1、第二講 平面向量的解題技巧金堂中學劉際成選編【命題趨向】由2012年高考題分析可知：1 .這部分內容高考中所占分數一般在10分左右.2 題目類型為一個選擇或填空題，一個與其他知識綜合的解答題.3 .考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主.【考點透視】“平面向量”是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以 與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低、中檔題為主.透析高考試題，知命題熱點為：1. 向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數與向量的積.2 平面向量的坐標運算，平面向量的數量積及其幾何意義.3 兩非零向量平行、垂直的充要條件.4 圖形平移、

2、線段的定比分點坐標公式.5由于向量具有“數”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數列、三角、解析幾 何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函數的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、 夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等.6 禾U用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的 運算等；利用數形結合思想將幾何問題代數化，通過代數運算解決幾何問題.【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運算(1) 理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念(2) 掌握向量的加法和減法.(3) 掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的

3、充要條件(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算(5) 掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件D為BC邊中點，且20A OB OC =0，那么()c. AO=3ODD. 2AO=OD(6) 掌握平面兩點間的距離公式 . 例1已知0是厶ABC所在平面內一點,A. AO =0D B. AO =20D命題意圖：本題考查 能夠結合圖形進行向量計算的能力例 2.在 YABCD 中，AB =a, AD =b, AN =3NC , M為 BC的中點，貝U MN =命題意圖：本題主要考查向量的加法和

4、減法，以及實數與向量的積解：由AN =3NC得4AN =3AC=3(a b) , am =a -b，所以，MN24.(用ab表示)- -1 11(a 亠b) -(ab) a b.24例3. (2006年廣東卷)CD =()(A)-BC 丄BA2(C) BCBA2如圖1所示，D是厶ABC的邊AB上的中點，則向量(B)BC-1bA2(D) BCBA2DC命題意圖：本題主要考查向量的加法和減法運算能力例4.與向量a= '7 1 迄'2(A)代_315 5(C)空丁一3$=0,7 :的夾解相等，且模為1的向量是()4 3 誠丫 4 3)555 5(D)空_丄誠'I 3 '

5、;3丿2'2(B)2/2 1、"，3命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標運算和用平面向量處理有關角度的問題例5設向量a與b的夾角為日，且a=(3, 3)， 2b _a=(_1,1)，則cost =.命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標運算和平面向量的數量積，以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.例6.已知向量 ,1 j, b是不平行于x軸的單位向量，且a b =73，則b =()(A)佔1 )(B)1逅)(C)13、3 (D)(1,0)2丿<2 2丿#,4丿命題意圖：本題主要考查應用平面向量的坐標運算和平面向量的數量積，以及方程的思想解題的能力例7.設平面向量aT、

6、a、匸的和訂詬+&3=0.如果向量bba、bj，滿足b=2a，且a順時針旋轉30o 后與b同向，其中i =1,2,3，則()-fH.N.fa.a-faM.H(A)-b! b,' b3=0(B)b,b3=0Wb"-*1"-kK!Faai(c) b 也一鳥=0(D) $ +鳥加3 =0命題意圖：本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念點評：巧妙解法巧在取 &=0，使問題簡單化.本題也可通過畫圖，利用數形結合的方法來解決.2. 平面向量與三角函數，解析幾何等問題結合(1)平面向量與三角函數、三角變換、數列、不等式及其他代數問題，由于結合性強

7、，因而綜合能力較 強，所以復習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是 運用向量知識，將所給問題轉化為代數問題求解解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大例8 .設函數 f(x)=a-b,其中向量 a=( m,cos2x), b=(1+sin2 x,1), x R且函數 y=f(x)的圖象經過點(I)求實數m的值；(n)求函數f (x)的最小值及此時x的值的集合n例 2.設函數 f (x) = a、b .其中向量 a = (m,cosx), b = (1 sin x,1), x R,且f ( ) = 2. 2(i)求實

8、數 m的值；(n)求函數f (x)的最小值.例9已知 ABC的面積為3，且滿足0 < ABAC < 6，設AB和AC的夾角為二.(I )求二的取值范圍；(II )求函數 f(二)=2sin 2 i n, 3 cos2 v 的最大14丿例10.已知ABC的三個頂點的直角坐標分別為A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1)若c=5，求sin / A的值；(2)若/ A為鈍角，求c的取值范圍；例11 .在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c,tan C = 3. 7 .- 5°)求 cOsC；( 2)若 CBCAS，且 a b“，求 c .例 12.設函

9、數彳0)=£,£，其中向量 a=(sinx,-cosx )b =(sinx,-3cosx)c - -cosx,sin x ,x 5R .(i)求函數f x的最大值和最小正周期；(n)將函數y=f X的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度 最小的d .命題意圖：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識, 考查推理和運算能力.例 13.已知向量 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 )，卡 B (I)若a丄b，求0 ;(D)求丨a + b丨的最大值.命題意圖：本小題主要考查平面向量數

10、量積和平面向量的模的計算方法、以及三角公式、三角函數的性 質等基本知識，考查推理和運算能力.例14如圖，三定點A(2,1), B(0, _1),C(_2,1);三動點D、E、M滿足 AD 二tAB,BE 二tBC, DM 二tDE ,t 三0,1.(I )求動直線DE斜率的變化范圍；(II )求動點M的軌跡方程。命題意圖：本小題主要考查平面向量的計算方法、三角公式、 三角函數的性質及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識, 考查推理和運算能力例15.已知拋物線 x2= 4y的焦點為F, A B是拋物線上的兩動點，且 AF =入FB (入0) 過A、B 兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M.(I)證

11、明"Fm Kb為定值；()設厶ABM勺面積為S,寫出S= f(入)的表達式，并求 S的最小值.命題意圖：本小題主要考查平面向量的計算方法、和圓錐曲線方程，以及函數的導數的應用等基本知識,考查推理和運算能力.【專題訓練與高考預測2】一、選擇題1 已知 a =(2,3),b =(4,x),且a/b,則x的值為()88A. 6B.6C.D.332. 已知 ABC中,點 D在 BC邊上，且 CD =2DB,cD =rAB+sAC,則 r + S的值是()24A.B.-C. 3D. 0333.把直線x_2y=0按向量a =(_1,-2)平移后，所得直線與圓x2 - y2 2x4y相5切，則實數

12、的值為(A )A. 39B. 13C. 21D. 39卜1>Tf-F-+k4. 給出下列命題： a b=0，貝U a=0或b=0. 若e為單位向量且 a/ e,則a=| a| e.a a a=| a| .若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.其中正確的個數是()A. 0B. 1C. 2D. 35. 在以下關于向量的命題中，不正確的是()A. 若向量 a=(x, y)，向量 b=( y, x)( x、滬 0)，貝U a丄bB. 四邊形 ABCD菱形的充要條件是 AB = dc，且I AB |=| AD |C. 點6是厶ABC的重心，貝U GA + GB+CG=OD. ABC中, AB和C

13、A的夾角等于180° A6. 若O為平行四邊形 ABC啲中心，AB = 4 e1,= 6 e2,則3® 2e1等于()A. AOB.BOC.COD.DO7將函數y=x+2的圖象按a= (6, 2)平移后，得到的新圖象的解析式為()A. y=x+10B. y=x 6 C.y=x+6D.y=x108. 已知向量m=(a,b)，向量 ml n且| m|=| n|,則n的坐標為A. ( a, b)B.( a,b)C.( b, a)D.( b, a)9. 給出如下命題：命題(1)設e1、e2是平面內兩個已知向量，則對于平面內任意向量a,都存在惟一的一對實數x、y,使a=xe1+ye2

14、成立；命題(2)若定義域為 R的函數f (x)恒滿足丨f ( x) | = | f(x) | ,則f(x)或為奇函數，或為偶函數.則下述判斷正確的是()A.命題(1) (2)均為假命題B.命題(1) (2)均為真命題C.命題(1)為真命題，命題(2)為假命題D.命題(1)為假命題，命題(2)為真命題10 .若|a+b|=|a-b| ，則向量a與b的關系是()TTA. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b| C. a?b=0 D. 以上都不對11 . O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足OP =OA扎0 七9 貝U P 的軌跡一定通過 ABC的()'|AB

15、| |AC ''A.外心B.內心C.重心D.垂心12. 若a =2, bn2,0,3, cn0,2,2，則 a b c =()A. 4B.15C. 7D. 3二、填空題1 .已知| AB| =3,1 AC |=4,AB與AC的夾角為60°,則ab與ab ac的夾角余弦為 .TTT T2. 已知 a =( 4,2,x ), b = (2,1,3), 且 a 丄 b，則 x =.3. 向量(a 3b) _ 7a _ 5b , a _ 4b _ 7a _ 2b，則 a和 b所夾角是4. 已知 A(1,0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),點 D 滿足

16、條件：DBL AC, DC丄 AB, AD=BC, 則 D的坐標為.5 . 設a,b是直線，是平面，a_，b_1 ,向量a1在a上，向量b|在b上，a“ =1,1,1, b -3,4,0，則:所成二面角中較小的一個的大小為 .三、解答題1. ABC中，三個內角分別是 A、B、C,向量 an-osCcosB),當tanAtanB2 2 21 '時，求| a |.92. 在平行四邊形 ABCD中，A (1 , 1), AB = (6,0)，點M是線段AB的中點，線段 CM與 BD交于點P.(1) 若 AD =(3,5),求點C的坐標；(2) 當|AB|=|AD|時，求點P的軌跡.3. 平面內三個力F1,F2,F3作用于同丄點O且處于平衡狀態，已知F1,F2的大小分別為1kg ,62 kg, F1、F2的夾角是45°,求F3的大小及F3與F1夾角的大小.24. 已知a, b都是非零向量，且 a+3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的