1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用構(gòu)造輔助函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問題對(duì)于證明與函數(shù)有關(guān)的不等式，或已知不等式在某個(gè)范圍內(nèi)包成立求參數(shù)取 值范圍、討論一些方程解的個(gè)數(shù)等類型問題時(shí)，常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導(dǎo)研究其單調(diào)性或?qū)で笃鋷缀我饬x來解決；題目本身特點(diǎn)不同，所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，解題的繁簡程度也因此而不同，這里是幾種常用的構(gòu)造技巧.技法一：“比較法”構(gòu)造函數(shù)典例(2017 廣州模擬)已知函數(shù)f(x) =exax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a 為常數(shù))的圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為一1.(1)求a的值及函數(shù)f (x)的極值；(2)證明：當(dāng) x>0 時(shí)，x2<ex.解(1)由 f(x)=exax,得 f' (

2、x)=exa.因?yàn)?f' (0) =1a= 1,所以 a = 2,所以 f(x)=ex 2x, f' (x)=ex2,令 f' (x)=0,得 x = ln 2 ,當(dāng) x<ln 2 時(shí)，f ' (x) <0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x>ln 2 時(shí)，f ' (x) >0, f (x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln 2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2) =e1n 2 2ln 2 = 2-ln 4 , f(x)無極大值.(2)證明：令 g(x)=ex x2,則 g' (x)=ex2x.由(1)得 g' (x)

3、=f(x) >f(1n 2) >0,故g(x)在R上單調(diào)遞增.所以當(dāng) x>0 時(shí)，g(x) >g(0) = 1>0,即 x2<ex.方法點(diǎn)撥在本例第(2)問中，發(fā)現(xiàn)“x2, ex”具有基本初等函數(shù)的基因，故可選擇對(duì)要 證明的"x2<ex”構(gòu)造函數(shù)，得到“ g(x) = ex x2”，并利用(1)的結(jié)論求解.對(duì)點(diǎn)演練. x . .一，.已知函數(shù)f(x)=r,直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0(x0<1)處的切 e線，求證：f (x) wg(x).證明：函數(shù)f(x)的圖象在x = Xo處的切線方程為y = g(x) =f &#

4、39; (Xo)( x Xo) + f ( Xo).X01 xo exex令 h( x) =f (x) -g(x) =f (x) f ' (xo)( x xo) -f (xo),i,.，1 - x 1 - xo 1 -x e貝U h (x)=f (x) -f (xo) =e-exr=設(shè)(|)(x) =(1 -x) ex0 (1 - xo) ex,則()(x) = _ e x0 _ (1 _ xo) e ,. xo< 1 , . .()' (x) < 0, 小(x)在R上單調(diào)遞減，又(|)(Xo)=0, 當(dāng) x<xo 時(shí)，(I)(x) >0,當(dāng) x>

5、xo 時(shí)，(I)(x) <0,.當(dāng) x<xO時(shí)，h' (x) 當(dāng) x>xo時(shí),h' (x),h(x)在區(qū)間(一oo, xo)上為增函數(shù)，在區(qū)間(xo, +8 )上為減函數(shù),h(x) <h(xo) =0, -f (x) <g(x) .技法二：“拆分法”構(gòu)造函數(shù)be、1典例設(shè)函數(shù)f(x) =aexln x+與一，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切x線為 y = e(x1) +2.(1)求 a, b;(2)證明：f (x) > 1.5一xf, 1、 bex 1 x-1解(1) f (x)=ae(n x + |+藍(lán)(x>。)，由于直線

6、y = e(x1)+2的斜率為e,圖象過點(diǎn)(1,2),所以f 12,f 1e,即上二2,、ae= e,解得a= 1, Jb=2.2ex 1 證明：由(1)知 f(x) = exln x+(x>o), x.一，一一x 2從而 f (x) >1 等價(jià)于 xln x>xe e構(gòu)造函數(shù) g(x)=xln x,則 g' (x)=1 + ln x,所以當(dāng) xG。，1 |忖，g' (x)<0, e當(dāng) xC 1, +°° |寸，g' (x) >0,S Ji / U-八故g(x)在0, e |±單調(diào)遞減，_ 1 Y在+00止單調(diào)

7、遞增，一一 ，,口，1 '1從而g(x)在(0, +8)上的最小值為g - 1=-, 叢e2構(gòu)造函數(shù)h(x)=xee貝(J h，(x) =e x(1 x).所以當(dāng) xc (0,1)時(shí)，h' (x) >0；當(dāng) xC(1, +oo)時(shí)，h' (x) <0；故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1 , +8)上單調(diào)遞減,1從而h(x)在(0, +8)上的取大值為h(1)e綜上，當(dāng) x>0 時(shí)，g(x) >h(x),即 f(x)>1.方法點(diǎn)撥對(duì)于第(2)問“aexln x+'e>1”的證明，若直接構(gòu)造函數(shù) h(x)=aexln x x

8、bex 1+ £-1,求導(dǎo)以后不易分析，因此并不宜對(duì)其整體進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，而應(yīng)先將x不等式“aexln x + be >1”合理拆分為“ xln x>xe x-2冉分別對(duì)左右兩邊xe構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而達(dá)到證明原不等式的目的.對(duì)點(diǎn)演練aln x b.、一已知函數(shù)f(x) =曲線y = f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線萬程為xx十1 x+ 2y 3=0.(1)求a, b的值;ln x 證明：當(dāng)x>0,且xwl時(shí)，f(x) >x-1a2 / x) h一 k x; b解：(1)f (x)=、x+1 2 -7(x>0).1 一由于直線x + 2y 3 = 0的斜率

9、為一2,且過點(diǎn)(1,1),(2)證明:1, 125一 b= b 2.a= 1解得；b= 1.由(1)知 f(x)In x 1+-(x>0), x+ 1 x'''所以f(x)詈=£2-一一x2 1考慮函數(shù) h(x)=2ln x -(x>0),x，2 2x2x2-1則 h (x)=xx2x-1x所以當(dāng) xw1 時(shí)，h' (x) <0.而 h(1) =0,故當(dāng) xC(0,1)時(shí)，h(x)>0,可得 Jh(x)>0; 1x當(dāng) xC(1, +8)時(shí) h(x) <0,可得7h(x)>0.1-x ' 'In

10、x 從而當(dāng) x>0,且 xw 1 時(shí)，f (x) 7>0,x 1ln x即 f(x) >x技法三：“換元法”構(gòu)造函數(shù)典例已知函數(shù)f(x)=ax2+xln x(aC B的圖象在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線 與直線x+3y = 0垂直.(1)求實(shí)數(shù)a的值;m n(2)求證：當(dāng) n>m>0 時(shí)，In n In m>. n m解因?yàn)?f(x) = ax2+xln x,所以 f ' (x) =2ax+ln x+1,因?yàn)榍芯€與直線x + 3y = 0垂直，所以切線的斜率為3,所以 f ' (1) =3,即 2a+1 = 3,故 a=1.m n(2)證明：

11、要證 ln nln m>、一m即證 lnn>m n，只需證 ln n m+ n>0. m n mm n m令n=x,構(gòu)造函數(shù) g(x) = ln x-+x(x>1), mx則 g' (x)=1+3+1. x x因?yàn)?xC 1 , +oo),所以 g' (x) = J + 3+ 1>0, x x故g(x)在(1, +8)上單調(diào)遞增.由已知n>m>0,得n>1, m所以 g(m j> g(i) =0，即證得ln nm- m+ mm> 0成立，所以命題得證.方法點(diǎn)撥對(duì)“待證不等式”等價(jià)變形為“ Inmr m+ m> 0

12、”后，觀察可知，對(duì)" m'進(jìn)行換元，變?yōu)椤?ln x 1 + x>0”，構(gòu)造函數(shù)“ g(x)=ln x-+x(x>1)"來證明xx不等式，可簡化證明過程中的運(yùn)算.對(duì)點(diǎn)演練已知函數(shù)f(x) =x2ln x.(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對(duì)任意的t >0,存在唯一的s,使t=f(s)；2 ,2(3)設(shè)(2)中所確止的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g(t),證明：當(dāng)t >e時(shí)，有5ln g t1;< kln t2解：(1)由已知，得 f ' (x)=2xln x + x = x(2ln x+1)(x>0),1令 f (x)

13、 =0,得 x = -je.當(dāng)x變化時(shí)，f' (x) , f(x)的變化情況如下表：x11、1 ve1工、f' (x)一0十f(x)、極小值單調(diào)遞增區(qū)間是一斗 二一、 口G 1)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是o, je1,(2)證明：當(dāng) 0<x01 時(shí)，f (x) <0,. t>0, .當(dāng) 0<x01 時(shí)不存在 t=f(s).令 h(x)=f(x)t, x 1 , +oo).由知，h(x)在區(qū)間(1, +oo)上單調(diào)遞增.h(1)= 1<0, h(et)=e2tln et t =t (e2t 1) >0.故存在唯一的sC(1, +00),使

14、得t=f(s)成立.(3)證明：因?yàn)?s=g(t),由(2)知，t=f(s),且 s>1,從而ln g tIn sIn t一In fIn ss2ln sn _u=i.= 一-一2ln s + ln In s 2u+ln u'其中u=ln s.2 In g t 1u要使5V 一I<2成立，只需0<ln u<2.當(dāng) t >e2時(shí)，若 s = g(t) we, 則由f(s)的單調(diào)性，有t=f(s)wf(e) = e2,矛盾.所以s>e, 即u>1,從而ln u>0成立.另一方面，令 F(u)=ln u-2, u>1, F(u)=：2,令

15、F' (u) =0,得 u = 2.當(dāng) 1<u<2 時(shí)，F(xiàn)' (u) >0;當(dāng) u>2 時(shí)，F(xiàn)' (u) <0.故對(duì) u>1, F( u) < F(2) <0,因此In r 2 r _2 ln g t 1練上，當(dāng)t>e時(shí)，有5V in t<2.技法四：二次(甚至多次)構(gòu)造函數(shù)典例(2017 廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=ex+m x3, g(x)=ln(x+1)+ 2.(1)若曲線y = f(x)在點(diǎn)(0 , f(0)處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng) mm 1 時(shí)，證明：f(x) >g(x) -

16、x3.解(1)因?yàn)?f(x) = ex+m x3,所以 f' (x)=ex+m 3x2.因?yàn)榍€y = f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線斜率為1,所以 f ' (0) =em= 1,解得 0.(2)證明：因?yàn)?f(x) = ex m x3, g(x) =ln( x+1)+ 2,所以 f (x) >g(x) x3等價(jià)于 ex+m-ln( x+1) 2>0.當(dāng) ml> 1 時(shí)，ex mln( x+1) -2>ex+1-ln( x+1) -2.要證 ex+m-ln( x+1) 2>0,只需證明 ex+1-ln( x+1)-2>0.1設(shè) h(x)

17、=e ln( x+1) 2,貝U h (x) =e -7.x+1設(shè) p(x) =ex1x1,則 p' (x) = ex1+ x1 2>0, x十ix十)1所以函數(shù)p(x)=h (x) = e x7在(一1, +00)上單調(diào)遞增.，11一因?yàn)?h 12 尸笠一2<0, h (0) =e1>0, 1.所以函數(shù) h (x)=e 百1在(- 1，+00)上有唯一零點(diǎn) xo,且XoC1 1八C2, 011因?yàn)?h (xo)=O,所以 exo+1=-,Xo十1即 ln( x0+ 1) = (x0+ 1).當(dāng) xe ( 1, xo)時(shí)，h' (x) <o,當(dāng) xC(x

18、。，+00)時(shí)，h' (x)>o,所以當(dāng)x = xo時(shí)，h(x)取得最小值h(xo),所以 h(x) >h(xo) =ex0+ 1 ln( x0+ 1) -21=.+ (xo+ 1) 2>0.xo十1綜上可知，當(dāng) mE> 1 時(shí)，f (x) >g(x) x3.方法點(diǎn)撥本題可先進(jìn)行適當(dāng)放縮，m> 1時(shí)，ex+mi>ex+ 1,再兩次構(gòu)造函數(shù)h(x), p(x).對(duì)點(diǎn)演練(2016 合肥一模)已知函數(shù) f(x)=ex xln x, g(x) =extx 2+x, tCR, 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線方程；(2)若g(x)f (x)對(duì)任意的xC(0, +8)恒成立，求t的取值范圍.解：(1)由 f (x) =exxln x,知 f ' (x) =