1、第2節空間點、直線、平面的位置關系考試要求 1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義；2.了解四個公理和一個定理.II如職而H修*1I回購教材，勢實星糊知識梳理1 .平面的基本性質(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內(2)公理2:過不在同一條直線上的三,自，有且只有一個平面(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.2 .空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平囿平囿與平囿平行關系圖形語后1%71/Z2:/符號語后a/ ba / aa / 3相交

2、關系圖形語后2符號語后an b=Aa A a = Aa n 3 = 1獨有關系圖形語百7符號語后a.b是異面直線a? a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或包.4 .異面直線所成的角(1)定義：設a, b是兩條異面直線，經過空間任一點 O作直線a / a, b / b,把a與b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：三=2=.微點提醒1 .公理2的三個推論推論1:經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2:經過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3:

3、經過兩條平行直線有且只有一個平面.2 .兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.基礎自測疑誤辨析s1 .判斷下列結論正誤(在括號內打或“X”)(1)兩個平面a , 3有一個公共點A,就說a , 3相交于過A點的任意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()(4)若直線a不平行于平面 a,且a? a,則a內的所有直線與a異面.()解析(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤.(3)如果兩個平面有三個公共點

4、，則這兩個平面相交或重合，故錯誤 (4)由于a不平行于平面 a ,且a?a ,則a與平面”相交，故平面“內有與a相交的直線, 故錯誤.答案 (1) X (2) V (3) X (4) X教材折依2 .(必修2P52B1(2)改編)如圖所示，在正方體 ABCD- ABGD中，E, F分別是AR AD的中點,則異面直線BC與EF所成角的大小為()A.30B.450.60D.90解析 連接 BiD, DC,則 BD/ EF,故/ DBC為所求的角.又 BD=BC= DC, . Z DBC= 60答案 C3 .(必修2P45例2改編)已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是(

5、)A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析 如圖所示，易證四邊形 EFG的平行四邊形，因為 E, F分別為AB BC的中點，所以 EF AC又FG/ BD所以/ EFG或其補角為AC與BD所成的角，而AC與BD所成的角為90。， 所以/ EFG= 90。，故四邊形 EFGH矩形.20答案 B考睡體器i4 .（2019 聊城調研）a是一個平面，mln是兩條直線，A是一個點，若m?a ,n?a ,且ACmiAC a ,則mj n的位置關系不可能是（）A.垂直B.相交C.異面D.平行解析 依題意，mA a =A, n? a ,，m與n異面、相交（垂直是相交的特例）,一定不平行.答案 D5 .（ 一題多

6、解）（2017 全國I卷）如圖，在下列四個正方體中，A B為正方體的兩個頂點，MN, Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線 AB與平面MN5平行的是（）解析所以選項D法一 對于選項B,如圖（1）所示，連接CQ因為AB/ CD M Q分別是所在棱的中點,MQ CD所以AB/ MQ又AB?平面MNQ MQ?平面MNQ所以AB/平面 MNQ理可證C, D中均有 AB/平面 MNQBI此A項中直線 A*平面 MNQFF行.圖圖(2)法二 對于選項A,其中O為BC的中點(如圖(2)所示)，連接OQ則OQ AB因為OCQf平 面MNQT交點，所以 AB與平面MNQT交點，即AB與平面MNQT平行.答

7、案 A6 .(2018 寧波月考)在正方體 ABCDABCD中，E, F分別為棱 AA, CC的中點，則在空間 中與三條直線 AQ, EF, CDO相交的直線有 條.解析 在EF上任意取一點 M如圖，直線AD與M確定一個平面，這個平面與 CD有且僅有1個交點N,當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與C*不同白交點N,而直線MNW這3條異面直線都有交點.故在空間中與三條直線 AD, EF, CD都相交的直線有無數條.答案無數|考點聚焦突破分餐講機，以例求法考點一平面的基本性質及應用【例1】 如圖，在正方體 ABCDABCD中，E, F分別是AB和AA的中點.求證：(1) E, C, D, F四

8、點共面；(2) CE DF, DA三線共點.證明(1)如圖，連接CD, EF, A1B,因為E, F分別是AB和AA的中點， 1所以 EF/ A1B且 EF= 2AB.又因為A1D統BQ所以四邊形 ABCD是平行四邊形.所以 AB/ CD,所以 EF/ CD,所以EF與CD確定一個平面 a .所以E, F, C, DC a ,即E, C, D, F四點共面.（2）由（1）知，EF/ CD,且 EF= 1cD,所以四邊形CDFE是梯形，所以CE與DF必相交.設交點為P,則PC CE?平面ABCD且 PC DF?平面 AADD,所以PC平面 ABCD! PC平面 AADD又因為平面 ABC平面 A

9、ADD= AD,所以PC AD所以CE DF, DA三線共點.規律方法 1.證明點或線共面問題的兩種方法：（1）首先由所給條件中的部分線 （或點）確定一個平面，然后再證其余的線 （或點）在這個平面內；（2）將所有條件分為兩部分，然后分別 確定平面，再證兩平面重合 .2 .證明點共線問題的兩種方法：（1）先由兩點確定一條直線， 再證其他各點都在這條直線上； （2）直接證明這些點都在同一條特定直線（如某兩個平面的交線）上.3 .證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.【訓練1】如圖，在空間四邊形 ABC珅，E, F分別是AB, AD的中點，G, H分別在BQ C

10、D 上，且 BG GC= DH： HC= 1 ： 2.（1）求證：E, F, G, H四點共面；（2）設EG與FH交于點P,求證：P, A, C三點共線.證明（1） , F分別為AB, AD的中點，.EF/ BD .GHy BD . .EF/ GH .E, F, G H四點共面.(2) . ES FH= P, PC EG EG 平面 ABC二PC平面 ABC同理PC平面 ADC.P為平面 ABC1平面 ADC勺公共點.又平面ABCH平面ADC= AC, PC ACP, A, C三點共線.考點二判斷空間直線的位置關系【例2】(1)( 一題多解)若直線li和12是異面直線，li在平面a內，12在平

11、面內，l是平面a與平面(3的交線，則下列命題正確的是 ()A.1與11, 12都不相交B.1與11, 12都相交C.1至多與11, 12中的一條相交D.1至少與11, 12中的一條相交(2)將圖(1)中的等腰直角三角形 ABCg斜邊BC的中線AD折起得到空間四面體 ABCD如圖(2),則在空間四面體 ABCW, AD與BC的位置關系是()圖國(2)A.相交且垂直B.相交但不垂直C.異面且垂直D.異面但不垂直解析(1)法一 由于1與直線11, 12分別共面，故直線1與11, 12要么都不相交，要么至 少與11, 1 2中的一條相交.若1 / 1 1 , 1 / 1 2,則1 1 / 1 2,這與

12、11,1 2是異面直線矛盾.故1至 少與11, 12中的一條相交.法二 如圖(1) , 11與1 2是異面直線，11與1平行，12與1相交，故A, B不正確；如圖(2), 11與12是異面直線，11, 12都與1相交，故C不正確.圖ri)圖(2)折起前 ADL BC折起后有 ADL BD ADL DC所以ADL平面BCD所以ADL BC又AD與BC不相交，故ADW BC異面且垂直.答案(1)D(2)C規律方法 1.異面直線的判定方法：（1）反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面（2）定理：平面外一點 A與平

13、面內一點B的連線和平面內不經過點 B的直線是異面直線2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系 【訓練2】（1）（2018 湘潭調研）下圖中，G N, M H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形B.的直棱柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH MN異面直線的圖形有（A.C.D.（2）已知空間三條直線l , mi n,若l與m異面，且l與n異面，則（）A. m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能解析 （1）由題意，可知題圖中，GH MN因此直線 GH與MN共面；題圖中， G H, N

14、三點共面，但 M?平面GHN因此直線 GH! Mt#面；題圖中，連接 MG則GMT HN因此 直線GH MNtt面；題圖中，連接 GN G, M N三點共面，但 H?平面GMN所以直線 GH 與MN#面.故選C.（2）在如圖所示的長方體中，m m與l都異面，但是 m/巾，所以A, B錯誤；m, n2與l都異面，且rn n2也異面，所以C錯誤.故選D.答案(1)C(2)D考點三異面直線所成的角-*多維探究角度1求異面直線所成的角或其三角函數值【例31】（一題多解）（2018 全國n卷）在長方體 ABCD-八86口中，八5BC= 1, AA=3, 則異面直線AD與DB所成角的余弦值為（）A.5bT

15、D.解析 法一 如圖，連接 BD,交DB于O,取AB的中點 M連接DM OM易知O為BD的中點，所以AD/ OM則/ MOD/異面直線 AD與DB所成角.即異面直線AD與DB所成角的余弦值為,155因為在長方體 ABCD- ABCD 中，AB= BC= 1, AA = gad=aD+ dD = 2,DM= aD+ 2+抵在AB 之二g222.11月 一.DB=、A+aD+ dD = 木.所以OM= 2AD=1, O氏2DB=看,于是在 DMOP,由余弦定理,所以 AD= ( -1, 0,小)，DB= (1 , 1,木).貝U cos =AD - DB| AD| . | DB|2V5g即異面直線

16、地與DB所成角的余弦值為興答案 C角度2由異面直線所成角求其他量【例3- 2】 在四面體ABC珅，E, F分別是AR CD的中點.若BD, AC所成的角為60。，且BD= AC= 1,則EF的長為解析如圖，取BC的中點Q連接OE OF因為OB AC OF/ BD所以OE與OF所成的銳角（或直角）即為AC與BD所成的角，而 AC BD所成角為60 ,所以,，,1,，什ZEOF= 60 或/ EOF= 120 .當/ EOF= 60 時，EF= OE= OF= 2.當/ EOF= 120 時，取 EF的中點 M 則 OM_ ER EF= 2EM= 2X 3=23.答案2或.規律方法 用平移法求異面

17、直線所成角的一般步驟:（1）作角一一用平移法找（或作）出符合題意的角;（2）求角一一轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出角的大小M N分別是棱 AD BC的【訓練3】（2019 杭州模擬）三棱錐A- BCD勺所有棱長都相等,中點，則異面直線 BM與AN所成角的余弦值為（）2D.3解析連接DN取DN勺中點連接MO BO.M是AD的中點,MO/ ANBMO或其補角）是異面直線BM與AN所成白角.設三棱錐A- BC曲所有長為2,貝U AN= BM= DN=儂12 =木,皿 1,31則 MO 2AN= -2-= NO= 2DN則 bo=洞NTNO=27在ABMOh由余弦定理得cos/ BMO=

18、BM+ MO- BO2 BM MO =3+374 4,2 ，異面直線BMP! AN所成角的余弦值為-.3答案 D域反思與感悟思維升華1 .主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點 也在這個平面內(即“納入法”).(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據公理3可知這些點在交線上.2 .判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點 B的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.3 .求兩條

19、異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為相交直線的夾角，體現了化歸思想 .易錯防范1 .異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交 2 .直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內”.分層限時調蝶分;M ,提醍工基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1 .給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面； 有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是()A.B.C.D.解析顯然命題正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，錯.命題中，

20、兩個平面重合或相交，錯 三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題正確.答案 B2 .已知a, b是異面直線，直線 c平行于直線a,那么c與b()A. 一定是異面直線B. 一定是相交直線C.不可能是平彳T直線D.不可能是相交直線解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b/c,則a/b,與已知a, b為異面直線相矛盾.答案 C3 .如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線()A.12 對B.24 對C.36 對D.48 對解析 如圖所示，與 AB異面的直線有 BC; CC, AD, DD四條，因為各棱具有相同的位置12X4且正方體

21、共有12條棱，排除兩棱的重復計算，共有異面直線2=24().Ati答案 B4 .下列命題中正確的個數為 ()若 ABCE平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于P, Q R,則P, Q R三點共線.若三條直線a, b, c互相平行且分別交直線 l于A, B, C三點，則這四條直線共面； 空間中不共面五個點一定能確定10個平面.A.0B.1C.2D.3解析 在中，因為 P, Q R三點既在平面 ABC,又在平面 a上，所以這三點必在平面 ABCW a的交線上，即P, Q, R三點共線，故正確；在中，因為 a/ b,所以a與b確 定一個平面a ,而l上有A, B兩點在該平面上，所以 l? a ,即

22、a, b, l三線共面于a ; 同理a, c, l三線也共面，不妨設為 B ,而a , B有兩條公共的直線 a, l ,所以a與B 重合，故這些直線共面，故正確；在中，不妨設其中四點共面，則它們最多只能確定7個平面，故錯.答案 C5 .如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD- ABGD中，AA=2AB= 2,則異面直線AB與AD所成角的余弦值為（）A.-2B. -53C.54D.- 5解析 連接BC,易證BC/AD,則/ ABC即為異面直線 AB與AD所成的角連接 AC,由 AB= 1, AA=2, 則 ac=2, AiB= bc= aJ5, 在 ABC中，由余弦定理得cos/A

23、BC=5+5 22X y/5乂 木答案 D二、填空題6 .給出下列四個命題: 平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點;若平面a內的一條直線a與平面3內的一條直線b相交，則a與B相交；若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面其中真命題的序號是 .解析正確，因為直線在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點.正確，a, b有交點，則兩平面有公共點，則兩平面相交.正確，兩平行直線可確 定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點在這兩平行直線上，所以過這兩交點的直線也在平面內，即三線共面.錯誤，這三條直線可以交于同一點，但不一定在同一平面

24、內.答案7 .（2019 西安模擬）如圖，四邊形ABC口口 ADP您為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為 .解析 如圖，將原圖補成正方體 ABCD- QGHP連接GP則GP BD所以/ AP劭異面直線AP與BD所成的角，在 AGF, AG= GP= AP,一一兀所以/ APG=.38 .矩形ABC用，AB= 3, BC= 1,將 ABC ADCgAC所在的直線進行隨意翻折，在翻 折過程中直線 AD與直線BC成的角范圍（包含初始狀態）為.解析 根據題意，初始狀態，直線AD與直線BC成的角為0,當BD=陋時,ADL DB ADh DC且 Dm DC= D,所以ADL平面

25、DBC又B（?平面DBC故ADL BC. 兀直線AD與BC成的角為了,兀所以在翻折過程中直線 AD與直線BC成的角范圍（包含初始狀態）為0,萬.兀答案 0, 2三、解答題9 .在正方體ABCD- ABCD中,（1）求AC與AiD所成角的大小;(2)若E, F分別為AB AD的中點，求AC與EF所成角的大小.解 (1)如圖，連接 BC, AB,由ABCP ABGD是正方體，易知 AD/ BC,從而/ BiCA就是 AC與AiD所成的角.因為 AB=AC= BC,所以/ BCA= 60 .即AD與AC所成的角為60。.(2)連接 BD 在正方體 ABCD-AiBGD 中，ACLBD, AC/ AC

26、,因為E, F分別為AB AD的中點，所以EF/ BD所以EF AC所以 EF AiC.即AC與EF所成的角為90。.10 .如圖，在正方體 ABCD-ABCD中，O為正方形 ABCD勺中心，H為直線 BiD與平面 ACD 的交點.求證：D, H, O三點共線.證明如圖，連接BD BD,則 Bm AC= QBBM dd,G四邊形BBDD為平行四邊形.又 HC BD, BD?平面 BBDD,貝U HC平面BBDD,.平面 ACDn平面 BBDD= OD, . HC OD.故D , H, O三點共線.能力提升題組（建議用時：20分鐘）11.（2019 青島質檢）若空間中四條兩兩不同的直線11, 1

27、2, 13, 14,滿足lll2, I2H3,1311 4,則下列結論一定正確的是（）A.11 4B.1 1 / 1 4C.1 1與14既不垂直也不平行D.1 1與14的位置關系不確定解析 如圖，在長方體 ABCDABCD中，記1 1= DD, 1 2= DC 1 3= DA若1 4= AA,滿足1 1,1 2, 1211 3, 1 3,1 4,此時1 1/ 1 4,可以排除選項 A和C.若取C1D為14,則11與14相交；若取BA為14,則11與14異面；取CD1為14,則1 1與14相 交且垂直.因此1 1與1 4的位置關系不能確定答案 D12.（2019 珠海模擬）如圖，在矩形 ABC用，AB= 4, AD= 2, P為邊AB的中點，現將 DAP繞直線DP翻轉至 DA P處，若M為線段A C的中點，則異面直線 BM與PA所成角的正 切值為（）A.1B.2C.1D.424解析取A D的中點N,連接PN MN.M是A C的中點，1 .MN/ CD 且 MN= 2CD四邊形ABCO矩形，P是AB的中點, .PB/ CD 且 PB= ；CD.MN/