1、專題五數列、不等式、推理與證明測試題(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知無窮數列an是各項均為正數的等差數列，則有()A.<B.C.>D.解析a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2，a(a15d)2a10a1d25d2，故.答案B2已知數列an的前n項和Snn29n，第k項滿足5<ak<8，則k()A9 B8C7 D6解析由題意知，數列an為等差數列，anSnSn12n10，由5<2k10<8，kN*，得到k8.答案B3對于非零實數a、b，“

2、b(ba)0”是“1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析a0，b0，故有b(ba)00101.故選C.答案C4已知函數f(x)，若f(2a2)>f(a)，則實數a的取值范圍是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析由題知f(x)在R上是增函數，可得2a2>a，解得2<a<1，故選C.答案C5已知數列an的前n項和Snan1(a是不為0的實數)，那么an()A一定是等差數列B一定是等比數列C可能是等差數列，也可能是等比數列D既不可能是等差數列，也不可能是等比數列答案C6等差數列an中，Sn是其前n項和，a

3、12 008，2，則S2 008的值為()A2 006 B2 006C2 008 D2 008解析由已知2的結構，可聯想到等差數列an的前n項和Sn的變式，a1(n1)，故由2，得1，2 008(2 0081)·11，S2 0082 008.答案C7已知a0，b0，且ab2，則()AabBabCa2b23 Da2b22解析a0，b0，且ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.答案D8已知等比數列an中，a21，則其前3項的和S3的取值范圍是()A(，1B(，1)(1，)C3，)D(，13，)解析等比數列an中，a21，S3a1a2a3a21q.當公比q>0

4、時，S31q12 3，當公比q<0時，S3112 1，S3(，13，)答案D9(2011·廣東廣州模擬)p，q· (m、n、a、b、c、d均為正數)，則p、q的大小關系為()ApqBpqCp>qD不確定解析q p，故選B.答案B10設Sn123n，nN*，則函數f(n)的最大值為()A.B.C.D.解析由Sn得f(n)，當且僅當n，即n8時取等號，即f(n)maxf(8).答案D11(2012·廣東)已知變量x，y滿足約束條件，則z3xy的最大值為()A12 B11C3 D1解析先畫出可行域如圖所示，再將z3xy變形為截距式方程y3xz，把l0：y3x

5、平移到經過點A(3,2)時，截距z有最大值，zmax3×3211.答案B12(2012·浙江)設Sn是公差為d(d0)的無窮等差數列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()A若d<0，則數列Sn有最大項B若數列Sn有最大項，則d<0C若數列Sn是遞增數列，則對任意nN*，均有Sn>0D若對任意nN*，均有Sn>0，則數列Sn是遞增數列解析由于Snna1dn2n，根據二次函數的圖象與性質知當d<0時，數列Sn有最大項，即選項A正確；同理選項B也是正確的；而若數列Sn是遞增數列，那么d>0，但對任意的nN*，Sn>0不成立，即選項C錯誤；

6、反之，選項D是正確的答案C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上13在公差為d(d0)的等差數列an中，若Sn是an的前n項和，則數列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數列，且公差為100d.類比上述結論，在公比為q(q1)的等比數列bn中，若Tn是數列bn的前n項之積，則有_答案，也成等比數列，且公比為q10014(2012·福建)數列an的通項公式anncos1，前n項和為Sn，則S2 012_.解析anncos1，當n為奇數時an1，當n為偶數2,6,10,14，時，ann1；當n為偶數4,8,12,16，時，ann1，數列an的

7、前4項和為：1(1)156；第5至第8項和為：1(5)196；由此可知anan1an2an31(n11)1n316(n3是4的倍數)，即數列an的相鄰四項之和均為6，故S2 012S4×503503×63 018.答案3 01815已知數列an為等差數列，則有等式a12a2a30，a13a23a3a40，a14a26a34a4a50，(1)若數列an為等比數列，通過類比，則有等式_(2)通過歸納，試寫出等差數列an的前n1項a1，a2，an，an1之間的關系為_解析因等差數列與等比數列之間的區別是前者是加法運算，后者是乘法運算，所以類比規律是由第一級運算轉化到高一級運算，從

8、而解出第(1)問；通過觀察發現，已知等式的系數與二項式系數相同，解出第(2)問答案(1)a1aa31，a1aaa1，a1aaaa51(2)Ca1Ca2Ca3(1)nCan1016(2012·新課標)數列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為_解析當n2k1，kN*時，a2ka2k12(2k1)1；當n2k，kN*時，a2k1a2k2(2k)1；于是a2k1a2k12；a2ka2k28k8；前一個式子中k1,3,5，29，后一個式子中k2,4,6，30，得a3a12，a5a32，a29a272；a4a28×28，a8a68×48，a60a588

9、15;308，S6015×28(2430)8×151 830.答案1 830三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知函數f(x)滿足ax·f(x)bf(x)(a·b0)，f(1)2且f(x2)f(2x)對定義域中任意x都成立(1)求函數f(x)的解析式；(2)正項數列an的前n項和為Sn，滿足Sn2，求證：數列an是等差數列解(1)由ax·f(x)bf(x)(a·b0)，得f(x)(ax1)b，若ax10，則b0，不合題意，故ax10，f(x).由f(1)2，得2a2b，由

10、f(x2)f(2x)對定義域中任意x都成立，得，由此解得a，把代入，可得b1，f(x)(x2)(2)證明：f(an)，Sn2，Sn(an1)2，a1(a11)2，a11；當n2時，Sn1(an11)2，anSnSn1(aa2an2an1)，(anan1)(anan12)0，an>0，anan120，即anan12，數列an是等差數列18(本小題滿分12分)(2012·廣東)設數列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數列(1)求a1的值；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有<.解(1)當n1時，2a1a24

11、1a23，當n2時，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差數列，有a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，當n2時，有2Sn1an2n1，兩式相減是an13an2n，則·1，即2，又23，知是以首項為3，公比為的等比數列，23n1，即an3n2n，n1時也合適此式，an的通項公式是an3n2n.(3)由(2)得<，<11<.19(本小題滿分12分)(2012·安徽)數列xn滿足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數列的充分必要條件是c<0；(2)求c的取值范圍，使xn是遞增數列解(1)先證充

12、分性，若c<0，由于xn1xxncxnc<xn，故xn是遞減數列；再證必要性，若xn是遞減數列，則由x2<x1，可得c<0.(2)(i)假設xn是遞增數列，由x10，得x2c，x3c22c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由xn<xn1xxnc知，對任意n1都有xn<，注意到xn1xxnc(1xn)(xn)，由式和式可得1xn>0即xn<1.由式和xn0還可得，對任意n1都有xn1(1)(xn)反復運用式，得xn(1)n1(x1)<(1)n1.xn<1和xn<(1)n1兩式相加，知21<(1)n1

13、對任意n1成立根據指數函數y(1)x的性質，得210，c，故0<c.(ii)若0<c，要證數列xn為遞增數列，即xn1xnxc>0.即證xn<對任意n1成立下面用數學歸納法證明當0<c時，xn<對任意n1成立(1)當n1時，x10<，結論成立(2)假設當nk(kN*)時結論成立，即：xk<，因為函數f(x)x2xc在區間內單調遞增，所以xk1f(xk)<f()，這就是說當nk1時，結論也成立故xn<對任意n1成立因此，xn1xnxc>xn，即xn是遞增數列由(i)(ii)知，使得數列xn單調遞增的c的范圍是.20(本小題滿分12

14、分)某商店投入81萬元經銷某種北京奧運會特許紀念品，經銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經營中市場調研表明，該商店在經銷這一產品期間第n天的利潤an(單位：萬元，nN*)記第n天的利潤率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利潤率bn；(3)該商店在經銷此紀念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率解(1)當n1時，b1；當n2時，b2.(2)當1n20時，a1a2a3an1an1.bn.當21n60時，bn，第n天的利潤率bn(3)當1n20時，bn是遞減數列，此時bn的最大值為b1；當21n60時，bn(當且僅當n，即n40時，“”成

15、立)又>，當n40時，(bn)max.該商店經銷此紀念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的利潤率為.21(本小題滿分12分)(2012·山東)在等差數列an中，a3a4a584，a973.(1)求數列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數列an中落入區間(9m,92m)內的項的個數記為bm.求數列bm的前m項和Sm.解(1)因為an是一個等差數列，所以a3a4a53a484，a428.設數列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a13×9，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9m<a

16、n<92m，則9m8<9n<92m8.因此9m1n92m1.故得bm92m19m1，于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).22(本小題滿分14分)(2012·江蘇)已知各項均為正數的兩個數列an和bn滿足：an1，nN*.(1)設bn11，nN*，求證：數列2是等差數列；(2)設bn1·，nN*，且an是等比數列，求a1和b1的值解(1)由題設知an1，所以，從而221(nN*)，所以數列是以1為公差的等差數列(2)因為an>0，bn>0，所以ab<(anbn)2，從而1<an1.(*)設等比數列an的公比為q，由an>0知q>0.