1、第十三章 實數 城關一中 高學斌13.1平方根（一）教學目標：一知識與技能1.了解算術平方根的概念，會求正數的算術平方根并會用符號表示，并了解算術平方根的非負性。2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的算術平方根。二過程與方法經歷探索算術平方根的過程，能用平方根運算求某些非負數的算術平方根。三情感態度與價值觀 通過學習算術平方根，認識數學與人類生活的密切關系。教學重點：算術平方根的概念。教學難點：根據算術平方根的概念正確求出非負數的算術平方根。教學過程設計：一、情境導入活動一：問題（1）學校要舉行金秋美術作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為25的正方形畫布，畫上自己的得意之

2、作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？如果這塊畫布的面積是1,9,16,36，時，邊長有分別是多少呢？你是怎樣求出來的？【師生活動】：教師展示并提出問題。學生獨立思考并回答。教師聽學生解題過程并總結如下：因為=25，所以正方形畫布的邊長是5dm。在此基礎上，學生獨立完成面積是1,9,16,36，時，正方形的邊長分別是1,3,4,6，。（2）已知一個正數的平方，怎樣求出這個正數呢？【師生活動】：教師提出問題。學生梳理思路，陳述觀點。教師對學生回答做出總結：已知一個正數的平方，求出這個正數是平方運算的逆運算。在此基礎上教師給出算術平方根的有關概念及規定。 一般地，如果一個正數x的平方等于a，即

3、=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數規定：0的算術平方根是0. 也就是，在等式=a (x0)中，規定x =. （3） 試一試：你能根據等式：=144說出144的算術平方根是多少嗎？并用等式表示出來 【師生活動】：教師提出問題。學生獨立思考并回答。建議：求值時，要按照算術平方根的意義，寫出應該滿足的關系式，然后按照算術平方根的記法寫出對應的值例如表示25的算術平方根。評：設置這一問題，讓學生對“”具體含義有一個更深刻的理解。二、范例學習，應用新知活動二：例題例1 求下列各數的算術平方根： （1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001【師生

4、活動】：教師展示并提出問題學生獨立思考，動手完成。教師規范學生的語言敘述和書寫：因為=100，所以100的算術平方根是10，即=10。三、課堂練習P69練習 1、2。四、小組合作，拓展延伸活動三：問題探究：（課本第69頁）問題：你能用兩個面積為1的兩小正方形拼成一個面積為2的大正方形？這個大正方形的邊長應該是多少呢？你是怎樣算出來的？【師生活動】：教師展示并提出問題，學生以小組為單位，動手剪拼。教師深入小組參與活動，幫助指導學生完成拼圖活動。方法1：課本中的方法， 方法2： 生：寫書或說出結果：設大正方形的邊長是x，則=2，x=.問題：大正方形的邊長是，表示2的算術平方根，它到底是個多大的數？

5、你能求出它的值嗎？建議學生觀察圖形感受的大小小正方形的對角線的長是多少呢？（用刻度尺測量它與大正方形的邊長的大小）它的近似值我們將在下節課探究五、小結:1、這節課學習了什么呢？ 2、算術平方根的具體意義是怎么樣的？3、怎樣求一個正數的算術平方根【師生活動】：教師提出問題。學生自由發表對本科的理解，針對學生存在的問題，讓學生之間互相講解，最后教師明確如下內容：（1）算術平方根是非負數；（2）被開方數是非負數；（3）已知一個正數的平方，求出這個正數是平方運算的逆運算。六、課外作業：P75習題13.1活動第1、2、3題13.1平方根（二）教學目標：一知識與技能1、會用計算器求一個數的算術平方根；理解

6、被開方數擴大（或縮小）與它的算術平方根擴大（或縮小）的規律。2、能用夾值法求一個數的算術平方根的近似值。3、了解“無限不循環小數”的特點。二過程與方法通過，培養估值意識，了解從兩個方向無限逼近的數學思想。三情感態度與價值觀通過探究活動，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，提高學習興趣。教學重點：夾值法及估計一個（無理）數的大小，初步感受無理數。教學難點：夾值法及估計一個（無理）數的大小的思想。探究的大小大小的過程。教學過程設計：一、情境導入我們已經知道：正數x滿足=a,則稱x是a的算術平方根當a恰是一個數的平方數時，我們已經能求出它的算術平方根了，例如，=4；但當a不是一個數的平方數時，它的算術平

7、方根又該怎祥求呢？例如課本第161頁的大正方形的邊長等于多少呢？二、導入新課：活動一： 1、 問題：你能估計究竟有多大嗎？它會在一個什么范圍內？越精確越好。【師生活動】：教師展示并提出問題。學生在獨立思考的基礎上，分組活動。教師深入學生小組參與活動，聽取學生交流，對學生的探究過程進行指導和幫助。讓學生思考討論并利用平方的運算可以得出=1, ()2=2, =4，可直接的出大于1而小于2，那么了是1點幾呢？由教師引導學生繼續拓展：=1.96，=2.25得出1.41.5.這樣一步一步的緊逼，推出的精確近似值=1.41421356.） 引導學生對探究的結果進行總結和交流，在此基礎上教師明確：是一個“無

8、限不循環小數，許多正有理數的算術平方根都是無限不循環小數，如，等。注意：關于是一個“無限不循環小數”要向學生詳細說明為無理數的概念的提出打下基礎2、（提出問題）：你對正數a的算術平方根的結果有怎樣的認識呢？【師生活動】：教師展示并提出問題。學生在獨立思考的基礎上，分組活動。師生共識：的結果有兩種情： 是一個有限數； 是一個無限不循環小數。教師講評：許多正有理數的算術平方根都是無限不循環小數，因此求一個正數的算術平方根，往往要借助計算器，大多數計算器都有“”鍵，用它可以求出一個正數的算術平方根。活動二： 例2 用計算器求下列各式的值： （1）（2）（精確到0.001）【師生活動】：教師展示并提出

9、問題。學生閱讀教材后獨立完成。教師巡回觀察學生用計算器的方法，并指出不同品牌的計算器按鍵的順序不同。問題：計算器上顯示的的值是準確值嗎？學生回答：計算器上顯示的也只是近似值，我們可以利用計算器方便地求出一個正數的算術平方根的近似值活動三：問題探究：（1）利用計算器計算，并將計算的結果填在表里，你發現了什么規律，你能說出其中的道理嗎？ 【師生活動】：教師展示并提出問題。學生獨立完成填表后，小組討論。教師巡回觀察，聽取學生交流，對學生的探究過程進行指導和幫助。引導學生對探究的結果進行總結和交流，在此基礎上教師明確：當被開方數的小數點向右移動2位，算術平方根的小數點只向右移動1位；當被開方數的小數點

10、向左移動2位，算術平方根的小數點只向左移動1位。因為6.25=0.0625100，100的算術平方根是10，所以當被開方數0.625擴大100時，它的算術平方根只擴大10倍。（2）利用計算器計算（精確到0.001），并利用你發現的規律說出，的近似值，你能根據的值說出是多少嗎？學生活動：根據上述規律學生很快發現由得近似值得到，的近似值，同時發現由得近似值不能求出的值。例3（課本P71-72）【師生活動】：教師展示并提出問題學生獨立思考，動手完成教師巡回觀察，聽取學生交流，對學生的探究過程進行指導和幫助。引導學生明確解題思路：能否裁出符合要求的紙片，就是要比較兩個圖形的邊長，而由題意，易知正方形的

11、邊長是20 cm，所以只需求出長方形的邊長，設長方形的長和寬分別是3xcm和2xcm,求得長方形的長為3cm后，接下來的問題是比較3和20的大小，這是個難點。讓學生充分討論。由于5049，所以7，那么321三、練習：課本P72的練習 1、2四、小結：1、利用計算器可以求出任意正數的算術平方根的近似值.2、被開方數擴大（或縮小）與它的算術平方根擴大（或縮小）的規律是怎樣的呢？3、怎樣的數是無限不循環小數？五、作業課本：P75-76習題13.1 第5、6、9、10題；13.1平方根（三）教學目標：一知識與技能能用符號正確地表示一個數的平方根，理解開平方運算和乘方運算之間的互逆關系，能用平方運算求某

12、些非負數的平方根。二過程與方法經歷探究平方根的概念的過程，感受平方根和算術平方根之間的聯系和區別. 三情感與價值觀培養事物的判斷能力，體會數系擴展的實際應用價值。教學重點：平方根的概念和求數的平方根。教學難點：平方根和算術平方根的聯系與區別教學過程設計：一.創設問題情境，引入新課上節課我們學習了算術平方根的概念，性質.知道若一個正數x的平方等于a，即x2=a.則x叫a的算術平方根，記作x=，而且也是非負數，比如正數22=4，則2叫4的算術平方根，4叫2的平方，但是(2)2=4，則2叫4的什么根呢？下面我們就來討論這個問題.二.講授新課1.平方根、開平方的概念活動一：師請大家先思考兩個問題.(1

13、)9的算術平方根是3，也就是說，3的平方是9，還有其他的數，它的平方也是9嗎？(2)平方等于的數有幾個？平方等于0.64的數呢？生3的平方也是9.的平方是，的平方也是，即平方等于的數有兩個.生平方等于9的數有兩個，平方等于的數有兩個，由此可知平方等于0.64的數也有兩個.師根據上一節課的內容，我們知道了3是9的算術平方根，是的算術平方根，那么3，叫9、的什么根呢？請大家認真看書后回答.學生閱讀教材P73內容后回答。生3，分別叫9、的平方根.師那是不是說3叫9的算術平方根，3也叫9的算術平方根，即9的算術平方根有一個是3，另一個是3呢？生不對.根據平方根的定義，一般地，如果一個數x的平方等于a，

14、即x2=a，那么這個x就叫a的平方根(square root)，也叫二次方根，3和3的平方都等于9，由定義可知3和3都是9的平方根，即9的平方根有兩個3和3，9的算術平方根只有一個是3.師由平方根和算術平方根的定義，大家能否找出它們有什么相同和不同之處呢？請分小組討論后選代表回答.生平方根的定義中是有一個數x的平方等于a，則x叫a的平方根，x沒有肯定是正數還是負數或零；而算術平方根的定義中是有一個正數x的平方等于a，則x叫a的算術平方根，這里的x只能是正數.由此看來都有x2=a，這是它們的相同之處，而x的要求不同，這是它們的不同之處.師生共識這位同學分析判斷能力特棒，下面我們再詳細作一總結.

15、平方根與算術平方根的聯系與區別聯系：(1)具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.(2)存在條件相同：平方根和算術平方根都是只有非負數才有. (3)0的平方根，算術平方根都是0.區別：(1)定義不同：“如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根”；“非負數a的非負平方根叫a的算術平方根”.(2)個數不同：一個正數有兩個平方根，而一個正數的算術平方根只有一個.(3)表示法不同：正數a的平方根表示為，正數a的算術平方根表示為.(4)取值范圍不同：正數的平方根一正一負，互為相反數；正數的算術平方根只有一個.師怎樣用符號表示一個非負數的平方根？生(1)(a0)表示a的平方根，

16、讀作正、負根號a。(2) (a0) 表示a的算術平方根，讀作負根號a。(3)(a0) 表示a的算術平方根的相反數。(4)當a0是.、均無意義師什么叫開平方呢？生求一個數a的平方根的運算，叫開平方(extraction of square root)，其中a叫被開方數.師我們共學了幾種運算呢，這幾種運算之間有怎樣的聯系呢？請大家討論后回答.生我們共學了加、減、乘、除、乘方、開方六種運算.加與減互為逆運算，乘與除互為逆運算，乘方與開方互為逆運算.2.平方根的性質師請大家思考以下問題.(1)一個正數有幾個平方根.(2)0有幾個平方根?(3)負數呢？生第一個問題在前面已作過討論，一個正數9有兩個平方根

17、3和3；因為只有零的平方為零，所以0有一個平方根是零.因為任何數的平方都不是負數，所以負數沒有平方根，例如3沒有平方根.師生共識平方根的性質：一個正數有兩個平方根，且它們互為相反數；0有一個平方根是0，負數沒有平方根.師怎樣用符號表示一個非負數的平方根？生1.(a0)表示a的平方根，讀作正、負根號a。2. (a0) 表示a的算術平方根，讀作負根號a。3.(a0) 表示a的算術平方根的相反數。4當a0是.、均無意義。3.講解例題例求下列各數的平方根.(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(25)2；(5)11.4.想一想(1)()2等于多少？()2等于多少？(2)()2等于多少？(3)對

18、于正數a，()2等于多少？三.課堂練習(一)隨堂練習1.求下列各數的平方根1.44，0，8，441，196，104 2.填空(1)25的平方根是_；(2) =_；(3)()2=_.(二)補充練習1.判斷下列各數是否有平方根？并說明理由.(1)(3)2；(2)0；(3)0.01；(4)52；(5)a2；(6)a2 2a+22.求下列各數的平方根.(1)121；(2)0.01；(3)2；(4)(13)2；(5)(4)3.課時小結本節課學了如下內容.1.平方根的概念.2.平方根的性質.3.平方根與算術平方根的區別與聯系.4.求某些非負數的算術平方根和平方根.四.課后作業習題2.4.五.活動與探究1.

19、對于任意數a，一定等于a嗎？2.中的被開方數a在什么情況下有意義，()2等于什么？解：因為任意數的平方都是非負數，也就是非負數才有平方根，所以被開方數a必須是正數或零，即非負數時有意義.所以()2=a(a0)13.2立方根（一）教學目標：一知識與技能1、了解立方根的概念，初步學會用根號表示一個數的立方根.2、了解開立方與立方互為逆運算，會用立方運算求某些數的立方根. 3、讓學生體會一個數的立方根的惟一性.二過程與方法經歷探索立方根的過程，掌握立方根的運算方法，并且能區別平方根與立方根。三情感態度與價值觀培養學生求同存異的數學思維，體會立方根的數學內涵。教學重點：立方根的概念和求法。教學難點：立

20、方根與平方根的區別。教學過程設計：一、情境導入：活動一：問題：要制作一種容積為27 m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的邊長應該是多少？【師生活動】：教師展示并提出問題。學生獨立思考并回答。教師聽學生解題過程并總結如下：設這種包裝箱的邊長為x m,則=27這就是求一個數，使它的立方等于27. 因為=27， 所以x=3. 即這種包裝箱的邊長應為3 m二、新課：在此基礎上教師類似與平方根給出立方根的有關概念及規定。1、歸納 ：如果一個數的立方等于，這個數叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根。一個數的立方根，記作，讀作：“三次根號”，其中叫被開方數，3叫根指數，不能省略，若省略

21、表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.2、探究： 根據立方根的意義填空，看看正數、0、負數的立方根各有什么特點？ 因為，所以8的立方根是（ 2 ） 因為，所以0.125的立方根是（ ）因為，所以8的立方根是（ 0 ）因為，所以8的立方根是（ ）因為，所以8的立方根是（ ）【師生活動】：教師提出問題。學生獨立思考并回答后分組交流得出結論。一個正數有一個正的立方根0有一個立方根，是它本身一個負數有一個負的立方根任何數都有唯一的立方根 【總結歸納】 3、探究： 因為所以 = 因為，所以 = 【師生活動】：教師提出問題。學生獨立思考并回答后互相討論。利用開立方和立方互為逆運算關系，求一個

22、數的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗其正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數，即。4、 例 求下列各式的值：（1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）【師生活動】：教師展示并提出問題學生獨立思考，動手完成。教師規范學生的語言敘述和書寫；同時要求學生注意各個式子表示的意義。注意區分算術平方根、平方根與立方根的表達式和運算結果。三、練習：課本P79練習1、2、3四、小結：1.立方根和開立方的定義2.正數、0、負數的立方根的特征3.立方根與平方根的異同五、作業： P80習題13.2第1、3、5、6題13.2立方根（二）教學目標：一知識與技能1、使學生

23、進一步理解立方根的概念，并能熟練地進行求一個數的立方根的運算.2、能用有理數估計一個無理數的大致范圍，使學生形成估算的意識，培養學生的估算能力。二過程與方法經歷用有理數估計一個無理數的大致范圍，體會有理數的立方根是無限不循環小數，以及無理數用近似的有理數表示的實際意義。三情感態度與價值觀培養學生體會數學的轉化思想在實際生活中的重要意義。教學重點：用有理數估計一個無理數的大致范圍。教學難點：用有理數估計一個無理的大致范圍。教學過程設計：一、復習引入：活動一：1、求下列各式的值 ；二、新課：活動二：1、問題：有多大呢？因為，所以因為，所以因為，所以教師展示并提出問題。學生在獨立思考的基礎上，分組活

24、動。并得出如下結論：如此循環下去，可以得到更精確的的近似值，它是一個無限不循環小數，=一3684 031 49事實上，很多有理數的立方根都是無限不循環小數我們用有理數近似地表示它們2、利用計算器來求一個數的立方根：操作 用計算器求數的立方根的步驟及方法：用計算器求立方根和求平方根的步驟相同，只是根指數不同。步驟：輸入 被開方數 = 根據顯示寫出立方根.例：求5的立方根（保留三個有效數字） 被開方數 = 1.709975947所以 探究：1、利用計算器計算，并將計算結果填在表中，你發現了什么嗎？你能說說其中的道理嗎？2、用計算器計算（結果個有效數字）。并利用你發現的規律說出，的近似值。三、練習1

25、、課本P79的練習2.四、小結：1、立方根的概念和性質。2、用計算器來求一個數的立方根。五、作業：P80習題13.2第4、8題13.3實數（一）教學目的：一知識與技能1、了解無理數和實數的概念；會對實數按照一定的標準進行分類，培養分類能力；2、知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；3、了解分類的標準與分類結果的相關性，進一步了解體會“集合”的含義；二過程與方法經歷對實數的分類的過程，發展學生的分類意識。三情感態度與價值觀通過了解數系的擴充體會數系擴充對人類發展的作用。教學重點：正確理解實數的概念，以及實數的分類。教學難點：對無理數的認識。教學過程設計：一、情境導入活動一

26、：問題（1）使用計算器計算，把下列有理數寫成小數的形式，你有什么發現？ 3 ， ， ， ， ，【師生活動】：教師展示并提出問題。學生借助計算器計算，教師引導學生觀察結果得出結論：上面的有理數都可以寫成有限小數或者無限循環小數的形式 即 ， ， ， ， ， 。任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式。反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數。（2）我們學過的數是否都具有（1）中數的特征？【師生活動】：教師提出問題。學生回顧思考，通過學生對有理數的再認識，師生共同得出像、等無限不循環小數不具備（1）中數的特征，從而得出無限不循環小數既不是整數也不是分數的結論，而是一類新數。從而教

27、師給出無理數的概念：無限不循環小數，我們稱它為無理數觀察 通過前面的探討和學習，我們知道，很多數的平方根和立方根都是無限不循環小數， 也是無理數結論 :有理數和無理數統稱為實數二、自主探究，領悟內涵活動二：問題我們知道，每一個有理數都可以用數軸上的點表示，那么無理數是否可以數軸上的點表示出來呢？你能在數軸上找到表示、這樣的無理數的點嗎？【師生活動】：教師提出問題。學生獨立思考后小組討論交流，教師參與與指導。并得出實數與數軸上的點是一一對應關系。如圖所示，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點O，點O的坐標是多少？ O O 活動三：問題（1） 你能對學過的數進行分

28、類嗎？【師生活動】：教師提出問題。學生獨立思考后小組討論。教師啟發學生類比有理數的分類，明確分類的原則：不重不漏。并幫助學生總結結構圖： 鼓勵學生從不同的角度分類。 （2）應用遷移，鞏固提高例1 把下列各數分別填入相應的集合里： 正有理數 負有理數 正無理數 負無理數 備選例題 下列實數中是無理數的為（ ） A. 0 B. C. D. 三、課堂練習課本第86頁練習第1題四、總結反思，拓展升華小結 通過這節課的學習，你有什么收獲？1、什么叫做無理數？2、什么叫做有理數？3、有理數和數軸上的點一一對應嗎？4、無理數和數軸上的點一一對應嗎？5、實數和數軸上的點一一對應嗎？五作業必做：教材習題133第

29、1、2、3題；選做：教材習題133第7題。13.3實數（二）教學目標一知識與技能學會比較兩個實數的大小；了解在有理數范圍內的運算及運算法則、運算性質等在實數范圍內仍然成立，能熟練地進行實數運算；在實數運算時，根據問題的要求取其近似值，轉化為有理數進行計算；二過程與方法經歷實數范圍內的運算過程，掌握相反數、倒數、絕對值的思想方法。三情感態度與價值觀通過實數范圍內的運算，感受實數的應用價值。重點、難點 重點:熟練地進行實數運算 難點:在實數運算時，根據問題的要求取其近似值，轉化為有理數進行計算；教學過程設計：一.比一比活動一：1、問：利用數軸，我們怎樣比較兩個有理數的大小？2、我們還有什么方法可以