1、第一篇 以二次函數為基架探究點的存在性問題五.以特殊四邊形為條件的存在問題26（2011臨沂市 本小題滿分13分）如圖：二次函數y=x2 + ax + b的圖象與x軸交于A（-，0），B（2，0）兩點，且與y軸交于點C（1）求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；（2）在x軸上方的拋物線上有一點D，且A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；（3）在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由第26題圖解：（1）根據題意，將，B（2，0）代入中， 得 解這個方程，得該拋物線的解析式為 (2分當時，.

2、點的坐標為. 在中， .在中， .，是直角三角形. (4分（2）點的坐標為 (6分（3）存在.(7分由（1）知，. 若以BC為底邊，則BCAP，如圖5所示. 可求得直線BC的解析式為.(8分直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設直線AP的解析式為.把點代入直線的解析式， 求得，直線AP的解析式為. (9分點既在拋物線上，又在直線上, 點的縱坐標相等， 即解得(不合題意，舍去. 當時，.點的坐標為.(10分若以為底邊，則BPAC，如圖6所示. 可求得直線的解析式為. (11分直線可以看作是由直線平移得到的， 所以直線的解析式為. 把點代入直線的解析式，求得直線的解析式為.(12分點既在拋

3、物線上，又在直線上. 點的縱坐標相等, 即.解得 (不合題意，舍去. 當時，.點的坐標為.綜上所述，滿足題目條件的點為或.(13分23（2010河南省11分）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A，B，C三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標27（2010貴州省遵義市14分）如圖，已知拋物線的頂點坐（27題圖）標為 Q ，且與 軸交于點 C ，與 軸交于

4、A 、 B 兩 點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD軸，交AC于點D(1求該拋物線的函數關系式；(2當ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3在問題(2的結論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）（3分）拋物線的頂點為Q（2，-1）設將C（0，3）代入上式，得， 即 （2）（7分）分兩種情況：(3分當點P1為直角頂點時,點P1與點B重合(如圖令=0, 得解之得, 點A在點B的右邊, B(1,0, A(3,0P1(1,0(4分解:當點A

5、為APD2的直角頂點是(如圖OA=OC, AOC=, OAD2=當D2AP2=時, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2軸, P2D2AO, P2、D2關于軸對稱.設直線AC的函數關系式為將A(3,0, C(0,3代入上式得, D2在上, P2在上,設D2(, P2(,(+(=0, , (舍當=2時, =-1P2的坐標為P2(2,-1(即為拋物線頂點P點坐標為P1(1,0, P2(2,-1(3(4分解: 由題(2知,當點P的坐標為P1(1,0時,不能構成平行四邊形當點P的坐標為P2(2,-1(即頂點Q時,平移直線AP(如圖交軸于點E,交拋物線于點F.當AP=FE時,四邊形PAFE是平行四

6、邊形P(2,-1, 可令F(,1解之得: , F點有兩點,即F1(,1, F2(,126. (2010河池市 本小題滿分12分 如圖11，在直角梯形中，點為坐標原點，點在軸的正半軸上，對角線，相交于點，（1）線段的長為 ，點的坐標為 ；圖11（ 2 ）求 的面積； （3）求過，三點的拋物線的解析式；（4）若點在（3）的拋物線的對稱軸上，點為該拋物線上的點，且以，四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標D解：（ 1 ） 4 ； . （ 2 分） （2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4， OAMBCM （3分）又 OA=2BC AM2CM ，CMAC （4分）所以 （5分）（注：另有其它解法

7、同樣可得結果，正確得本小題滿分.）（3）設拋物線的解析式為由拋物線的圖象經過點,.所以 （6分）解這個方程組，得， （7分）所以拋物線的解析式為 （8分）（4） 拋物線的對稱軸是CD， 當點E在軸的下方時，CE和OA互相平分則可知四邊形OEAC為平行四邊形，此時點F和點C重合，點F的坐標即為點； （9分） 當點E在軸的下方，點F在對稱軸的右側，存在平行四邊形，且，此時點F的橫坐標為6，將代入，可得.所以. （11分）同理，點F在對稱軸的左側，存在平行四邊形，且，此時點F的橫坐標為，將代入，可得.所以.（12分）綜上所述，點F的坐標為，. （12分）26.（山東省煙臺市 本題滿分14分）如圖，已

8、知拋物線y=x2+bx3a過點A（1，0），B（0，3），與x軸交于另一點C.（1）求拋物線的解析式；（2）若在第三象限的拋物線上存在點P，使PBC為以點B為直角頂點的直角三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點Q，使以P，Q，B，C為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y=x2+bx3a中，得1+b3a=03a=3 a=1解得b=2拋物線的解析式為y=x2+2x34分（2）令y=0，得x2+2x3=0，解得x1=3，x2=1點C（3，0）5分B（0，3） BOC為等腰直角三角形.CBO=45°6分過點P作PDy軸，垂足為D， PBBC，PBD=45°PD=BD8分所以可設點P（x，3+x）則有3+x=x2+2x3，x=1，所以P點坐標為（1，4）10分 （3）由（2）知，BCBP當BP為直角梯形一底時，由圖象可知點Q不可能在拋物線上.若BC為直角梯形一底，BP為直角梯形腰時，B（0，3），