技巧，找出幾個局部最優(yōu)解，從中選擇目標(biāo)函數(shù)值最好的解。57 .答：復(fù)合形法是一種在可行域內(nèi)收索最優(yōu)點大直接解法。基本思路：在可行域中選取K個設(shè)計點(n+1WKC2n)作為初始復(fù)合形的頂點。比較各頂點目標(biāo)函數(shù)值的大小，去掉目標(biāo)函數(shù)彳1最大的頂點(稱最壞點)，以壞點以外其余各點的中心為映射中心，用壞點的映射點替換該點，構(gòu)成新的復(fù)合形頂點。反復(fù)迭代計算，使復(fù)合形不斷向最優(yōu)點移動和收縮，直至收縮到復(fù)合形的頂點與形心非常接近，且滿足迭代精度要求為止。初始復(fù)合形產(chǎn)生的全部K個頂點必須都在可行域內(nèi)。復(fù)合形法的特點：(1)復(fù)合形法是求解約束非線性最優(yōu)化問題的一種直接方

27、法，僅通過選取各頂點并比較各點處函數(shù)值的大小，就可尋找下一步的探索方向。但復(fù)合形各頂點的選擇和替換，不僅要滿足目標(biāo)函數(shù)值下降的要求，還應(yīng)當(dāng)滿足所有的約束條件。(2)復(fù)合形法適用于僅含不等式約束的問題。58 .答：坐標(biāo)輪換法的基本構(gòu)思是將一個n維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為依次沿n個坐標(biāo)方向反復(fù)進(jìn)行一維搜索問題。這種方法的實質(zhì)是把n維問題的求優(yōu)過程轉(zhuǎn)化為對每個變量逐次進(jìn)行一維求優(yōu)的循環(huán)過程。每次一維搜索時，只允許n個變量的一次改動，其余(n-1)個變量固定不變。故坐標(biāo)輪換法也常稱單變量法或變量交錯法。坐標(biāo)輪換法的特點：(1)計算量少，程序簡單，但計算效率較低，特別在維數(shù)很高時很費(fèi)機(jī)時，僅適用于n較少(n<

28、;10)的目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)。(2)改變初始點重新迭代，可避免出現(xiàn)病態(tài)。61 .答：(1)滿足可行方向的要求gu(X(k)Mk)w0(u=1,2,j<m)j一起作用約束數(shù)(2)滿足適用方向(目標(biāo)函數(shù)值下降)的要求F(X(k)TS(k)<0(3)同時滿足1、2要求的即為適用可行方向。63 .答：采用x(k+1)=x(k)-V2f(x(k)-1Vf(x(k)迭代公式的稱為牛頓法，采用X(k+1)=/)-a(k)V2f(x(k)-1f(X的)迭代公式的稱為阻尼牛頓法。特點：(1)初始點應(yīng)選在X*附近，因為牛頓法具有二階收斂，局部收斂的特點，即初始點應(yīng)選在X*附近。阻尼牛頓法可改善局部收斂性；(

29、2)阻尼牛頓法盡管每次迭代都不會是函數(shù)值上升，但不能保證每次下降，而牛頓法每次迭代可能會是函數(shù)值上升；(3)若迭代點的海賽矩陣為奇異，則無法求逆矩陣，不能構(gòu)造牛頓法方向。(4)不僅要計算梯度，還要求海賽矩陣及其逆矩陣，計算量和存儲量大。此外，對于二階不可微的F(X)也不適用。64 .答：可有不同的分類方法：(1)按有無約束分：無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題。(2)按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量和帶參變量。(3)按問題的物理結(jié)構(gòu)分：優(yōu)化控制問題和非優(yōu)化控制問題。(4)按模型所包含方程式的特性分：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和幾何規(guī)劃等。(5)按變量的確定性性質(zhì)分：確定性規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。

30、65 .答：優(yōu)化設(shè)計的步驟從設(shè)計方法來看，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計和傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計方法有本質(zhì)的差別。一般將其分為以下幾個階段：(1)根據(jù)機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計要求，確定優(yōu)化范圍針對不同的機(jī)械產(chǎn)品，歸納設(shè)計經(jīng)驗，參照已積累的資料和數(shù)據(jù)，分析產(chǎn)品性能和要求，確定優(yōu)化設(shè)計的范圍和規(guī)模。因為產(chǎn)品的局部優(yōu)化(如零部件)與整機(jī)優(yōu)化(如整個產(chǎn)品)無論從數(shù)學(xué)模型還是優(yōu)化方法上都相差甚遠(yuǎn)。(2)分析優(yōu)化對象，準(zhǔn)備各種技術(shù)資料進(jìn)一步分析優(yōu)化范圍內(nèi)的具體設(shè)計對象，重新審核傳統(tǒng)的設(shè)計方法和計算公式能否準(zhǔn)確描述設(shè)計對象的客觀性質(zhì)與規(guī)律、是否需進(jìn)一步改進(jìn)完善。必要的話，應(yīng)研究手工計算時忽略的各種因素和簡化過的數(shù)學(xué)模型，分析它們對設(shè)計對象的影

31、響程度，重新決定取舍，并為建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)備好各種所需的數(shù)表、曲線等技術(shù)資料，進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)處理，如統(tǒng)計分析、曲線擬合等，為下一步的工作打下基礎(chǔ)。(3)建立合理而實用的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型描述工程問題的本質(zhì)，反映所要求的設(shè)計內(nèi)容。它是一種完全舍棄事物的外在形象和物理內(nèi)容，但包含該事物性能、參數(shù)關(guān)系、破壞形式、結(jié)構(gòu)幾何要求等本質(zhì)內(nèi)容的抽象模型。建立合理、有效、實用的數(shù)學(xué)模型是實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計的根本保證。(4)選擇合適的優(yōu)化方法各種優(yōu)化方法都有其特點和適用范圍，選取的方法應(yīng)適合設(shè)計對象的數(shù)學(xué)模型，解題成功率高，易于達(dá)到規(guī)定的精度要求，占用機(jī)時少，人工準(zhǔn)備工作量小，即滿足可靠性和有效性好的選取條件

32、。(5)選用或編制優(yōu)化設(shè)計程序根據(jù)所選擇的優(yōu)化方法選用現(xiàn)成優(yōu)化程序或用算法語言自行編制程序。準(zhǔn)備好程序運(yùn)行時需要輸入的數(shù)據(jù)，并在輸入時嚴(yán)格遵守格式要求、認(rèn)真檢查核對。(6)計算機(jī)求解，優(yōu)選設(shè)計方案。(7)分析評價優(yōu)化結(jié)果這是一項非常重要、不容忽視的工作。采用優(yōu)化設(shè)計這種現(xiàn)代化的設(shè)計方法，目的就是要提高設(shè)計質(zhì)量，使設(shè)計達(dá)到最優(yōu)，若不認(rèn)真分析評價優(yōu)化結(jié)果，則使得整個工作失去意義，前功盡棄。在分析評價之后，或許需要重新選擇設(shè)計方案，甚至需要重新修正數(shù)學(xué)模型，以便產(chǎn)生最終有效的優(yōu)化結(jié)果。67.答：梯度法的迭代步驟如下：(1)給定初始點X。和收斂精度£,置k=0。(2) 計算梯度，并構(gòu)造搜索方

33、向S(k)=-Vf(X(k)(3) 一維搜索，求新的迭代點minf(X(k)+akS(k)X(k+1)=X(k)+akS(k)(4) 收斂判斷：若滿足IIf(X(k)II<£則令最優(yōu)解為X*=Xk+1),f(X*)=f(X(k+1),終止計算；否則，令k=k+1,轉(zhuǎn)(2)繼續(xù)迭代。四、作圖題68.答：目標(biāo)函數(shù)的等值線和約束曲線見圖(1)X=1,1T是可行點；(2)X=3,2,是外點；(3)可行域為圖中的陰影線圍住的區(qū)域，見圖；(4)g1(x)是性能約束，g2(x),g2(x)是側(cè)面約束；(9)非線性規(guī)劃(優(yōu)化)的優(yōu)化問題(10)可行域是凸集。五、計算題71.解：(1)求初始點梯

34、度F(X)VF(X)=2xi,8x2TVF(X(0)=4,16T(2)第一次搜索|F(X(0)|=16.5,S(0)=-F(X(0)/16.5=-0.243,0.97t”=2.157X=X0)+a(0)S0)=1.476,-0.923TF(x(1)=2.952,-0.738T|F(x(1)|=3.043<5.0故滿足要求，停止迭代。最優(yōu)點乂=1.476,-0.0923T一一，一*最優(yōu)值F(X)=2.2172.解：(1)建立數(shù)學(xué)模型取儲水箱長和高為設(shè)計變量xi,X2,則其寬0.5xi,數(shù)學(xué)模型為2minf(x)=0.5xiX22s.t.g1(x)=xi+3xiX2400<0g2(x)

35、=Xi<0g3(X)=X2<0g4(x)=Xi20<0g5(x)=X220W0(2)用復(fù)合形法求解求得的近似結(jié)果為X=xi,X2t=11.5.7.7tF(X*)=50973.解：(1) 第一次迭代沿d0)=-2,-4T方向搜索。獲得的迭代點XX=X(0)+o(S=+0.12=留jjI-4。.6(2) f(X0)=1+2=3f(X(1)=0.82+2X0.62=1.36(3)1 .梯度準(zhǔn)則IIf(X(k)II<s寸f(X(1)=f.61則口f(X(k)II2.4(5)無約束最優(yōu)點是：2,1T;約束最優(yōu)點是：2,1T(6)都是不起作用約束(7)內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰函數(shù)為：4

36、(X,r(k)JXi-2)2十Xz-1)2-r(k)十工十工或x1x2-4-Xi-X2(X,產(chǎn))=(Xi-2)2十X2-1)2t3ln-(xih22-4)+n(x1)+ln(x2)且懲罰因子r'k)按一個遞減的正數(shù)序列r>r(1)>r(2)>->r(k)>r(k+1)>->0變化(8)外點懲罰函數(shù)法的懲罰函數(shù)為：=1.622.42=2.884.0.01所以第一次迭代后不能終止迭代。2 .點距準(zhǔn)則|X(k+1)-X(k)|<£一、，(k+1)(k)一_2_：_2_|X-X|=(0.8-1)2(1-0.6)2=0.4470.01所以第一次迭代后不能終止迭代。3 .目標(biāo)函數(shù)下降量準(zhǔn)則f(X"+)-f(X<,/、Jk)、一1.36-31.36=1.2060.01中(X,r(k')=f(X)十(kmaXx1包2？/。)2ax(-x1,0)2-+max(-x2,0)2且懲罰因子按一個遞增的正數(shù)序列0vr(0)vr(1