1、數(shù)列單元易錯(cuò)題分析1、如何判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列？等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式如何推導(dǎo)？2、解決等差（等比）數(shù)列計(jì)算問題通常的方法有哪兩種？ 基本量方法：抓住及方程思想；利用等差（等比）數(shù)列性質(zhì)）.問題：在等差數(shù)列中，其前，的最小值； 3、解決一些等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題，你注意到要對(duì)公比及兩種情況進(jìn)行討論了嗎？4、在“已知，求”的問題中,你在利用公式時(shí)注意到了嗎？(時(shí)，應(yīng)有)5、解決遞推數(shù)列問題通常有哪兩種處理方法？（猜證法；轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列問題） 問題：已知: 6、你知道存在的條件嗎？（,你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎？你知道無窮數(shù)列的前項(xiàng)和與所有項(xiàng)的和的不同嗎？什么樣的

2、無窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和必定存在？7、數(shù)列的求和問題你能夠找到一些辦法嗎?(倒序相加法、錯(cuò)位相減法、拆項(xiàng)裂項(xiàng)法)例題選講1、不能正確地運(yùn)用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系解題：例1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式an：（1）Sn5n23n；（2）Sn2； 【錯(cuò)解】由公式an=snsn1得：（1）an=10n2; （2）【分析】應(yīng)該先求出a1，再利用公式an=snsn1求解.【正解】（1）an=10n2; （2）2、忽視等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的使用條件：例2、求和：(a1)(a22)(a33)(ann) .【錯(cuò)解】S=(a(a2a3an) (123n)=.【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注

3、意公比q的取值不能為1.【正解】S=(a(a2a3an) (123n)當(dāng)a=1時(shí)，S =；當(dāng)時(shí)，S=3、 忽視公比的符號(hào)例3、已知一個(gè)等比數(shù)列前四項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比【錯(cuò)解】四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)其分別為則有，解得或，故原數(shù)列的公比為或【分析】按上述設(shè)法，等比數(shù)列的公比是，是正數(shù)，四項(xiàng)中各項(xiàng)一定同號(hào)，而原題中無此條件，所以增加了限制條件。【正解】設(shè)四個(gè)數(shù)分別為則，由時(shí)，可得當(dāng)時(shí)，可得變式、等比數(shù)列中，若，則的值（A）是3或3 （B） 是3 （C） 是3 （D）不存在【錯(cuò)解】 是等比數(shù)列， ，成等比，9，選A【分析】，是中的奇數(shù)項(xiàng)，這三項(xiàng)要同號(hào)。錯(cuò)解中忽視這一點(diǎn)。【正

4、解】C4、 (見手寫P1325 13)5、 (見手寫P1425 14)6、缺乏整體求解的意識(shí)例6、一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，求【錯(cuò)解】設(shè)該數(shù)列有項(xiàng)且首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公差為 則依題意有 ，三個(gè)方程，四個(gè)未知數(shù)，覺得無法求解。【分析】 在數(shù)列問題中，方程思想是常見的思想，使用時(shí)，經(jīng)常使用整體代換的思想。錯(cuò)解中依題意只能列出3個(gè)方程，而方程所涉及的未知數(shù)有4個(gè)，沒有將作為一個(gè)整體，不能解決問題。事實(shí)上，本題求，而沒有要求其他的量，只要巧用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求出即可。知識(shí)的靈活應(yīng)用，來源于對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的深刻理解。【正解】設(shè)該數(shù)列有項(xiàng)且首項(xiàng)為，

5、末項(xiàng)為，公差為則依題意有 ，可得 ，代入(3)有 ，從而有， 又所求項(xiàng)恰為該數(shù)列的中間項(xiàng)，例7(1)設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法 ，。錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由，時(shí)，應(yīng)有。在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 Þ Þ ,即因?yàn)椋运越獾?說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。例題7已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. ()若Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列，證明a

6、m，am2，am1成等差數(shù)列； ()寫出()的逆命題，判斷它的真?zhèn)危⒔o出證明. 證 () Sm1Smam1，Sm2Smam1am2由已知2Sm2SmSm1， 2(Smam1am2)Sm(Smam1)，am2am1，即數(shù)列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差數(shù)列. () ()的逆命題是：若am，am2，am1成等差數(shù)列，則Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列an的公比為q，am1amq，am2amq2由題設(shè)，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 當(dāng)q1時(shí)，A0，Sm， Sm2， Sm1不成等差數(shù)列.逆命題為

7、假.例題8已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=13， （）設(shè)的通項(xiàng)公式； （）求n為何值時(shí)，最小（不需要求的最小值）解：（I） 即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為（）若an最小，則注意n是正整數(shù)，解得8n9當(dāng)n=8或n=9時(shí)，an的值相等并最小例題9已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱，且f '(1)=0 （)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； （)設(shè)數(shù)列an滿足條件：a1(1,2)，an+1=f (an) 求證：(a1 a2)·(a31)+(a2 a3)·(a41)+(an an+1)·(an+21)1解：()由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(diǎn)

8、(1,1)成中心對(duì)稱，所以 x3+ax2+bx+c+(2x)3+a(2x)2+b(2x)+c=2 對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立得：a=3，b+c=3，對(duì)由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表達(dá)式為：f(x)= x33x2+3x () an+1=f (an)= an 33 an 2+3 an (1)令bn=an1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=， 1bn bn+1 0 (a1a2)·(a31)+(a2a3)·(a41)+(anan+1)·(an+21)=b1-bn+1b11。 例題10、平面直角坐標(biāo)系中，已知、，滿足向量與向量共

9、線，且點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上（1）試用與n來表示；（2）設(shè)，且12a15，求數(shù)列中的最小值的項(xiàng)解：（1）點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上，即，于是數(shù)列是等差數(shù)列，故 ，又與共線， 當(dāng)n1時(shí)，上式也成立所以an （2）把代入上式，得12a15，當(dāng)n=4時(shí)，取最小值，最小值為a4=182a 基礎(chǔ)練習(xí)題1、已知a1 = 1，an = an1 + 2n1(n2)，則an = _。2n1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù))2、已知 9、a1、a2、1 四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，9、b1、b2、b3、1 五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則 b2 (a2a1) = A(符號(hào))(A) 8 (B) 8(C) (D) 3、已知 an 是等比數(shù)列，Sn是

10、其前n項(xiàng)和，判斷Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列嗎？當(dāng)q = 1，k為偶數(shù)時(shí)，Sk = 0，則Sk，S2kSk，S3kS2k不成等比數(shù)列；當(dāng)q1或q = 1且k為奇數(shù)時(shí)，則Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列。（忽視公比q = 1）4、已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=120，d=4，記Sn= a1a2an，若Snan（n1），則n最小值為（B） (A)60(B)62(C)63(D)705、在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（C ）(A) (B) (C) (D) 6、若數(shù)列中，且對(duì)任意的正整數(shù)、都有，則（A） （B） （C） （D） ( C)7、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為非零常數(shù)

11、），則數(shù)列為（ ）（A）等差數(shù)列 （B）等比數(shù)列（C）既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列 （D）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列8、設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，則a4與a10的等比中項(xiàng)為（ ）ABCD9、設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.（答：）。10、設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.（答：）。11、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差. 若存在正整數(shù)，使得，則當(dāng)（）時(shí)，有（填“>”、“<”、“=”） 12、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S120，S130，則 ， 中最大的是 B (A) (B) (C) (D) 13、已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（A）A.充分不必要條件 B.必

12、要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件 易錯(cuò)原因：不注意為常數(shù)列特殊情況.14、“”是實(shí)數(shù)成等比數(shù)列的 （D）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件 易錯(cuò)原因：對(duì)等比數(shù)列的概念理解不全面.15、等差數(shù)列中，若，則的值為 （B）A. B. C. D.易錯(cuò)原因：找不到簡捷的解法，用聯(lián)立方程組求解時(shí)發(fā)生運(yùn)算錯(cuò)誤.16、等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，則 （B）A.都小于，都大于 B.都小于，都大于C. 都小于，都大于 D. 都小于，都小于易錯(cuò)原因：已知條件不會(huì)靈活運(yùn)用.17、在等差數(shù)列中，若，則的值是 （C）A. B. C. D.不能確定 易錯(cuò)原因

13、：找不到與的關(guān)系.18、若為等比數(shù)列，若公比為整數(shù)，則（C）A. B. C. D. 易錯(cuò)原因：未考慮為整數(shù)；運(yùn)算發(fā)生錯(cuò)誤.19、數(shù)列中，則為 （C）A. B. C. D. 易錯(cuò)原因：對(duì)取特殊值排除有些選項(xiàng)的意識(shí)不強(qiáng)；構(gòu)造新數(shù)列有困難.20、數(shù)列滿足，且，則首項(xiàng)等于 （D）A. B. C. D. 易錯(cuò)原因：不能熟練地運(yùn)用比的性質(zhì)；對(duì)連等式如何變換缺少辦法.1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_（答：）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_（答：）；（3）已知

14、數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（）（答：A）A B C D2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。如（1）等差數(shù)列中，則通項(xiàng)_（答：）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）（3）等差數(shù)列的前和：，。如（1）數(shù)列中，前n項(xiàng)和，則，（答：，）；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且

15、。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）3.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）等差數(shù)列中，則_（答：27）；（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0

16、B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）(7)

17、“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是_（答：4006）(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)

18、列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。如（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如（1）等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：44）；（2）的值為_（答：2046）；特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為

19、1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。（4）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_（答：AB）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。

20、如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則_（答：10）。(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；（2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，

21、則的值為_（答：40）(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又

22、是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是_（答：）6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如已知的前項(xiàng)和滿足，求（答：）；數(shù)列滿足，求（答：）已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_（答：）若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求（答：）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：

23、）；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如已知，求（答：）；已知數(shù)列滿足=1，求（答：）注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求（答： ）7.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式：，.如（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再