1、國家教師資格考試數學學科知識與教學能力數學學科知識與教學能力溫州大學溫州大學 黃友初黃友初大綱要求 高中：大學本科數學專業基礎課程的知識是指：數學分析、高等代數、解析幾何、概率論與數理統計等大學課程中與中學數學密切相關的內容，包括數列極限、函數極限、連續函數、一元函數微積分、向量及其運算、矩陣與變換等內容及概率與數理統計的基礎知識。 其內容要求是：準確掌握基本概念，熟練進行運算，并能夠利用這些知識去解決中學數學的問題。 初中：大學專科數學專業基礎課程知識是指：數學分析、高等代數、解析幾何、概率論與數理統計等大學專科數學課程中與中學數學密切相關的內容。 其內容要求是：準確掌握基本概念，熟練進行運

2、算，并能夠利用這些知識去解決中學數學的問題。數學分析數學分析函數與極限函數與極限求極限求極限：羅必塔法則、兩個重要極限、無窮小量的等價替換、求分段函數的極限（用定義）、分母（分子）有理化；判斷連續性判斷連續性：一般為分段函數、判斷間斷點的類別。例例1 12723lim.49xxx求解解227723(23)(23)limlim49(49)(23)xxxxxxxx27771limlim(49)(23)(7)(23)xxxxxxx156 為非負整數時有為非負整數時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當方法：方法

3、：以以分母分母中自變量的最高次冪除分子中自變量的最高次冪除分子,分分母母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例2 2).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由準則由準則1得得. 1)12111(lim222 nnnnn例例3 3.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數列證明數列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.l

4、im存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx1sinlim0 xxxexxx )11(limlim(1)bx cabxaex0lim(1)bcabxxaxe例例4 4解解1lim1xxxx121111limlim111xxxxxexxeex例例5 5.sintan,0:的的三三階階無無窮窮小小為為時時當當證證明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 2

5、000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例6 6例例7 7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限窮小代換，而不會改變原式的極限1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(

6、0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數為函數則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0, 0,1, 0,)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數的跳躍間斷點為函數的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2

7、)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數為函數則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數的第二類間斷點為函數的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例8 8解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnl

8、im111lim1 xxe.1 e例例9 9解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數得取對數得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式導數與微分導數與微分復合函數求導、參數方程求導、取對數求導、隱函數求復合函數求導、參數方程求導、取對數求導、隱函數求導、拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西定理、函數的導、拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西定理、函數的極（最）值、凹凸性、曲率極（最）值、凹凸性、曲率0000()()()limxf xxf xfxx

9、 0000()()lim()xf xk xf xkfxn xn 0000( )()limlimxxxf xf xyxxx 分段函數的導數大多需要用定義來求。分段函數的導數大多需要用定義來求。例例1010.arcsin22222的導數的導數求函數求函數axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例1111.)2(21ln32的導數的導數求函數求函數 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx隱函數求導法則隱函數求導法則: :用復合函數求導法則直

10、接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.觀察函數觀察函數.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.-對數求導法對數求導法例例1212,.xyxy已知函數求解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得lnlnyxx兩邊求導得兩邊求導得11lnln1yxxxyx(ln1)(ln1)xyyxxx.,)()(定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx dydydtdxdxdt例例1313解解.sincos

11、33表示的函數的二階導數表示的函數的二階導數求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 近似公式 由以上分析我們可知，當由以上分析我們可知，當|x |很小時，很小時，ydy，即即0()yfxx 000()()()f xxf xfxx令令000()()()f xxf xfxx00 xxxxx x 得得000( )()()()f xf xfxxx00 x 當時( )(0)(0)f xffx例例14141.02

12、3求的近似值解解1.021 0.0233110.021.00673 例例1515ln1.01求的近似值解解ln1.01ln(1 0.01)0.01例例16163求 8.02的近似值解解23338.028 1.00251.00250.002522 (1)2.00167331+0.0025羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數如果函數)(xf在閉區間在閉區間 ,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且在區間端點的函數且在區間端點的函數值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba , ,使得函數使得函數

13、)(xf在該點的導數等于零，在該點的導數等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續上連續在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數如果函數 f(x)在在閉區間閉區間,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,那末在那末在),(ba內至少有一點

14、內至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結論亦可寫成結論亦可寫成三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf及及)(xF 在閉區間在閉區間,ba上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且且)(xF在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內內至少至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()(

15、)()( FfaFbFafbf 成立成立. . 例例1717.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即(0,1)2( )(1)( )0.ff例18：設f（x）在0,1上二階可導，且f(0)=f(1)，證明存在使得解：令( )( )(1)( )F xf xx xfx羅爾定理，因此在（0，1）內至少存在一點使得(

16、)0( )(1)( )0Fff ( )(1)( )( )(1)( )0ffff 顯然F(x)滿足2( )(1)( )0ff 2( )(1)( )0ff泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數如果函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區間的某個開區間),(ba內具有直到內具有直到)1( n階的導數階的導數, ,則則當當x在在),(ba內時內時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(20

17、0000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x與與x之間之間) ). .)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,

18、)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在一階和二階導數一階和二階導數內具有內具有在在上連續上連續在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf ).(xss 單調增函數單調增函數),(yyxxN 設設如圖，如圖，NTMTMNMN ,0時時當當 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(為單調增函數為單調增函數xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo) S S) .M .MC0Myxo.sKM

19、M 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切切線線轉轉角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdK 2、曲率的計算公式、曲率的計算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數圓上各點處的曲率等于半徑的倒數,且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二階可導二階可導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds .1,1 kk即即積

20、分積分不定積分、定積分、定積分的應用不定積分、定積分、定積分的應用注意：換元法注意：換元法.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 23x xdx解解2221332x xdxxdx23xu令令得得223xududx原式原式11322111122312uuduCuC將將x代替代替u得：得：322213(3)3x xdxxC例例 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln sectanttCtax22ax 2

21、2ln.xxaCaa 2,2t.duvuvudv 例例 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環形式注意循環形式xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12一、直角坐標系情形一、直角坐標系情形xxxx x 一一般

22、般地地，如如果果旋旋轉轉體體是是由由連連續續曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區上任取小區間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉轉而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉體的體積為旋轉體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 類類似似地地，如如果果旋旋轉轉體體是是由由連連續續曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所

23、所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcVxoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續續函函數數,)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積

24、級數級數級數的收斂與發散；級數的收斂與發散；冪函數的收斂半徑、收斂區間、收斂域、和函數冪函數的收斂半徑、收斂區間、收斂域、和函數且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發散，則發散，則 1nnv發散發散. .均為正項級數，均為正項級數，和和設設 11nnnnvu比較審斂法比較審斂法的極限形式:設1nnu與1nnv都是正項級數, 如果則(1) 當時, 二級數有相同的斂散性; (2) 當時，若收斂, 則收斂; (3) 當時, 若1nnv發散, 則1nnu發散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu比值審

25、斂法比值審斂法( (達朗貝爾達朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數數, ,如如果果)(lim1 數數或或nnnuu則則1 時時級級數數收收斂斂; ;1 時時級級數數發發散散; ; 1 時時失失效效. .交錯級數及其審斂法定義: 正、負項相間的級數稱為交錯級數. nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則級數收斂則級數收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對

26、值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中任意項級數正項級數定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x121( 1)() .2nnnnxn,0時時當當 x,11 nn級數為級數為,1時時當當 x,)1(1 nnn級數為級數為發散收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.(0,1.例例 求級數求級數 11)1(nnnnx的和函數的和函數. 解,)1

27、()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即高等代數高等代數行列式、逆矩陣、初等變換、求秩、解方程、線性相行列式、逆矩陣、初等變換、求秩、解方程、線性相關和線性無關、二次型、特征值和特征向量關和線性無關、二次型、特征值和特征向量59323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式

28、的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標列標行標行標333231232221131211aaaaaaaaaD 60333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號元素的乘積冠以負號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 61

29、例： 1201201112301112求D=解： 1201001052331111D1211523111 1325781003278 (24 14)10 62例：已知 求3521110513132413D解： 11121314AAAA11213141MMMM111213141111110513132413AAAA4112131411121314115211105013131413MMMMAAAA運算性質運算性質 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 例 設A為三階矩陣 若已知|A|2 求|A|A2AT| 解 (2)664|A|3|A2|AT| |A|A2AT| |A|3|A2AT|

30、 |A|3|A|A|A|A|6 64定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA這里這里 是行列式是行列式|A|A|中中 元素的代數余子式元素的代數余子式（注意注意：不是余子式）。：不是余子式）。ijAija65 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運算性質逆矩陣的運算性質 且且可逆可逆則則數數可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .1

31、11 AA 66例：設為三階方陣，|A|=1/2，計算 1(3 )2AA解：1111|2AAAA AAA 111111114(3 )22( 1/2)333AAAAAAA314|3A11111| |12nnAAIAAAAIAA 1(3 )2AA314128|327A 67證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設方陣設方陣EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A68022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA341

32、21 且且.43AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA69. ,343122321 1 AA求求設設 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 70 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r71做初等變換，做初等變換，對矩陣對矩陣 510231202231A例題例題,0

33、00031202231510231202231 顯然，非零行的行數為顯然，非零行的行數為2， . 2 AR( )()r Ar A b( )()r Ar A b( )()r Ar A b1、若2、若3、若，則該線性方程組無解。而且都等于n，則該線性方程組有且只有唯一組解。而且都小于n，則該線性方程組有無窮多組解。例：解方程組 12341234123423023550470 xxxxxxxxxxxx121312131213235507311073114171073110000A解： 13423433441317731177xxxxxxxxxx 12131013/71/7013/711/7013/7

34、11/70000000033447007xxxx取和112233441313117007xxxxxxxx 得和12( 13, 3,7,0) ,(1,11,0,7) 即為方程的基礎解系 方程的解為 112212,kkk kR，如果一個方程組的系數矩陣的秩為，那它的基礎解系有個解向量。 例：求解下列非齊次線性方程組： 1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解：對方程組的增廣矩陣作如下初等變換： 113111131111311313440467104671159800467100000A335101131124437137101012442440000000000 因

35、此方程的系數矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等都等于24因此方程組有無窮多組解。 由上面矩陣可將方程組化為： 134134234234335533244424371137244424xxxxxxxxxxxx 得到方程組的一個特解: 51,0,044對應齊次方程組的基礎解系有422個，我們取 334410,01xxxx分別得到一組線性無關的基礎解系： 1122123344332437,241001xxxxxxxx 故方程組的解為 1 122Xkk12,k kR說明說明., 0. 1言言的的特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而特特征征向向量量 x 2.,0,0.nAIA xIAA階方陣 的特征值 就是

36、使齊次線性方程組有非零解的值即滿足方程的 都是矩陣 的特征值一、特征值與特征向量的概念., , 1的特征向量的特征向量的對應于特征值的對應于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數這樣的數那末那末成立成立使關系式使關系式維非零列向量維非零列向量和和如果數如果數階矩陣階矩陣是是設設定義定義 AxAxAxxnnA 3.0IA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程為未知數的一元為未知數的一元稱以稱以n 0IA. 的的為為A特征方程特征方程,次多項式次多項式的的它是它是n 記記 fIA稱其稱其. 的的為方陣為方陣A特征多項式特征多項式 則則有

37、有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 例例 設設,314020112 A求求A A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解211020413IA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解方程解方程時時當當. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基礎解系得基礎解系的的全全體體特特征征向向量量為為故故對對應應于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時時當當. 02,232 xEA ,0000001141140001142 E

38、A得基礎解系為：得基礎解系為：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應應于于 ).0,(323322不不同同時時為為kk pkpk 相似矩陣與相似變換.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進行相似變換進行相似變換稱為對稱為對行運算行運算進進對對相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設設定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 定理定理：設是階方陣，則相似于一個對角陣的充分必要條件是恰有個線性無關的特征向量。 其中為的個線性無關的特

39、征向量拼成的矩陣， 且這個對角陣主對角線上的個元素就是的特征值。 推論推論：階陣有個不同的特征值，則必相似于一個對角陣。 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重根，對應的特征矩陣的秩是。11nnBP APBP A P定義定義：設有n個變元 12,nx xx的二次多項式： 21211 1121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x2222222nna xa x x2nnnna x稱為是n個變元的實二次型。 具有以下特點： 1、每一項中變元的次數加起來都等于2。 2、前面的系數等于，前面的系數等于 2ixiia()ijx x ij2ija3、都是實數。 ija212

40、11 1121211221212222221122( ,)nnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x若把實二次型寫成以下形式： 因此上式的系數就是一個方陣，因為 ijjiaa是一個對稱實方陣，系數矩陣為： 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa111211212222121212( ,)( ,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx Axx xxaaax同時，我們也可以把二次型寫成矩陣形式： 例：求實對稱矩陣對應的二次型： 11011021022A122123123211223331101(

41、,)( ,)102221022xf x x xx x xxxx xx xxx 解：解析幾何解析幾何向量的點乘、叉乘，以及它們所表示的意義；向量的點乘、叉乘，以及它們所表示的意義；曲線方程、曲面方程；曲線方程、曲面方程；直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。夾角。ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數量積也稱為數量積也稱為“點積點積”、“內積內積”.結論結論 兩向量的數量積等于其中一個向量的兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的

42、模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .zzyyxxbabababa 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ba0 zzyyxxbababa例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a

43、與與b的夾角的夾角)定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.可用三階行列式表示可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出補充補充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.abbac 例例 4 4 在頂點為在頂點為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1,

44、 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BDxozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz （2）點）點M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0

45、,22 zyxfyoz坐標面上的已知曲線坐標面上的已知曲線0),( zyf繞繞z軸旋軸旋轉一周的轉一周的旋轉曲面方程旋轉曲面方程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf例例6 6 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czyax122222 czayx旋轉雙曲面旋轉雙曲面（2）橢橢圓圓

46、012222xczay繞繞y軸軸和和z軸軸；繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22

47、拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：一、空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx 當當給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數數的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數方程空間曲線的參數方

48、程二、空間曲線的參數方程 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關于曲線關于 的的投影柱面投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標面上的投影xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內的任一向量垂直于平面內的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平

49、面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 AB1, 3,

50、2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCz

51、ByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.例例 3 3 設平面過原點及點設平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設平面為設平面

52、為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 4 4 設設平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設

53、方程得代入所設方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設平面為設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體

54、積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /

55、.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM

56、兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設設),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|

57、222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間

58、直線的對稱式方程與參數方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數方向數方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數方程直線的參數方程例例1 1 用對稱式方程及參數方程表示直線用對稱式方程及參數方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標點坐標),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取

59、21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數方程參數方程.3241 tztytx例例 2 2 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾

60、角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求過點求過點)5, 2, 3( 且與兩平面且與兩平面34 zx和和152 zyx的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.解解設所求直線的方向向量為設所求直線的方向向量為,pnms 根據題意知根據題意知,1ns ,2ns 取取2