1、2+ 22(C) X-1 (D) x + 2.4小題，每小題4分，共16分)已知cosx是f(x)的一個原函數，X則f(x) cosxdx =X大一上學期高數期末考試一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 設 f ( X)= cos x( X + |sin x|),貝U 在(A) f'(0)=2( B)廠(0)/ (C)(0)=0( D) f(x)不可導.設a(x)=°, P(x)=3 Sgx，則當 XT 1 時()2. 1+x(A) "(X)與卩(X)是同階無窮小，但不是等價無窮?。?B)a(X)與P (X)是等價無窮小；(D)0(X)是比a(X

2、)(C) d(X)是比P(x)高階的無窮??； 高階的無窮小.X3. 若F (X八Jo(2t X)f (t)dt，其中f(x)在區間上(-1,1)二階可導且f'(x)>0，則().(A) 函數F(x)必在x=o處取得極大值；(B) 函數F(x)必在x=0處取得極小值；(C) 函數F(x)在X = 0處沒有極值，但點(0, F(0)為曲線八F(x)的 拐點；(D) 函數F(x)在x=0處沒有極值，點(0，F(0)也不是曲線y二F(x) 的拐點。14 設 f (X)是連續函數，且f(X)= X + 2 J0 f (t)dt ,貝y f(X)=(A) 2( B)二、填空題(本大題有25.

3、lim (1 + 3x)sin x =XT06.7.lim 巴(cos2 工 + cos2 | + cos2 n 兀)= n Y nnnn2 x2 arcsin x +1f,dx =1/rx8.遠.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 設函數y = y(x)由方程ex+y+sinxy今y (0)十r 1 - x7求f廠dx.x( 1 + X )I xe,X < 0設f (x) = (rv2x - X ,0cx<11g(x) = Jf(xt)dt0x+y9.10.11.確定，求y(X)以及f(x)xli12. 設函數f(x)連續，0，且7數.求g(x)并討論g(x)在x

4、=o處的連續性.1. y(i)=-13. 求微分方程xy+2y=xlnx滿足9的解.且曲線上任 y軸、直線四、解答題(本大題10分)14. 已知上半平面內一曲線 八y(x) (x 2°)，過點(0,1), 一點M(xo，yo)處切線斜率數值上等于此曲線與 x軸、 x =xo所圍成面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)x的切線，該切線與曲線y=lnx及xD.15. 過坐標原點作曲線y = ln軸圍成平面圖形求D繞直線x = e旋轉一周所得旋轉(1)求D的面積A ; (2)體的體積V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16. 設函數f(x)在b

5、，1】上連續且單調遞減，證明對任意的q壬0,1,q1Jf (x) dx>qjf (x) dx00兀f f (X)d X = 017.設函數f(X)在際上連續，且0兀f f ( X)cosX dx = 00.證明：在(0")內至少存在兩個不同的點XF (X)= f f (X)dXS，使 f(mf(j)"(提示：設()0 ()解答一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A3、C 4、C5.填空題(本大題有4小題，1 COSX 2 亠.6. 2 X '.7.每小題4分，共16分)兀8.39.解答題(本大題有5小題，每小題 解：方程兩邊求導8

6、分，共40分)eX"(1 + y') +cos(xy)( xy + y) = 0 e + xcos(xy)X = 0, y = 0 y (0) = -110. 解：u=x7 7x6dx=du1 r (1 -U)1 r 12原式=fdu =_ (_ )du7 u(1 + u) 7 u u +11= 7(ln |u|-2ln |u+1|) +c1 2tln|x7|-ln|1 +x7|+C11. 解：【：f(x)dx=【'dx + rVTdx=Jxd(-)+ J0 Jl -(X-1)2dX=-xe e 二 + Jjcos2 日d&(令x T =sin日) "

7、;2兀3=-2e3 -1412.解：由 f(0) =0，知 g(o)=0。Xxf (x) - J f (u)dug'(x) =02XXJf(u)dug'(0) = lim 2=lim(XHO)f(x) A27 X7 2xXxf (x) - J f (u)du凹 gg =嗎X二A A2" 2 , g'(x)在x = o處連續。x1xjjf(u)du(XH 0)g(x) = Jf(xt)dt =-0史異y=lnx13.解：dx x fdx直dxy =e x (Je x Inxdx + C)= -xInx-x + Cx391 1 1 y(1) = ，C =0 y =

8、 -xlnx x939四、解答題（本大題10分）X14.解：由已知且八2Joydx + y，將此方程關于x求導得y、2y + y'特征方程：r2-r-2=0解出特征根：r-1,X2 X其通解為y二C1e +C2e代入初始條件y（o）=y'（o）=1，得2 一 y = e故所求曲線方程為：y 34e心，C22x1=3五、解答題（本大題10分）15.解：（1）根據題意，先設切點為（xo，lnxo），切線方程：1y-In Xo =（X -Xo）xo1 y = - X 由于切線過原點，解出xo=e,從而切線方程為：e1y1A = J(e -ey)dy=-e-1則平面圖形面積 02Vp

9、= 1兀 e2（2）三角形繞直線X = e 一周所得圓錐體體積記為 V1，則3曲線yinx與X軸及直線X = e所圍成的圖形繞直線X = e 一周所得 旋轉體體積為V21V2 = J;i（e-ey）2dy0D 繞直線X兀2V =V1 -V2 = (5e2 -12e + 3)6(本大題有2小題，每小題4分，共12分)q1qq1J f(X)dXq J f(x)dx= Jf (x) d xq( Jf (x) d x + J f (x)dx)000六、證明題e旋轉一周所得旋轉體的體積16.證明：q=(1 -q) J f(X)d X -q J f (x)dx0q50, qgEq,1=q(1 -q) f(©i) -q(1-q) f (鑰)故有：q1J f (x) d X U f (x) dx00f 此）3f（3）> 017,證：構造輔助函數: 連續，在（0,引上可導。兀證畢。xF(x)= f f (t)dt ,0<x< 兀0。其滿足在0,刃上F'(x)= f(x)，且 F(0)=F(兀)=0兀兀兀0 = J f (x)cosxdx = JcosxdF (x) = F ( x)cosx| + f sinx F (x)dx 由題設，有 000 0，兀fF (x)sinx