1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)習(xí)題課一、 主要內(nèi)容1、基本概念函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級數(shù)）的點(diǎn)收斂、一致收斂、內(nèi)閉一致收斂、絕對收斂、和函數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域2、一致收斂性A、 函數(shù)列一致收斂性的判斷：（1）定義：用于處理已知極限函數(shù)的簡單函數(shù)列的一致收斂性（2）Cauchy收斂準(zhǔn)則：用于抽象、半抽象的函數(shù)列的一致收斂性的判斷（3）確界（最大值方法）：（4）估計方法：（5）Dini-定理：條件1）閉區(qū)間；2）連續(xù)性；3）關(guān)于的單調(diào)性注、除Cauchy收斂準(zhǔn)則外，都需要知道極限函數(shù)，因此，在判斷一致收斂性時，一般應(yīng)先利用點(diǎn)收斂性計算出極限函數(shù)。注、定義法、確界方法和估計方法

2、的本質(zhì)是相同，定義方法通常處理抽象的對象，估計方法是確界方法的簡化形式，估計方法處理較為簡單的具體的對象，確界方法是通過確界的計算得到較為精確的估計，通常用于處理具有一般結(jié)構(gòu)的具體的函數(shù)列，也可以用于非一致收斂性的判斷。注、Dini定理中，要驗(yàn)證的關(guān)鍵條件是關(guān)于n的單調(diào)性，定理中相應(yīng)的條件為“對任意固定的x，作為數(shù)列關(guān)于n是單調(diào)的”，注意到收斂或一致收斂與函數(shù)列前面的有限項(xiàng)沒有關(guān)系，上述條件也可以改為“存在N，當(dāng)n>N時”條件成立即可，但是，要注意N必須是與x無關(guān)的，即當(dāng)n>N時，對所有任意固定的x，關(guān)于n單調(diào)，因此，此時的單調(diào)性也稱為對n的單調(diào)性關(guān)于x一致成立。非一致收斂性的判斷

3、（1）定義（2）Cauchy收斂準(zhǔn)則（3）確界法：存在，使得不收斂于0（4）和函數(shù)連續(xù)性定理（5）端點(diǎn)發(fā)散性判別法：在c點(diǎn)左連續(xù)，發(fā)散，則在內(nèi)非一致收斂 注、在判斷非一致收斂性時，按照使用時的難易程度，可以按如下順序使用相應(yīng)的方法進(jìn)行判斷：端點(diǎn)發(fā)散性判別法、和函數(shù)連續(xù)性定理、確界方法、定義法、Cauchy收斂準(zhǔn)則。B、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的判斷（1）定義（2）Cauchy收斂準(zhǔn)則（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)列（部分和）（4）余項(xiàng)方法：一致收斂于0（5）幾個判別法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法 注、一般來說，由于不容易計算和函數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性的判斷比函數(shù)列一致收斂性的判斷

4、要復(fù)雜，但是，由于判別法并不是很多，因此，對一個題目，在不能準(zhǔn)確分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定相應(yīng)的判別法時，可以采用逐個試探的方法，確定出一個合適的判別法，但是，不管用哪個判別法，一定要嚴(yán)格驗(yàn)證相應(yīng)的條件。 注、方法（3）和方法（4）處理問題的思想是一致的，只是途徑不同。非一致收斂性的判斷（1）、定義（2）、Cauchy準(zhǔn)則（3）、部分和方法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)列判斷（4）、和函數(shù)連續(xù)定理（5）、端點(diǎn)發(fā)散性判別法（6）、必要條件：通項(xiàng)函數(shù)列不一致收斂于0 （7）、逐項(xiàng)求積法：與和函數(shù)連續(xù)性定理類似，利用一致收斂的和函數(shù)的分析性質(zhì)，通過驗(yàn)證不能逐項(xiàng)求積進(jìn)行判斷。注、使用的順序基本和函數(shù)列的情形類似。3、和函數(shù)性

5、質(zhì)定性分析：連續(xù)性，可微性的判斷定量分析：求導(dǎo)，求積，求極限注、對和函數(shù)的連續(xù)性、可微性等定性性質(zhì)的分析，充分利用這些性質(zhì)的局部性，將給定區(qū)間（通常是開區(qū)間）上的性質(zhì)研究轉(zhuǎn)化為內(nèi)閉區(qū)間上的性質(zhì)研究，因此，解決問題的關(guān)鍵通常是內(nèi)閉一致收斂性的驗(yàn)證。4、冪級數(shù)（1）收斂半徑，收斂域（2）各種收斂性的關(guān)系：點(diǎn)收斂、絕對收斂、一致收斂（3）冪級數(shù)的展開（4）和函數(shù)的性質(zhì)：求和，求導(dǎo)，求積，求極限 注、要充分利用各種技巧實(shí)現(xiàn)和函數(shù)的計算、冪級數(shù)的展開等性質(zhì)研究。二、 典型題目1、判斷函數(shù)列在的一致收斂性，其中（1）、， （2）、。解：（1）計算得， ，因而， ，故，在一致收斂。（2）計算得，記，則，故，

6、在處達(dá)到最大值，因而，故，在非一致收斂。注、下述用Dini-定理求證（2）的過程是否合適。驗(yàn)證Dini定理的條件：顯然，對任意的n，；當(dāng)或，因而關(guān)于單調(diào)；當(dāng)時，考察關(guān)于的單調(diào)性，為此，將離散變量連續(xù)化，記，考查對應(yīng)函數(shù)關(guān)于的單調(diào)性。顯然，故，當(dāng)時，因而關(guān)于單減。對應(yīng)得到當(dāng)時，關(guān)于單減，故由Dini-定理，在中一致收斂。分析 顯然，這是與最大值解法相矛盾的結(jié)論。最大值方法是正確的，那么，上述Dini-定理的證明過程錯在何處？進(jìn)一步考察Dini-定理的條件與上述證明過程：條件是確定的，有限區(qū)間也適合，剩下的條件只有單調(diào)性了。那么，Dini-定理中對單調(diào)性條件如何要求的？其敘述為：對任意固定的，是的

7、單調(diào)數(shù)列，注意到收斂性與前有限項(xiàng)沒有關(guān)系，因而的單調(diào)性也放寬為時，是的單調(diào)數(shù)列，本例中，在驗(yàn)證單調(diào)條件時，實(shí)際證明了：，當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)，顯然，（），因此，的單調(diào)性關(guān)于x并非是一致的，破壞了Dini-定理的條件，故Dini-定理不可用。從上述分析過程看，當(dāng)考慮到數(shù)列的收斂與前面有限項(xiàng)關(guān)系時，Dini-定理可這樣表述：Dini-定理 在有限閉區(qū)間上，設(shè)，且點(diǎn)收斂于，又，使得對任意固定的，關(guān)于單調(diào)，則。注、上述分析表明：要考察函數(shù)列的性質(zhì)時，通常只須考察充分大，即時所滿足的性質(zhì)即可，要注意與關(guān)系的刻畫，對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)要注意同樣的問題，如W-定理：W-定理 設(shè)，使得時，且收斂，則在上一致收斂。定理中的條

8、件也是關(guān)于一致成立的，因此，條件不能改為“對任意的x，存在N(x)，使得n>N(x)時，”。例2、證明：若在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)閉一致收斂于。分析 從題目形式看，由于知道極限函數(shù)，只需用定義驗(yàn)證即可，考察，因此，利用一致連續(xù)性可以完成證明。證明：任取，則在一致連續(xù)，因此，使得且時，利用微分中值定理，存在，使得 ，故，時， ，因而 ，故，。 3、討論一致收斂性（1） ； （2）。解：（1）法一、由于結(jié)構(gòu)簡單，可以計算其部分和，因此，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)列來處理。由于，故，。因而， ，對任意的n，記，則 因而，g（x）在處達(dá)到最大值，因而 ，因此，故，在一致收斂。法二、也可利用最大值法，或W-判別法

9、。 記，則 故，在處達(dá)到最大值，因而 由W-定理可得，在一致收斂。（2）法一、記，則 ，故在處達(dá)到最大值，因而，故，在一致收斂。法二、利用用Taylor展開得， 因而， ，x>0故，在一致收斂。4、設(shè)在上點(diǎn)收斂，的部分和函數(shù)列在上一致有界，證明：在上一致收斂。分析 這是一個抽象的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，從所給的條件看，W定理、Abel判別法、Dirichlet判別法、Dini定理都缺乏相應(yīng)的條件，因此，考慮用Cauchy收斂準(zhǔn)則，為此，必須建立通項(xiàng)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，建立其關(guān)系的方法有微分法（利用微分中值定理）和積分法（利用微積分關(guān)系式），其本質(zhì)基本上都是插項(xiàng)法，如利用積分法估計Cauchy片段，

10、相當(dāng)于插入點(diǎn)，利用一致有界條件，則 ，要通過右端控制Cauchy片段任意小，從右端形式和剩下的條件看，右端的第二項(xiàng)要用點(diǎn)收斂性來估計，而第一項(xiàng)需用小區(qū)間的長度來控制，由于點(diǎn)x是動態(tài)的、任意的，因此，關(guān)鍵的問題是利用什么技術(shù)將動態(tài)點(diǎn)的控制轉(zhuǎn)化為有限個定點(diǎn)控制，通過第一項(xiàng)的形式可以確定利用對區(qū)間的分割實(shí)現(xiàn)上述目的。證明：對任意的，對a,b作等分割：，使得，又，點(diǎn)收斂，因而，存在N，使得n>N時， ， ，假設(shè)，當(dāng)n>N時，對任意的，存在，使得，故 ， 因而，在上一致收斂。注、總結(jié)證明過程，步驟為：1、任給，分割區(qū)間，確定有限個分點(diǎn)；2、在分點(diǎn)處利用Cauchy收斂準(zhǔn)則；3、利用插項(xiàng)技術(shù)驗(yàn)

11、證一致收斂性。注意相互間的邏輯關(guān)系。注、類似的結(jié)論可以推廣到函數(shù)列的情形：設(shè)逐點(diǎn)收斂的函數(shù)列是a,b上的可微函數(shù)列，且在a,b上一致有界，則在a,b一致收斂。 注、上述證明的思想是通過有限分割將任意動態(tài)點(diǎn)的估計轉(zhuǎn)化為有限個點(diǎn)的靜態(tài)估計，像這種思想在證明一致收斂性時比較有用，看下面的例子。6、給定函數(shù)列，設(shè)對每個固定的n，都是a,b上的單調(diào)函數(shù)，又設(shè)在a,b上收斂于S(x)，且，證明在a,b上一致收斂于S(x)。分析 由于題目中給出了極限函數(shù)且函數(shù)列是抽象的，因此，可以考慮用定義法處理。關(guān)鍵是如何利用點(diǎn)收斂和極限函數(shù)的連續(xù)性實(shí)現(xiàn)對的動態(tài)估計，假設(shè)插入的點(diǎn)為某個固定的點(diǎn)，則必然涉及到的估計，要得到

12、與x無關(guān)的估計，從所給的極限函數(shù)的條件看，必須利用連續(xù)性來實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的估計，但是，僅僅用連續(xù)性還不夠，因?yàn)檫B續(xù)性是局部性質(zhì)，因此，這就使我們考慮更高級的整體性質(zhì)一致連續(xù)性，由此，借助一致連續(xù)性實(shí)現(xiàn)對區(qū)間的分割，將動態(tài)估計轉(zhuǎn)化為分點(diǎn)處的靜態(tài)估計。但是，問題并沒有全部解決，因?yàn)橹苯硬屙?xiàng)，產(chǎn)生的項(xiàng)無法解決，注意到還有一個單調(diào)性條件，因此，必須借助這個條件將中的由動態(tài)點(diǎn)過渡到靜態(tài)的點(diǎn)，這種技巧并不陌生，在Dini定理的證明中曾借助關(guān)于n的單調(diào)性將變動的下標(biāo)n轉(zhuǎn)化為固定的下標(biāo)，這里我們利用同樣的技術(shù)解決相應(yīng)的問題。證明：對任意的，由于，因而一致連續(xù)，故存在，當(dāng)且時， ，對作等分割：，使得 ，利用點(diǎn)收斂性，

13、存在N，使得n>N時， ， 。因此，當(dāng)n>N時，對任意點(diǎn)，存在，使得，利用的單調(diào)性，則 ，事實(shí)上，當(dāng)關(guān)于x單調(diào)遞增時，或者 ，或者 ，因而，總有 。這樣，關(guān)于由動態(tài)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)，對右端進(jìn)行插項(xiàng)，進(jìn)一步將由動態(tài)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)。因而， ，故，在a,b上一致收斂于S(x)。 注、利用各種技術(shù)將動態(tài)點(diǎn)處的估計轉(zhuǎn)化為靜態(tài)點(diǎn)處的估計是證明抽象函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性時常用的技巧，要掌握其處理問題的思想，特別是單調(diào)性在這個過程中的應(yīng)用。 7、設(shè)，定義函數(shù)列，n1，2，證明：在內(nèi)閉一致收斂。分析 從函數(shù)列的結(jié)構(gòu)可以計算出和函數(shù)為，因此，可以利用形式統(tǒng)一法證明結(jié)論。證明：對任意的x，則

14、 。對任意的，則，因而，一致連續(xù)，故，對任意的，存在，當(dāng)且時， 。取N：，當(dāng)時， 故，在內(nèi)閉一致收斂。8、設(shè)，證明：在一致收斂于零。證明：由于，故，使得，因而，歸納可以證明：故，。 9、在0,1上定義函數(shù)列 ，計算其極限函數(shù)并討論其一致收斂性。解、法一、顯然，對任意固定的，則當(dāng)時，總有，因此，故，其極限函數(shù)為。取，則 ，因此，在0,1上非一致收斂。法二、用一致收斂性的性質(zhì)證明。極限函數(shù)仍為，計算得， 因而， ，故，在0,1上非一致收斂。注、這里，我們利用逐項(xiàng)求積定理，將這種將定性分析的證明轉(zhuǎn)化為定量的驗(yàn)證，這是非常有效的處理問題的思想方法。10、給定函數(shù)列，n2，3，證：當(dāng)時，函數(shù)列在上一致收

15、斂。證明：容易計算 ，因而， ，對任意固定的n， ，因而， 故，當(dāng)時， ，在上一致收斂。 下面討論一致收斂性的應(yīng)用。11、設(shè)，（）計算。分析 題目的本質(zhì)實(shí)際是兩種運(yùn)算的可換序性，只需驗(yàn)證相應(yīng)的條件。解：由于，故在一致收斂，因而，又，故。 12、設(shè)，求。解：考慮在的一致收斂性。由于，故，在一致收斂，因而 。 注、關(guān)鍵選擇一個合適的區(qū)間：即保證一致收斂性，也要保證極限點(diǎn)落在此區(qū)間內(nèi)部。13、計算。分析 兩種運(yùn)算的換序性問題，只需驗(yàn)證一致收斂性條件。證明：先證的一致收斂性。顯然，對任意的， ，利用微分中值定理，存在，使得 ，因而， 在0,1上一致收斂于1（也可以用Dini定理證明）。其次，證明的一致

16、收斂性。對任意的，單調(diào)遞增收斂于，由Dini定理，在0,1上一致收斂于。由此，得 ，故，在0,1上一致收斂于，因此， 。14、證明：在連續(xù)。解：，考察在上的一致收斂性。由于，而收斂，故在一致收斂性，因而，由的任意性，。注、注意總結(jié)這類題目證明的步驟和技巧。15、證明：在（0，1）內(nèi)非一致收斂。分析 由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)都收斂，通項(xiàng)也是一致收斂的函數(shù)列，又不知其和函數(shù)，因此，只有用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明。為此，需要研究其Cauchy片段，找出一個具有正下界的片段，注意到以前處理的類似問題：用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明的發(fā)散性，可以設(shè)想，相應(yīng)的方法是否能處理本題，由此，需要考察：能否存在，使得

17、片段中的每一項(xiàng)的對應(yīng)因子，kn1，2n有正下界，只需，只需，因此，只需取。證明：取，則，對任意的n，取pn，則 ，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，在（0，1）內(nèi)非一致收斂。 注、還可以用下述結(jié)論證明其非一致收斂性：給定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，設(shè)，若在(a,b)內(nèi)一致收斂，和都收斂，則在a,b上一致收斂，因而，還成立。 在Fourier級數(shù)習(xí)題課中，可以證明，正是一個在0,1上的非連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)，且其和函數(shù)在0,1上也不連續(xù)，因而，根據(jù)上述結(jié)論， 在（0，1）內(nèi)非一致收斂。16、證明：與具有相同的收斂半徑。證明：法一：由于 ，另一方面， ，故，二者有相同的收斂半徑。法二、可定義證明。設(shè)的收斂半徑為，要

18、證的收斂半徑也為，只要證時，收斂，時，發(fā)散。對：，則，收斂，又，由Abel法，收斂。對任意的：時，若收斂，取使得，因?yàn)槭諗?，因而收斂，故有界記為M，因此， ，其中。由于，因而，收斂，這與的收斂半徑為R矛盾，故，發(fā)散。 由此得二者的收斂半徑相同。 注、例子表明，冪級數(shù)求導(dǎo)求積后收斂半徑不變，進(jìn)一步可得。17、設(shè)，其收斂半徑為，證明：且，。解：由冪級數(shù)求導(dǎo)后收斂半徑不變性的性質(zhì)得，且，歸納可以證明： 。 注、 此例說明：任何一個冪級數(shù)都是某個函數(shù)的M-級數(shù)。18、設(shè)且，又，證明：。分析 利用冪級數(shù)展開論證，證明證明：由于，故，因而，在可展成M-級數(shù)。 下證。顯然，而，又由Roller-定理，使得且

19、，故，歸納可證：，故 。19、求收斂半徑和收斂區(qū)間。1）、； 2）、；3）、； 4）、。解：記其為。1）、由于，故，R1。當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)時，是交錯的L-級數(shù)，因而收斂，故其收斂域?yàn)椤?）、由于，故。當(dāng)時，考慮，記，則；用連續(xù)化方法計算其極限，由于 ，故，因而，發(fā)散。同樣，當(dāng)時，發(fā)散，故其收斂域?yàn)椤?）、這是一個隔項(xiàng)級數(shù)，直接用根式法討論收斂半徑。由于，故，當(dāng)時，級數(shù)收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，因而，收斂半徑R1，顯然，x1和x1時，級數(shù)都收斂，因而，收斂域?yàn)椤?）、由于極限不存在，用上極限公式計算收斂半徑。由于，故，收斂半徑。當(dāng)時，則，由于右端兩項(xiàng)前者收斂，后者發(fā)散，因而，左端級數(shù)發(fā)散。同樣，當(dāng)時，級數(shù)也發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域?yàn)椤?0、設(shè)的收斂半徑為，的收斂半徑為，討論下列級數(shù)的收斂半徑。 1）、； 2）、。解、1）、當(dāng)時，不妨設(shè)，則當(dāng)時，絕對收斂；當(dāng)時，由于，而發(fā)散，收斂，故，發(fā)散。 當(dāng)時，利用冪級數(shù)收斂的性質(zhì)，必發(fā)散，否則，當(dāng)時，收斂，故，的收斂半徑為。 當(dāng)RQ時，的收斂半徑有可能嚴(yán)格大于R，如取則RQ1，而0，其收斂半徑為。2）、由于，故，的收斂半徑。有例子表明，存在情形