1、2. 3數學歸納法 課前預習學案一、預習目標： 理解數學歸納法原理及其本質，掌握它的基本步驟與方法能較好地理解“歸納奠基”和“歸納遞推”兩者缺一不可。二、預習內容：提出問題：問題1：前面學習歸納推理時，我們有一個問題沒有徹底解決即對于數列，已知 ，( n=1,2,3)，通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想出其通項公式，但卻沒有進一步的檢驗和證明問題2：大家玩過多米諾骨牌游戲嗎？這個游戲有怎樣的規劃？(多媒體演示多米諾骨牌游戲)這是一個碼放骨牌游戲，碼放時保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下只要推倒第一塊骨牌，就必然導致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就必

2、然導致第三塊骨牌倒下最后，不論有多少塊骨牌都能全部倒下討論問題：問題1、問題2有什么共同的特征？其結論成立的條件的共同特征是什么結論成立的條件：結論對第一個值成立；結論對前一個值成立，則對緊接著的下一個值也成立上面兩個條件分別起怎樣的作用？它們之間有怎樣的關系？我們能否去掉其中的一個？你能舉反例說明嗎？在上述兩個條件中，第一個條件是歸納遞推的前提和基礎，沒有它，后面的遞推將無從談起；第二個步驟是核心和關鍵，是實現無限問題向有限問題轉化的橋梁與紐帶如在前面的問題1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似簡單，但卻是不可缺少的而第二步顯然更加不可缺少這一點在多米諾骨牌游戲中也可清楚

3、地看出解決問題：由上，證明一個與自然數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)證明當n取第一個值()時命題成立；(2)假設n=k(k,)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立由以上兩個步驟，可以斷定命題對從開始的所有正整數n都成立這種證明方法叫做數學歸納法，它是證明與正整數n(n取無限多個值)有關、具有內在遞推關系的數學命題的重要工具三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容 課內探究學案一、 學習目標（1）了解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一定正確。（2）初步理解數學歸納法原理。（3）理解和記住用數學歸納法證明數學命題的兩個步驟。（4）初步

4、會用數學歸納法證明一些簡單的與正整數有關的恒等式。二、學習過程：例1、證明等差數列通項公式：解析：（1）讓學生理解數學歸納法的嚴密性和合理性；（2）掌握從到時等式左邊的變化情況。證明：(1) 當n1時等式成立； (2) 假設當nk時等式成立, 即, 則=, 即nk1時等式也成立由 （1）、（2）可知， 等差數列的通項公式對任何n都成立點評：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。變式訓練1 .在數列中, 1, (n), 先計算，的值，再推測通項的公式, 最后證明你的結論例2、 用數學歸納法證明()解析：（1）進一步讓學生理解數學

5、歸納法的嚴密性和合理性，從而從感性認識上升為理性認識；（2）掌握從到時等式左邊的變化情況，合理的進行添項、拆項合并項等。證明：（1）時：左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立。   當時等式也成立。  由 （1）、（2）可知，對一切 ，原等式均成立點評：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。變式訓練2：用數學歸納法證明：135（2n1）反思總結：1歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數學歸納法進行嚴格證明；2數學歸納法

6、作為一種證明方法，用于證明一些與正整數有關數學命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最后還有結論，缺一不可；3遞推歸納時從到，必須用到歸納假設，并進行適當的恒等變換。注意明等式時第一步中時左右兩邊的形式，第二步中時應增加的式子；第二步中證明命題成立是全局的主體，主要注意兩個“湊”：一是“湊”時的形式（這樣才好利用歸納假設），二是“湊”目標式。當堂檢測：1觀察式子：，則可歸納出式子為（）答案：2用數學歸納法證明：首項是，公比是q的等比數列的通項公式是，前n項和公式是課后練習與提高一、選擇題1用數學歸納法證明過程中，由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊增加的項為 （ ） A. B. C. D. 2凸n邊形有f(n)條對角線，凸n+1邊形對角線的條數f(n+1)為 （ ）A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-23用數學歸納法證明不等式 的過程中，由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊 （ ） A.增加了一項 B.增加了一項C.增加了“”，又減少了“”D.增加了“ ”，又減少了“”二、填空題4已知數列，計算得，由此可猜測_5若f(k)=則= + _三、解答題6由下列不等式：，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明參考答案：1. C 2