1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載有關(guān)直線與圓的幾個(gè)典型例題本節(jié)內(nèi)容在高考題中通常是通過(guò)選擇題、填空題進(jìn)行考查，在解 答題中往往是出現(xiàn)在第(1)小題中，考查的熱點(diǎn)是求直線的方程， 兩直線平行、垂直的關(guān)系，關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，直線與圓的位置關(guān) 系及圓與圓的位置關(guān)系等。要熟練掌握求直線方程的方法，注意根據(jù) 已知條件靈活選擇方程形式；在解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意圓的幾 何性質(zhì)的應(yīng)用。例1:在AABC中，已知頂點(diǎn)A(3,-1)，過(guò)點(diǎn)B的內(nèi)角平分線所在 直線的方程為x-4y+10=0,過(guò)點(diǎn)C的中線所在直線的方程為 6x+10y-59=0,求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)及BC邊的方程。x + 3 廠 1解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則AB的

2、中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2*2),因E在直線6x+10y-59=0上，工+ 3 廠16 2 +10 - 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=0。又過(guò)點(diǎn)B的內(nèi)角平分線所在直線方程為 x-4y+10=0。解方程組卜fT0 =。得&7B點(diǎn)坐標(biāo)為(10,5)。6設(shè)BC邊所在直線斜率為k, AB邊所在直線斜率kAB=7，角B平分線的斜率為4。1 6,1一 一左一 一4 7 _4.1 62貝U 4 74 ,k=- 9。 BC邊所在直線方程為2x+9y-65=0評(píng)注：本題是關(guān)于求直線方程的例題。例2:已知過(guò)點(diǎn)A(1,1),且斜率為-m(m>0)的直線l與x,y軸分別 交于P、Q點(diǎn)，過(guò)P、Q作直線

3、2x+y=0的垂線，垂足分別為R, S, 求四邊形PRSQ的面積的最小值。解：設(shè)直線l的方程為y-1=-m(x-1)，則P、Q的坐標(biāo)分別為(1 +幽,0), (0,1+m)。1 m + 1m + 1PR所在直線方程為y= 2 (x- m ),即x-2y- m =0,QS 所在直線方程為 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+1)=0。| 2咕+ 2+1 +二 | 3 +丫 PR/QE, /JRS| =超-=尸上75邪2 二_m也又 |PR|二有，|QS|二 S ,一四邊形PRSQ的面積為1 (2 + + w +1) 3+ 2ws + - 2(部+ !)，+ 9(幽 +1) +10 11

4、口 13 3 -I二也2 小 出105 w 4 80: m>0, m+僧 >2,當(dāng) m=1 時(shí)，Smin=3.6。故四邊形PRSQ面積的最小值為3.6。評(píng)注：本題是關(guān)于直線的平行、垂直問(wèn)題的例題例3:根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)圓心在直線1i: 5x-3y=0上，并且圓與直線l2： x-6y-10=0 相切于點(diǎn)P(4,-1);(2)圓過(guò)點(diǎn)P(-2,4), Q(3,-1),并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6;(3)圓心在曲線y2=-18x上，并且既與y軸相切又與圓 (x+2)2+(y-3)2=1 夕卜切。解：(1)設(shè)圓心為C(3t,5t),%+1 1匕 ,- PCXl2, , kPC -

5、匕=-1,即 3E4 6=-1,則 t=1,圓心C(3,5),又圓半徑r=|PC|二后, 故所求圓的方程為(x-3)2+(y-5)2=37。(2)設(shè)圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 , (2D-4E-F = 20將P、Q的坐標(biāo)分別代入，得知-£十尸=-10又令 y=0,得 x2+Dx+F=0。由已知|Xi-X2|=6 (xi, x2為方程兩根),二 D2-4F=36(3)由(1),(2),(3)解得 D=-2, E=-4, F=-8 或 D=-6, E=-8, F=0。故所求圓的方程為：x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0。(3)設(shè)圓心C(a,b)

6、,由題意知r二|a|,且% +甲+ 9-茶G0陳b2 =-儂顯然 a<0,解得 a=- 2 , b=3 或 a=-2, b=6,J 1故所求圓的方程為：(x+ 2 )2+(y-3)2=4 或(x+2)2+(y-6)2=4。評(píng)注：求圓的方程應(yīng)注意依據(jù)所給條件，恰當(dāng)選擇方程形式，用 待定系數(shù)法求解。例 4:已知圓 C: x2+(y-1)2=5,直線 l: mx-y+1-m=0。(1)求證：對(duì)mCR,直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|二而，求l的傾斜角大??；(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；竺(4)若定點(diǎn)P(1,1)分弦AB為尸82 ,求此時(shí)直線l的方程

7、。解：(1)證法 1：由已知 l: y-1=m(x-1),直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1),又圓C的圓心為(0,1),V (1-0)2+(1-1)2=1<5,. P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C總有二個(gè)不同交點(diǎn)。-'7m幽證法2:圓心C(0,1)到直線l的距離d=虛+1+ 1 <1<行 對(duì)m C R成立，.對(duì)mC R, l與圓C總有二個(gè)不同的交點(diǎn)。證法3:將y-1=m(x-1)代入圓C方程，消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0(1)2A=16m +20>0 包成立，.對(duì)me R, l與圓C總有二個(gè)不同的交點(diǎn)。評(píng)注：判斷直線與圓相交，一般有以下三種方法：直線過(guò)圓

8、內(nèi)一定點(diǎn)；圓心到直線的距離小于半徑；直線與圓的方程組成的方程組有二個(gè)不等實(shí)根。(2)解法1:設(shè)A(xi,yi), B(x2,y2),則xi,X2為方程(1)的兩實(shí)根， 46# + 20. |AB|= +冽2 |xi-x2|=Jl + / -1 +幽2, ”尿/+ 20則 + 比-1 +冽2=71? , m=± 也，上空l(shuí)的傾斜角為a = 3或317解法 2: |AB|=2, -d" ,. 4 =5-d2,3/ . 3;d2= 4 ,則 1 +加2 4 m=± 在，上空一. l的傾斜角為a = 3或3。評(píng)注：求圓的弦長(zhǎng)一般有兩種方法：(1)用兩點(diǎn)間距離公式求；(2)

9、利用圓中半徑、弦心距、弦長(zhǎng)間的關(guān)系求。即半徑2二弦心距2+半弦2。(3) v CM IMP,.-. M點(diǎn)軌跡是以CP為直徑的圓，圓心為(2 ,1),1半徑為r=，1 1M 點(diǎn)軌跡方程為：(x-2 )2+(y-1)2= 4。評(píng)注：求弦中點(diǎn)軌跡方法很多，本題是利用圓的幾何性質(zhì)求解， 較為簡(jiǎn)單。1X1AP 1i-=_ 1 + _(4) ; PB 2 ,由定比分點(diǎn)公式，有1=2,1 323X1+ 2 X2= 2 ,同理有 yi+ 2 y2= 2。3 13 2 xi= - - - X2, yi= 1 -1 y2,v A、B 均在圓 x2+(y-1)2=5 上，+(T-y2)/dr消去 y2,得(3-X2

10、)2-X22 = 15,X2=-1,貝U X1=2,;y2=3 或-1, y1=0 或 2,m=1 或-1。則直線l的方程為：X-y=0或X+y-2=0。例5:設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2; (2)被X軸分成兩段圓 弧，其弧長(zhǎng)的比為3： 1,在滿足條件(1),(2)的所有圓中，求圓心到直 線l: X-2y=0的距離最小的圓的方程。解：設(shè)圓的圓心為P(a,b),半彳全為r,則點(diǎn)P到x軸,y軸的距離 分別為|b|, |a|由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為 90。，則圓P被x 軸所截得的弦長(zhǎng)為r,.故|b|=二 r,即 r2=2b2。又圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2,所以J+1=r2從而 a2+1=2b2,即 2b2-a2=1。 a-2b又點(diǎn)P(a,b)0直線x-2y=0的距離為d= 后 ,5d2=|a-2b2=a2+4b2-4at>> a2+4b2-2(a2+b