1、，第一講選修4-4坐標系馬參數方程選考內容第二講選修4-5不等式選群第一講選彳4-4坐標系與參數方程考情分析1.坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是曲線的參數方程與極坐標方程的綜合應用.2全國卷對此部分的考查以解答題的形式出現，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用.考點一極坐標方程及其應用典例感悟典例(2018全國卷I)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為P2+2pcos。一3=0.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若Ci與C2有且僅

2、有三個公共點，求Ci的方程.解(1)由x=pcos0,y=psin。得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為11,y軸左邊的射線為12.由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于11與C2只有一個公共點且12與C2有兩個公共點，或12與C2只有一個公共點且11與C2有兩個公共點.當11與C2只有一個公共點時，點A到11所在直線的距離為2,|-k+2|所以廠-=2,k+14故k=一2或k=0.3經檢驗，當k=0時，11與C2沒有公共點；4當

3、k=4時，11與C2只有一個公共點，12與C2有兩個公共點.當12與C2只有一個公共點時，點A到12所在直線的距離為2,|k+2|4所以t一=2,故卜=0或卜=W.k2+13經檢驗，當k=0時，11與C2沒有公共點；當k=4時，I2與C2沒有公共點.3八，一、一一,4綜上，所求G的方程為y=-4|x|+2.3方法技巧1 .求曲線的極坐標方程的一般思路曲線的極坐標方程問題通常可利用互換公式轉化為直角坐標系中的問題求解，然后再次利用互換公式即可轉化為極坐標方程.熟練掌握互換公式是解決問題的關鍵.2 .解決極坐標交點問題的一般思路(1)將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其轉化為極

4、坐標;(2)將曲線的極坐標方程聯立，根據限制條件求出交點的極坐標.演練沖關曲線C的極坐標方程為(2018太原模擬)在直角坐標系xOy中，以。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,0-3i;=1,M,N分別為曲線C與x軸，y軸的交點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標;(2)設M,N的中點為P,求直線OP的極坐標方程.解：(1)，pcos93'廣1,pcos0cos3+psin。sin3=1.x=pcos9,1電又j2x+,=1，ly=psin0,即曲線C的直角坐標方程為x+gy2=0,令y=0,貝Ux=2;令x=0,貝Uy=2P.32.3.M(2,0),N3，233iM

5、的極坐標為(2,0), N的極坐標為2.3 2)M,N連線的中點P的直角坐標為Q 兀.P的極角為0=-,6直線OP的極坐標方程為兀0=6( pC R)考點二參數方程及其應用典例感悟x=2cos0,典例（2018全國卷n）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為34sine（eX=1+tcosa,為參數），直線l的參數方程為（t為參數）.y=2+tsin（1）求C和l的直角坐標方程;（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1,2）,求l的斜率.22解曲線c的直角坐標方程為5y6=1.當cos/0時，l的直角坐標方程為y=tanax+2tan%當cosa=0時，l的直角坐標方程為X=1.（2）

6、將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程（1+3cos2力t2+4（2cosa+sin力t8=0.因為曲線C截直線l所得線段的中點（1,2）在C內,所以有兩個解,設為tl,七，則tl+t2=0.42cosa+sina又由得t1+t2=-2，1+3cosa故2cosa+sina=0,于是直線l的斜率k=tan“=2.方法技巧參數方程化為普通方程的方法及參數方程的應用(1)將參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數方程進行變形，為消去參數創造條件.(2)在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解

7、決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解.演練沖關(2018廣東廣州花都區二模)已知直線x= 1+；t,(t為參數)，曲線Ci ：x= cos 0,(。為參數).y= sin(1)設l與Ci相交于A, B兩點，求|AB|；(2)若把曲線Ci上各點的橫坐標縮短到原來的線C2,設P是曲線C2上的一個動點，求它到直線2倍，縱坐標縮短到原來的 日倍,得到曲l距離的最小值.解：(1)直線l的普通方程為y=43(x1),曲線 Ci的普通方程為x2+y2=1,由y=a(x-1 ) x2+y2=1,解得l與C1的交點坐標分別為(1,0),2,一堂),

8、故 |AB| =x= 1cos 0,(2)由題意得，曲線 C2的參數方程為 廠3y= 2 sin 9(0為參數),則點P的坐標是gcos e,興in e)所以點P到直線l的距離d=332 cos 0 2 sin故當sin104；= 1時，d取得最小值，最小值為考點三極坐標方程與參數方程的綜合應用典例感悟典例(2017全國卷出)在直角坐標系xOy中，直線11的參數方程為lx2+、(t為y=ktx=2+m,參數)，直線12的參數方程為mm(m為參數).設11與12的交點為P,當k變化片了時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設13：4c

9、os0+sin9J2=0,M為13與C的交點，求M的極徑.解(1)消去參數t得11的普通方程11：y=k(x2)；消去參數m得12的普通方程12：y1 片kb2)22=k(x+2).設P(x,y),由題設得11消去k得x2y2=4(yw0).所以C的普通方程為x2y2=4(yw0).(2)C的極坐標方程為(co$20-sin20)=4(0<。v2兀，0*nt).聯立2 2-2一一P(cos。一sin。尸4,11得cos0sin0=2(cos0+sin0).故tan0=3,從而cos0=Icos0+sin0J-也=0,今，sin20=110.代入p2(cos2。sin2。)=4得P2=5,

10、所以交點M的極徑為迎方法技巧極坐標方程與參數方程綜合問題的解題策略(1)求交點坐標、距離、線段長.可先求出直角坐標系方程，然后求解.(2)判斷位置關系.先轉化為平面直角坐標方程，然后再作出判斷.(3)求參數方程與極坐標方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標方程，利用直角坐標方程來研究問題.演練沖關x=cost.(2018沈陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線Ci的參數方程為(t|y=1+sint為參數)，曲線C2的直角坐標方程為x2+(y2)2=4.以平面直角坐標系的原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線1的極坐標方程為0=a,0<“<兀.求曲線Ci,C2的極

11、坐標方程;(2)設A,B分別為射線l與曲線Ci,C2除原點之外的交點，求|AB|的最大值.x=cost,解：(1)由曲線Ci的參數方程(t為參數)，消去參數t得x2+(y1)2=1,y=1+sint即x2+y22y=0,曲線C1的極坐標方程為p=2sin&由曲線C2的直角坐標方程x2+(y2)2=4,彳導x2+y24y=0,.曲線C2的極坐標方程為尸4sin0.0=a,(2)聯立得A(2sina,a),|OA|=2sina,p=2sin0,0=a,聯立£得B(4sina,a),.|OB|=4sina,p=4sin0,|AB|=|OB|-|OA|=2sina,.0<“&l

12、t;兀，.當”=喬,|AB|有最大值，最大值為2.課時跟檢測x=t,1. （2018石家莊模擬）在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是（t為參數），y=2t以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P2+2psin。一3=0.（1）求直線l的極坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于A,B兩點，求|AB|.x=t,解：（1）由S消去t得，y=2x,y=2tx=pcos0,把f代入y=2x,得psin0=2pcos0,y=psin0所以直線l的極坐標方程為sin0=2cos0.(2)因為p2=x2+y2,y=psin也所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2+2y3=0,

13、即x2+(y+1)2=4.圓C的圓心C(0,1)到直線l的距離d=涯,5所以|AB|=2y4d2=為譬.rX=2cosa,2. (2018益陽、湘潭模擬)在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為“(ay=sina為參數).以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為pcosU+3;=2.直線l與曲線C交于A,B兩點.(1)求直線l的直角坐標方程；(2)設點P(1,0),求|PA|PB|的值.解：(1)由 pcos。+； /= 2得 pcos 0cos3：伊而兀1目口1八迅.八10sin3=3，即apcos9-2pBin9=",又pcos0=x,psi

14、n0=y,，直線l的直角坐標方程為x-3y-1=0.X=2cosa,(2)由5(a為參數)得曲線C的普通方程為x2+4y2=4,y=sinax=-23t+1,(t為參數),.P(1,0)在直線l上，故可設直線l的參數方程為v=2t將其代入x2+4y2=4得7t2+443t12=0,- t1 t2 =127，12故|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=了.3.(2018南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程為x=V3+2cosa,、y=2+2sina3(a為參數)，直線C2的萬程為y=-x,以。為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標3系.(1)求曲線C1和直線C2的極坐

15、標方程；(2)若直線C2與曲線C1交于P,Q兩點，求|OP|OQ|的值.p2 2V3 pcos 0 4 psin 0+ 3 =解：(1)曲線Ci的普通方程為(x，3)2+(y2)2=4,即x2+y22j3x4y+3=0,則曲線Ci的極坐標方程為0.;直線C2的方程為y=-3x,，直線C2的極坐標方程為e=3(pCR).36(2)設P(p1,吐Q(p2,02),將°=6(pCR)代入P22V3pcos94psin升3=0得，-5p+3=0,仍因=3，：|OP|OQ|=piP2=3.rX=tcosa,4. (2018福州*II擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C:S(a為參數，t>

16、0).在y=sina以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l:pcos94尸V2.(1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍；6(2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為+"+42,求t的值.解：(1)因為直線l的極坐標方程為pcos94/=V2,即pcos0+psin0=2,所以直線l的直角坐標方程為x+y2=0.X=tcosa,因為(a為參數，t>0),y=sina所以曲線C的普通方程為xr+y2=1(t>0),x+y=2,由卜22消去x得，(1+t2)y24y+4-t2=0,所以A=16-4(1+t2)(4-t2)<0,又t>0,解得0<

17、;t<m,故t的取值范圍為(0,V3).(2)由(1)知直線l的方程為x+y2=0,故曲線 C上的點(tcos a, sin力到l的距離d=|tcosa+sina2|x/t?+1+26故dmax=一J2=226+V2,解得t=02.又t>0,t=J2.X=3cosa,5. （2018重慶模擬）在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程為"（a為參y=v3sina數），以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為pcos。+4i=3卷（1）求曲線Ci的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）若點M在曲線Ci上，點N在曲線C2上，求|MN|的最小值

18、及此時點M的直角坐標.解：（1）由曲線Ci的參數方程可得曲線Ci的普通方程為t+yl,由PCos；=3/2,得pcos0psin0=6,1-曲線C2的直角坐標方程為xy6=0.（2）設點M的坐標為（3cos3,V3sin隊點M到直線x-y-6=0的距離d=13cos3-正而3-6|卜V3sin133/+6|6+2V3sin。3）/V2V2，當sin133廣-i時，|MN|有最小值，最小值為342寸6,此時點M的直角坐標為（3由_亞）6. （20i8昆明模擬）在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為a的直線l過點A（2,i）.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為p=2

19、sin。，直線l與曲線C分別交于P,Q兩點.（i）寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若|PQ|2=|AP|AQ|,求直線l的斜率k.x=2+tcosa,解：（i）由題意知直線l的參數方程為f（t為參數），y=i+tsina因為p=2sin0,所以f2=2psin0,把y=psin0,x2+y2=，代入得x2+y2=2y,所以曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y.（2）將直線l的參數方程代入曲線C的方程，得t2+（4cos力t+3=0,由A=(4cos42-4X3>0,得coso>4,由根與系數的關系，得ti+t2=4cosa,tit2=3.不妨令|AP|=|t|,

20、|AQ|=|t2|,所以|PQ|=|ti12,因為|PQ|2=|AP|AQ|,所以(tit2)2=«i|同,則(ti+12)2=5tit2,得(-4cosa)2=5X3,解得所以COSa=襄，滿足COSo>3,164212J_sina=16tana=否所以,15k= tan a= ±15 .7. （2019屆高三湘東五校聯考）平面直角坐標系xOy中，傾斜角為“的直線l過點M（2, 4）,以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.2八-八psin0=2cosa（1）寫出直線l的參數方程（“為常數）和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與C交于A,B兩點，且|MA|MB|=40,求傾斜角a的值.X=2+tcosa,解：（1）直線l的參數方程為5（t為參數），y=4+tsina222psin0=2cos0,即psin0=2pcos0,將x=pcos0,y=ps