1、v1.0可編輯可修改數列求和的基本方法歸納教師：王光明數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法1、等差數列求和公式：Snn(a an)2na1n(n 1)d2、等比數列求和公式：&na1a1(1 qn)(q 1)3、Sn1n(n 1)25、Snk31122n(n 1)例1已知1og3 Xlog

2、2 3解：由log 3 Xlog 2 310g 3 x由等比數列求和公式得aianq q(qnk2k 1log 3 2SnX1)1-n(n 1)(2n 1)6的前n項和.(利用常用12公式)例2公式)12(11、2n)12_*,、S.設S=1+2+3+Tn,nCN,求f(n)n(n32)&1的最大值.11解：由等差數列求和公式得Sn一n(n1),Sn一(n1)(n2)22(利用常用v1.0可編輯可修改23f(n)Sn(n32)Sn1n234n64164n34n/8、250(.n)50,n81當4n=，即n=8時，f(n)maX.850二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和

3、公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an-bn的前n項和，其中an、bn分別是等差數列和等比數列.例3求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1解：由題可知,(2n1)xn1的通項是等差數列2n1的通項與等比數列xn1的通項之積設xSn1x3x23-，45x7x(2n1)xn（設制錯位）一得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：（1x）Sn12x1xn1nTV(2n1)x例4求數列2,462n解:由題可知,設Sn222222,23,空,t2n4423位）-得(12減）n1n(2n1)x(2n1)xSnT.72(1x)前n項的和.

4、(1x)1一一一、一一的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積2623624空2n2n2n22222322422n2n2n1（設制錯（錯位相v1.0可編輯可修改12n2.2。12門1n2Sn42n119.(2014?濮陽二模)設an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且a產bi=1,a3+b5=21,a5+b3=13(I)求an、bn的通項公式;(H)求數列的前n項和S.33考點：等差數列的通項公式；等比數列的通項公式；數列的求和.專題：計算題；壓軸題.分析：(I)設an的公差為d,bn的公比為q,根據等比數列和等差數列的通項公式，聯立方程求得d和q,進而可得an、bn的通項公式.

5、(n )數列的通項公式由等差和等比數列構成，進而可用錯位相減法求得前n項和Sn .解：(I)設an的公差為d,bn的公比為q,則依題意有q>0且L+2*'=團Ll+4d+q2=13解得d=2,q=2.所以an=1+(n1)d=2n-1,bn=qn1=2n1.-352n-32n-1小2n-32n-1=7-sn-14/p2s尸2+3F+5,bn211-1n21222一22n-l-222n-£一得s/2+2十,+圣十千島=【二 一 -=2+2 X2n- 17c2n43=-2rli點評:本題主要考查等差數列的通項公式和用錯位相減法求和.21.(2014?天津模擬)在等差數列an

6、中，a1=3,其前n項和為Sn,等比數列bn的各項均為正數，b1=1,一口。I$2公比為q,且b2+S2=12,q=-.b2(I)求an與bn；v1.0可編輯可修改（n）考點：專題：分析：解答:設Cn=an?bn,求數列Cn的前n項和Tn.等比數列的通項公式；等差數列的通項公式；數列的求和.綜合題；等差數列與等比數列.（1）根據b2+8=12,bn的公比建立萬程組，即可求出an與bn；b2（2）由an=3n,bn=3n-1,知Cn=an?bn=n?3n,由此利用錯位相減法能求出數列cn的前n項和Tn.解：（1）二.在等差數列an中，ai=3,其前n項和為等比數列bn的各項均為正數，bi=1,公

7、比為q,且b2+S2=12,口=_±b2q+3+a2=123+02,（3分）解方程組得，q=3或q=-4（舍去），a2=6（5分）an=3+3（n1）=3n,bn=3n-1.（7分）(2)an=3n,bn=3n-1,"Cn=an?bn=n?3,，數列Cn的前n項和Tn=1X3+2X32+3X33+-+nX3n,3Tn=1X32+2X33+3X34+-+nX3n+13 (1- 3n)1-3、/ n n+1一nx 3-2Tn=3+32+33+-+3n-nX3n+1442X3n+12點評:本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質和

8、錯位相減法的合理運用.、倒序相加法求和v1.0可編輯可修改這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序）再把它與原數列相加，就可以得到n個（&an）,例 5求證：C0 3C： 5C：(2n 1)C；(n 1)2n證明：設 Sn C0 3C： 5c2(2n1)Cn55把式右邊倒轉過來得序）Sn (2n1)Cn (2n1)Cn1C0（反又由CmCn m可得Sn (2n1)C0(2n1)C：3CnnCn+得2Sn(2n2)(C0 CnC；Cn) 2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2n例 6求 sin21 sin2 2 sin2 3sin2 88sin2

9、 89的值解：設 S sin21 sin 2 2 sin2 3sin2 88sin2 89將式右邊反序得序）一2 一S sin 89sin2 882 _2 -2sin 3 sin 2 sin 1（反又因為 sin xcos(90 x),sin2x cos2 x 1（反22S (sin2122 _2 _cos 1 ) (sin 2 cos 2 )2 _ _2 _(sin2 89 cos2 89 ) = 89+得序相加）14，2a四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.1例7求數列的前n項和：1

10、1,av1.0可編輯可修改組）求和）解:、11設 Sn （1 1） （- 4） （ 2a a將其每一項拆開再重新組合得1Sn (1 a當a=1時,Sn當a 1時,例8求數列n(n+1)(2n+1)解：設 ak k(k 1)(2k（分組）求和）7)(1(3n1)n2的前n項和.1 (a(3n1) 2k3 3k2 knnSn k(k 1)(2k 1) =(2k3k 1k 1將其每一項拆開再重新組合得2(132322n (n 1)23n1)n23k2k)2)2)（分（分組(3n 1)nk3k2n3) 3(1222n(n 1)(2n 1)n(n2n2)1)(1n)（分組2)2n(n1)(n227.已知

11、等比數列an滿足a2=2,且2a3+a4=a5,an>0.（1）求數列an的通項公式；(2)設bn=(-1)n3an+2n+1,數列bn的前項和為Tn,求Tn.考點：等比數列的前n項和；數列的求和.66v1.0可編輯可修改專題：計算題；等差數列與等比數列.分析:（I）設等比數列an的首項為ai,公比為q,解方程可求ai, q結合78等比數列的通項公式即可求解(n )由 bn= ( 1) n3an+2n+1 = - 3? (- 2) n1+2n+1,利用分組求和，結合等比與等差數列的求和公式即可求解解答:（本小題滿分12分）解：（I）設等比數列an的首項為ai,公比為q,則（2分）點評:整

12、理得 q2 - q - 2=0,即 q=T 或 q=2,an>0,1. q=2.代入可得ai=1刀-%一(n)bn=(T) n3an+2n+1 = - 3? (-2) n1+2n+1,(9 分).Tn=31 2+48+ ( 2) n 1+ (3+5+2n+1)=-3X1+2n+口2+2口= (-2) n+n2+2n- 1.(12 分)本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的應用,分組求和方法的應用，屬于數列知識的簡單綜合五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）

13、如：(1)anf(n1)f(n)sin1cosncos(n1)tan(n1)tannan111n(n1)nn1(4)an(2n)2(2n1)(2n1)1°(-)22n12n1(5)an1n(n1)(n2)(n1)(n2)v1.0可編輯可修改89ann21n(n1)2n2(n1)n1n(n1)2nn2n1(n1)2n"Sn1(n1)2例9求數列項）和）例的前n項和.-n1解：設an10的和.（裂項）和）例11解:Sn（裂=(-2.1)(.3.2)（裂項求(-n1在數列an中,解:an求證:ananan1求數列bn的前n項數列bn的前n項和Sn8(1=8(12)(23)(3-)

14、18nn1cos0cos1cos1cos2cos0cos1cos1cos24)bn(1n)（裂項求cos88cos89cos12sin1cos88cos89sin1cosncos(n1)tan(n1)tannv1.0可編輯可修改100（裂項）S1cos0cos11cos1cos2cos881cos89（裂項求和）1,=(tan1sin1tan0)(tan2tanl)(tan3tan2)tan89tan881=(tan89sin1tan0)=sin1cot1=cos1.2.sin1原等式成立如：an是公差為d的等差數列,1 akak 1解:,1由aj akd akak 1akak 1k 1 d

15、akak 11 1da1a2a2a3anan 1aan1六、合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.例12求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.解：設Sn=cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°cosncos(180n)(找特殊性質項).Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)

16、+(cos3°+cos177°)+.+(cos89°+cos91°)+cos900(合并求和)二0例13數列an:a11,a23,a32,an2an1an,求S2002.v1.0可編輯可修改1011解：設8002=a1a2a3a2002項）求和）例14項）由a11,a41,a71,a8a23,a32,an2anan可得a53,a62,3,a92,aio1,a113,a122,a6k11,a6k2a6k1a6k8002=a13,a6k2a6k3a2a32,a6ka6k4a6k5a20021,a6ka6k653,a6k6（找特殊性質（合并(a1a2a3(a1

17、993a1994a6)(a7a1998)a8a12)1a6ka6k6)a1999a2000a2001a2002a1999a2000a2001a6k1a6k2a6k3a2002a6k4在各項均為正數的等比數列中，若a5a6解：設Snlog3a1由等比數列的性質和對數的運算性質Sn(10g3a1=(10g3a1=10g39=1010g3a210g3a10logaMloga9,求10g3a1log3a210g3a10的值.10g3a10)(10g3a10)(10g3a210g39a2a9)10g39amanapaq（找特殊性質Nloga10g3a9)MN得(10g3a510g3a6)（合并求和）(10g3a5a6)v1.0可編輯可修改1112七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和,是一個重要的方法.例15求111111111n個11之和.征）和）例16分組）項）解：由于111«1.111111999«11111