1、.11602314.2銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，這是為什么呢？這是為什么呢？.3問題：問題：1.1.假設易拉罐是一個正圓柱體且底面和側面的厚度相同，什么是它的最優設假設易拉罐是一個正圓柱體且底面和側面的厚度相同，什么是它的最優設計？計？2.2.如果易拉罐是一個正圓柱體，但底面和側面厚度不同（例如底面厚度是側面厚如果易拉罐是一個正圓柱體，但底面和側面厚度不同（例如底面厚度是側面厚度的度的3 3倍），如何設計最優？倍），如何設計最優？.4一、摘要一、摘要 對問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數據。 對問題二，在假設

2、易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs由微積分方法求最優解，結論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設想為外體積減內體積，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs.5二、模型建立二、模型建立 問題二：問題二：正圓柱形正圓柱形易拉罐尺寸的最優設計模型易拉罐尺寸的最優設計模型（1 1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形由圖的情形由圖1 1可知：可知： 容積容積為為 ： 表面積表面積為為 ： 模型一：模型一：hrV2圖1 各點罐壁厚度相同的圓柱

3、形易拉罐模型一：模型一：0,.2min22hrhrVtsrhrSrhrrrrhSM22222hrV2.6（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根據根據材料的用量與其體積成正比。材料的用量與其體積成正比。 容積一定時，所用容積一定時，所用材料的體積最小時的尺材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優尺寸寸即易拉罐的最優尺寸，所需要的材料為：，所需要的材料為：圖2 有不同罐壁厚度的圓柱形易拉罐 dahcrhrY22 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts模型二：模型二：應使應使Y Y

4、取最小值，取最小值，模型二：模型二：.7（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度不同罐壁厚度并考慮焊縫長度4的情形的情形 在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，使得易拉罐的工作量有影響，使得易拉罐的材料用量最省材料用量最省的同時，的同時，焊縫焊縫長度也盡量取到最小。長度也盡量取到最小。 根據模型分析，可得根據模型分析，可得焊縫長度焊縫長度： rZ2將焊縫的長度為將焊縫的長度為Z時的工作量轉化為時的工作量轉化為同等的材料體積同等的材料體積，從而可以，從而可以將二者直接相加。將二者直接相加。模型三模型三： rdahcrh

5、rZYM2min222121（此模型即為求解問題二的完善模型） 0,. .212dahcrVts.81. 問題一的求解問題一的求解 表表1 101 10種種355ml355ml易拉罐飲料的相關測量數據易拉罐飲料的相關測量數據項項目目數數值值種種類類三、模型求解三、模型求解.9表表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中規定的罐體主要尺寸中規定的罐體主要尺寸(單位：毫米單位：毫米)5.10 VdahcrdahcrhrF222 0022202222222VdahcrFcrcrrhFdahcrdahcrrhrFcdarh62rh（2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形

6、，根據的情形，根據模型二模型二， 用用拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法求解新的函數：求解新的函數：然后分別對，解得：解得：即即 圓柱體的圓柱體的高與半徑高與半徑 之比為之比為6時時為最優尺寸為最優尺寸 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts.110,.2min22hrhrVtsrhrSS022222322rVrrrVr32Vr 5.6MatlabSrrVVVrVh22843322322（1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形的情形 根據根據模型一模型一知：知：取取最小值最小值時，必定有時，必定有， 圖7 體積一定時隨變化的曲線即易拉罐的即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少時，所需材料最少。.12rh2:rh根據問題一中測得的實際數據可以得到根據問題一中測得的實際數據可以得到 表表3 檢驗數據表檢驗數據表由表由表3可知：所有可知：所有均在此范圍內，在均在此范圍內，在1與與3之間必有一之間必有一個最優值符合實際條件，從結果可大個最優值符合實際條件，從結果可大致得出此致得出此最優值應該在最優