1、二次函數的圖象與性質【課時安排】5 課時【第一課時】【教學目標】(一)知識與技能：1 .會用描點法畫函數y=ax2(a>0)的圖象，并根據圖象認識、理解和掌握其性質。2 .體會數形結合的轉化，能用y=ax2(a>0)的圖象和性質解決簡單的實際問題。(二)過程與方法：經歷探索二次函數y=ax2(a>0)圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數的經驗，培養觀察、思考、歸納的良好思維習慣。(三)情感態度：3 過動手畫圖，同學之間交流討論，達到對二次函數y=ax2(a>0)圖象和性質的真正理解，從而產生對數學的興趣，調動學生的積極性?！窘虒W重點】1.會畫y=ax2(a>

2、;0)的圖象。2理解，掌握圖象的性質。【教學難點】二次函數圖象及性質探究過程和方法的體會?！窘虒W過程】一、情境導入，初步認識：問題1：請同學們回憶一下一次函數的圖象、反比例函數的圖象的特征是什么？二次函數圖象是什么形狀呢？問題2：如何用描點法畫一個函數圖象呢？二、思考探究，獲取新知：探究1:畫二次函數y=ax2(a>0)的圖象。1 .要求同學們人人動手，按”列表、描點、連線”的步驟畫圖 y=x2的圖象，同學們畫好后相互交流、展示，表揚畫得比較規范的同學。2 .從列表和描點中，體會圖象關于 y軸對稱的特征。3 .強調畫拋物線的三個誤區。誤區一：用直線連結，而非光滑的曲線連結，不符合函數的變

3、化規律和發展趨勢。就是y=x2的圖象的錯誤畫法-2 -1 O I 2 x -2-1 0 2-2-1012 方誤區二：并非對稱點，存在漏點現象，導致拋物線變形。如圖(2)就是漏掉點(0, 0)的y=x2的圖象的錯誤畫法。誤區三：忽視自變量的取值范圍，拋物線要求用平滑曲線連點的同時， 還需要向兩旁無限 延伸，而并非到某些點停止。如圖(3)就是到點(-2, 4), (2, 4)停住的y=x2圖象的錯誤畫法。1 2探九2: y=ax2(a>0)圖象的性質在同一坐標系中，回出 y=x2, y=3x , y=2x2的圖象。要求同學們獨立完成圖象，教師幫助引導，強調畫圖時注意每一個函數圖象的對稱性。動

4、腦筋觀察上述圖象的特征(共同點)，從而歸納二次函數y=ax2(a>0)的圖象和性質。教師引導學生觀察圖象，從開口方向，對稱軸，頂點， y隨x的增大時的變化情況等幾個 方面讓學生歸納，教師整理講評、強調。y=ax2(a>0)圖象的性質：1 .圖象開口向上。2 .對稱軸是y軸，頂點是坐標原點，函數有最低點。3 .當x>0時，y隨x的增大而增大，簡稱右升；當x<0時，y隨x的增大而減小，簡稱左 降。三、典例精析，掌握新知：例已知函數是關于x的二次函數。1 .求k的值。2 . k為何值時，拋物線有最低點，最低點是什么？在此前提下，當x在哪個范圍內取值時，y隨x的增大而增大？分析

5、：此題是考查二次函數y=ax2的定義、圖象與性質的，由二次函數定義列出關于k的方程，進而求出k的值，然后根據k+2>0,求出k的取值范圍，最后由y隨x的增大而增大，求出x的取值范圍k 2=0 ,2解：1.由已知得1k +k-4=2,解得k=2或k=-3。2k2 * _4所以當k=2或k=-3時，函數y = (k+2)x是關于x的二次函數。2.若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，所以 k+2>0。由1知k=2,最低點是(0, 0),當x書時，y隨x的增大而增大。四、運用新知，深化理解：1,下列函數中，當x>0時，y值隨x值增大而減小的是()3、， 一 1A. y=x2 B. y

6、=x-1 C.y=x D. y=2.已知點(-1, y1), (2, y2), (-3, y3)都在函數y=x2的圖象上，則()A. y1<y2<y3B, y1<y3<y2 C, y3<y2<y1D, y2<y1<y313 .拋物線y= x2呼口向,頂點坐標為,對稱軸為 當 x=-2 時，y=; 當 y=3 時，x=, 當 x0 時，y 隨 x 的增大而 當x>0時，y隨x的增大而。4 .如圖，拋物線y=ax2上的點B, C與x軸上的點A (-5, 0), D (3, 0)構成平行四邊 形ABCD, BC與y軸交于點E (0, 6),求常數

7、a的值。五、師生互動，課堂小結：(一)師生共同回顧二次函數y=ax2(a>0)圖象的畫法及其性質。(二)通過這節課的學習，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流?！窘虒W反思】本節課是從學生畫y=x2的圖象，從而掌握二次函數 y=ax2(a>0)圖象的畫法，再由圖象觀 察、探究二次函數y=ax2(a>0)的性質，培養學生動手、動腦、探究歸納問題的能力。【第二課時】【教學目標】(一)知識與技能:1 .會用描點法畫函數y=ax2(a<0)的圖象，并根據圖象認識、理解和掌握其性質。2 .體會數形結合的轉化，能用y=ax2(a<0)的圖象與性質解決簡單的實際問題。(

8、二)過程與方法：經歷探索二次函數y=ax2(a<0)圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數的經驗， 培養觀察、思考、歸納的良好思維習慣。(三)情感態度：通過動手畫圖，同學之間交流討論， 達到對二次函數y=ax2(aw 0)圖象和性質的真正理解, 從而產生對數學的興趣，調動學習的積極性。【教學重點】1 .會畫y=ax2(a<0)的圖象;2 .理解掌握圖象的性質。【教學難點】二次函數圖象的性質及其探究過程和方法的體會。【教學過程】、情境導入，初步認識111 .在坐標系中畫出y二-產的圖象，結合y = T?的圖象，談談二次函數y=ax2(a>0)的圖象乙2具有哪些性質？2 .

9、你能畫出的圖象嗎？二、思考探究，獲取新知探究1:畫y=ax2(a<0)的圖象請同學們在上述坐標系中用“列表、描點、連線”的方法畫1出y =的圖象。教師要求學生獨立完成，強調畫圖過程中應注意的問題，同學們完成后相互交流，表揚圖象畫得“美觀”的同學。、 一一一1 2-1.一問：從所回出的圖象進行觀察，y二-與丫 = -、2有何關系？丁 22“ 1 - 1歸納：y=1與y = -，x二者圖象形狀完全相同，只是開口方向不同，兩圖象關于 y軸對稱。(教師引導學生從理 論上進行證明這一結論。)1探九2： 一次函數y=ax2(a<0)性質問：你能結合y= -x2的圖象，歸納出y=ax2(a<

10、;0)圖象 2的性質嗎？教師提示應從開口方向，對稱軸，頂點位置，y隨x的增大時的變化情況幾個方面歸納，教師整理，強調y=ax2(a<0)圖象的性質。1 .開口向下。2 .對稱軸是y軸，頂點是坐標原點，函數有最高點。3.當x>0時，y隨x的增大而減小，簡稱右降，當x<0時，y隨x的增大而增大，簡稱左 升。探究3:二次函數y=ax2(aw 0)的圖象及性質：學生回答：一般地，拋物線 y=ax2的對稱軸是 ,頂點是,當a>0時拋物線的開口 向,頂點是拋物線的最 點，a越大，拋物線開口越 ;當a<0時，拋物線 的開口向,頂點是拋物線的最 點，a越大，拋物線開口越，總之，|

11、a越大, 拋物線開口越。三、典例精析，掌握新知：例1：函數y=(-應x)2的圖象是,頂點坐標是,對稱軸是,開口方向是 0解：拋物線，(0, 0), y軸，向上；例2:函數y=x2, y=1x2和y=-2x2的圖象如圖所示：2請指出三條拋物線的解析式。解：2根據拋物線y=ax2中，a的值的作用來判斷，上面最外面的拋物線為 y=-x2,中間2為y=x2,在x軸下方的為y=-2x2o解析式需化為一般式，再根據圖象特征解答，避免發生錯誤。拋物線y=ax2中，當a>0時, 開口向上；當a<0時，開口向下，|a越大，開口越小。例3:已知拋物線y=ax2經過點(1,-1),求y=-4時x的值。分

12、析：把點(1, -1)的坐標代入y=ax2,求得a的值，得到二次函數的表達式，再把 y=-4 代入已求得的表達式中，即可求得 x的值。解：;點(1,-1)在拋物線 y=ax2上，-1=a T2,. a=-1, 拋物線為 y=-x2。當 y=-4 時,有-4=-x2,x= ± 2。在求y=ax2的解析式時，往往只須一個條件代入即可求出a值。四、運用新知，深化理解。1 .下列關于拋物線y=x2和y=-x2的說法，錯誤的是(A.拋物線y=x2和y=-x2有共同的頂點和對稱軸B.拋物線y=x2和y=-x2關于x軸對稱C.拋物線y=x2和y=-x2的開口方向相反,當x<0時，y隨x的增大

13、而減小，則m=3.二次函數m2 2m -6D.點(-2, 4)在拋物線y=x2上，也在拋物線y=-x2上y = (m _ 1)x4 .已知點 A (-1, y), B(1, y2), C(a, y3)都在函數 y=x2的圖象上，且 a>1,則 y1, y2, y3中最大的是。5 .已知函數y=ax2經過點(1, 2)。(1)求a的值;(2)當x<0時，y的值隨x值的增大而變化的情況。五、師生互動，課堂小結。這節課你學到了什么，還有哪些疑惑？【教學反思】本節課仍然是從學生畫圖象，結合上節課 y=ax2(a>0)的圖象和性質，從而得出y=ax2(a<0) 的圖象和性質，進而

14、得出y=ax2 (aw0)的圖象和性質，培養學生動手、動腦、合作探究的學習習慣。【第三課時】【教學目標】（一）知識與技能：1,能夠畫出y=a（x-h）2的圖象，并能夠理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a, h對二次函 數圖象的影響。2.能正確說出y=a（x-h）2的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標。（二）過程與方法：經歷探索二次函數y=a（x-h）2的圖象的作法和性質的過程，進一步領會數形結合的思想。（三）情感態度：1 .在小組活動中體會合作與交流的重要性。2 .進一步豐富數學學習的成功體驗，認識到數學是解決實際問題的重要工具，初步形成 積極參與數學活動的意識?！窘虒W重點】掌握y=a（x-h

15、）2的圖象及性質?！窘虒W難點】理解丫=2僅?。?與y=ax2圖象之間的位置關系，理解 a, h對二次函數圖象的影響?！窘虒W過程】、情境導入，初步認識：（一）在同一坐標系中畫出y=1 x2與y=1 （x-1）2的圖象，完成下表。221 2)-1 y開口方向向上向1.頂點坐標（1 ,。）對稱軸丁軸A = 1（二）二次函數y=- （x-1）2的圖象與y=1x2的圖象有什么關系？ 22（三）對于二次函數-（x-1）2,當x取何值時，y的值隨x值的增大而增大？當x取何值時,2y的值隨x值的增大而減小?、思考探究，獲取新知：歸納二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質并完成下表。拋物線（八y （罌-A）2

16、（口頂點里標(機。)對林軸宜線JF =、宜線 /=九位置在蘇軸的上方 (除頂點外)在善軸的解方 (除頂點外)開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側4 隨著方的增大而 減??；在對稱軸在對稱軸的左側4 隨著手的增大而 增大；在對稱軸的右側隨3的增大而增大的右側J隨著靄的 增大而減小最值當-V =卜時,最小值為 。當#二h 時.最 大值為。開口大小Ml越大,開口越小三、典例精析，掌握新知：二次函數y=ax2與y=a(x-h)2是有關系的，即左、右平移時“左加右減”。例如y=ax2向左 平移1個單位得到y=a(x+1)2, y=ax2向右平移2個單位得到y=a(x-2)2的圖象。例：已知直線y=x+1與

17、x軸交于點A,拋物線y=-2x2平移后的頂點與點A重合。1 .水平移后的拋物線l的解析式；2 .若點B (xi, yi), C(x2, y2)在拋物線l上，且<x1<x2,試比較yi, y2的大小。2解：1. . y=x+1 , . .令y=0,則x=-1,A (-1, 0),即拋物線l的頂點坐標為(-1, 0), 又;拋物線l是由拋物線y=-2x2平移得到的，拋物線l的解析式為y=-2(x+1)2。3 .由1可知，拋物線l的對稱軸為x=-1 , a=-2<0, .當x>-1時，y隨x的增大而減小，又1<x1<x2,y1>y2o二次函數的增減性以對稱軸

18、為分界，畫圖象取點時以頂點為分界對稱取點 四、運用新知，深化理解:1 .二次函數y=15(x-1)2的最小值是()A. -1 B. 1 C. 0 D.沒有最小值2 .拋物線y=-3(x+1)2不經過的象限是()A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限3 .在反比例函數y=K中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數y=k(x-1)2的圖象 x1y=-(x+1)2;拋物線 向右平移2個單位得拋物線y=-2(x-2) 25 .已知拋物線y=a(x-h)2的對稱軸為x=-2,且過點(1,-3)(1)求拋物線的解析式；(2)畫出函數的大致圖象；(3) .從圖象上

19、觀察，當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，函數有最大 值(或最小值)？ 五、師生互動，課堂小結：這節課你學到了什么？還有哪些疑惑?【教學反思】通過本節學習使學生認識到y=a(x-h)2的圖象是由y=ax2的圖象左右平移得到的，初步認識 到a, h對y=a(x-h)2位置的影響，a的符號決定拋物線方向，|a決定拋物線開口的大小，h決定 向左右平移；從中領會數形結合的數學思想。【第四課時】【教學目標】(一)知識與技能：1 .會用描點法畫二次函數y=a(x-h)2+k的圖象。掌握y=a(x-h)2+k的圖象和性質。2 .掌握y=a(x-h)2+k與y=ax2的圖象的位置關系。3 .理解y

20、=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax2+k及y=ax2的圖象之間的平移轉化。(二)過程與方法：經歷探索二次函數y=a(x-h)2+k的圖象的作法和性質的過程，進一步領會數形結合的思想， 培養觀察、分析、總結的能力。(三)情感態度：4 .在小組活動中進一步體會合作與交流的重要性。5 .體驗數學活動中充滿著探索性，感受通過認識觀察，歸納，類比可以獲得數學猜想的 樂趣。【教學重點】二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質。【教學難點】由二次函數y=a(x-h)2+k的圖象的軸對稱性列表、描點、連線?！窘虒W過程】一、情境導入，初步認識：復習回顧：同學們回顧一下：(一)y=ax2,

21、y=a(x-h)2, (aw0)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標，y隨x的增減性 分別是什么？(二)如何由y=ax2(aw0)的圖象平移得到y=a(x-h)2的圖象？(三)猜想二次函數y=a(x-h)2+k的圖象開口方向、對稱軸、頂點坐標及y隨x的增減性如何？二、思考探究，獲取新知：探究1: y=a(x-h)2+k的圖象和性質(一)由老師提示列表，根據拋物線的軸對稱性觀察圖象回答下列問題：1 . y=- (x+1)2-1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標及 y隨x的增減性如何？22 .將拋物線y=-1x2向左平移1個單位，再向下平移1個單位得拋物線y=- (x+1)2-1。22(二)同學們討論

22、回答：1 . 一般地，當h>0, k>0時，把拋物線y=ax2向右平移h個單位，再向上平移k個單位得 拋物線y=a(x-h)2+k；平移的方向和距離由h, k的值來決定。2 .拋物線y=a(x-h)2+k的開口方向、對稱軸、頂點坐標及 y隨x的增減性如何？探究2:二次函數y=a(x-h)2+k的應用：二次函數y=a(x-h)2+k的圖象是,對稱軸是,頂點坐標是,當a>0時，開口 向,當a<0時，開口向。答案：拋物線，直線x=h, (h, k),上，下。三、典例精析，掌握新知：例1:已知拋物線y=a(x-h)2+k,將它沿x軸向右平移3個單位后，又沿y軸向下平移2 個單位

23、，得到拋物線的解析式為 y=-3(x+1)2-4,求原拋物線的解析式?！痉治觥科揭七^程中，前后拋物線的形狀，大小不變，所以a=-3,平移時應抓住頂點的變化，根據平移規律可求出原拋物線頂點，從而得到原拋物線的解析式。解：拋物線y=-3(x+1)2-4的頂點坐標為(-1,-4),它是由原拋物線向右平移3個單位，向 下平移2個單位而得到的，所以把現在的頂點向相反方向移動就得到原拋物線頂點坐標為 (-4, -2)。故原拋物線的解析式為y=-3(x+4)2-20拋物線平移不改變形狀及大小，所以 a值不變，平移時抓住關鍵點：頂點的變化。例2:如圖是某次運動會開幕式點燃火炬時的示意圖，發射臺 OA的高度為2

24、m,火炬的 高度為12m,距發射臺OA的水平距離為20m,在A處的發射裝置向目標C發射一個火球點 燃火炬，該火球運行的軌跡為拋物線形，當火球運動到距地面最大高度20m時，相應的水平距離為12m。請你判斷該火球能否點燃目標 C?并說明理由?！痉治觥拷⑦m當直角坐標系，構建二次函數解析式，然后分析判斷。解：該火球能點燃目標。如圖，以 OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立直角坐 標系，則點(12, 20)為拋物線頂點，設解析式為 y=a(x-12)2+20,二點(0, 2)在圖象上， 144a+20=2, .a=-l , ./=(x-12)2+20.當 x=20 時，y=- X (20-12)

25、2+20=12,即拋物線過 888點(20, 12), 該火球能點燃目標。二次函數y=a(x-h)2+k的應用關鍵是構造出二次函數模型。四、運用新知，深化理解：1.若拋物線y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,則必須()A.先向左平移4個單位，再向下平移1個單位B.先向右平移4個單位，再向上平移1個單位C.先向左平移1個單位，再向下平移4個單位D.先向右平移1個單位，再向上平移4個單位2.拋物線y=x2-4與x軸交于B, C兩點，頂點為A,則4ABC的周長為(A. 4日B. 4占+4C. 12 D. 25+43.函數y=ax2-a與y=ax-a(aw 0)在同一坐標系中的圖象可能是()

26、ABC'D4 .二次函數y=-2x2+6的圖象的對稱軸是 ,頂點坐標是,當X=時, y隨x的增大而增大。5 .已知函數y=ax2+c的圖象與函數y=-3x2-2的圖象關于x軸對稱，則a=,C=o6 .把拋物線y=(x-1)2沿y軸向上或向下平移，所得拋物線經過 Q (3, 0),求平移后拋物 線的解析式。五、師生互動，課堂小結：這節課你學到了什么，還有哪些疑惑？【教學反思】掌握函數y=ax2, y=a(x-h)2, y=a(x-h)2+k圖象的變化關系，從而體會由簡單到復雜的認識 規律?！镜谖逭n時】【教學目標】(一)知識與技能：1 .會用描點法畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象。2

27、.會用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、開口方向、對稱軸、y隨x的增減性。3 .能通過配方求出二次函數 y=ax2+bx+c(aW0)的最大或最小值；能利用二次函數的性質 求實際問題中的最大值或最小值。(二)過程與方法：1 .經歷探索二次函數y=ax2+bx+c(aw0)的圖象的作法和性質的過程，體會建立二次函數 y=ax2+bx+c(a w 0)對稱軸和頂點坐標公式的必要性。2 .在學習y=ax2+bx+c(aw0)的性質的過程中，滲透轉化(化歸)的思想。(三)情感態度：進一步體會由特殊到一般的化歸思想，形成積極參與數學活動的意識。【教學重點】1用配方法求y=ax2+bx+c 的

28、頂點坐標；2會用描點法畫y=ax2+bx+c 的圖象并能說出圖象的性質?！窘虒W難點】能利用二次函數y=ax2+bx+c(aw0)的對稱軸和頂點坐標公式，解決一些問題，能通過對稱 性畫出二次函數 y=ax2+bx+c(aw 0)的圖象。【教學過程】一、情境導入，初步認識：請同學們完成下列問題。1把二次函數y=-2x2+6x-1 化成 y=a(x-h)2+k 的形式。2寫出二次函數y=-2x2+6x-1 的開口方向，對稱軸及頂點坐標。3畫y=-2x2+6x-1 的圖象。4.拋物線y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的圖象。5二次函數y=-2x2+6x-1 的 y 隨 x 的增減性如何？上

29、述問題教師應放手引導學生逐一完成，從而領會y=ax2+bx+c 與 y=a(x-h)2+k 的轉化過程。二、思考探究，獲取新知：探究 1：如何畫y=ax2+bx+c 圖象，你可以歸納為哪幾步？學生回答、教師點評：一般分為三步：1先用配方法求出y=ax2+bx+c 的對稱軸和頂點坐標。2列表，描點，連線畫出對稱軸右邊的部分圖象。4利用對稱點，畫出對稱軸左邊的部分圖象。探究2:二次函數y=ax2+bx+c圖象的性質有哪些？你能試著歸納嗎？學生回答，教師點評：22拋物線 y=ax2+bx+c=a(x +)2 + aC-,對稱軸為 x=，頂點坐標為(,aC-),2a 4a2a2a 4a當a>0時，若x>-,y隨x增大而增大，若x<-：- ,y隨x的增大而減小；當a<0時，若x>-b-,y隨x的增大而減小，若x<- , y隨x的增大而增大。2a探究3:二次函數y=ax2+bx+c在什么情況下有最大值，什么情況下有最小值，如何確定？學生回答，教師點評。三、典例精析，掌握新知：例1:將下列二次函數寫成頂點式 y=a(x-h)2+k的形式，并寫出其開口方向，頂點坐標， 對稱軸。1. y=-x2-3x+212, y=-3x2-18x-2241解：1. y=-x2-3x+2141 =1 (x2-12x)+2141 =-(x2-12x+3