1、平方差公式典型例題F 列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？(2m-3n)(3n-2m)；(2)(_5xy 4z)(-4y-5xz)；(b ca)(abc)；(4)(8x1xy2)(1 x2y 8x3).(x _ y z)( _x y z)計算：(2x 3y)(2x3y)；(_3a _5b)(3a _5b)；(_x2_y3)(y3_x2);(4y 3x -5z)(3x -4y 5z).計算(-y -3xy)( -3xy y).利用平方差公式計算：211999X2001;(2)403933計算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)計算：(2x _y)(y 2x) _2(3

2、x _2y)(_2y _3x) _(11x_3y)(2x _3y)(x y)2(x-y)2-(x-y)(x y)(x2y2)計算：(X2+4)(X-2)(x+2)填空例 1(1)(3)(5)例 2(1)(2)(3)(4)例 3例 4(1)例 5例 6(1)(2)例 7例 8(1)(a+d ) ()=d -a(2)(-xy-1) ()=x2y2-1例 9 計算(2 +1)(22+1)(24+1)(22+1)參考答案例 1 分析：兩個多項式相乘，只有當這兩個多項式各分為兩部分之后，它們的一部分完全相同，而另一部分只有符號不同，才能夠運用平方差公式.解：(1)兩個二項式的兩項分別是2m，-3n和2m

3、，3n.兩部分的符號都不相同，沒有完全相同的項，所以不能用平方差公式.(2)這兩個二項式的兩項分別是5xy,4z和-5xz,4y，所含字母不相同，沒有 完全相同的項，所以不能用平方差公式.(3)b與-b,-a與a,c與-c，沒有完全相同的項，不能用平方差公式.31212(4)兩個二項式中，8x完全相同，但-一xy與-一x y除去符號不同外，相同字母33的指數不同，所以不能用平方差公式.(5)x與-x,y與-y，只有符號不同，z完全相同，所以可以用平方差公式可 用平方差公式.例 2 分析：在應用乘法公式進行實際問題的計算時，多項式的系數、指數、符號、相對位置不一定符合公式的標準形式，但只要對題目

4、的結構特征進行認真觀察，就可以發現這幾個題目都可以應用平方差公式進行計算.解：(1)原式=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2(2) 原式二-(3a 5b)( 3a -5b)一(3a)2-(5b)2-(9a2-25b2)2 2-25b -9a或原式工(-5b 3a)(-5b -3a)= (-5b)2-(3a)2-25b2-9a2(3) 原式=(-x2y3)(-x2- y3)(x ) -(y )=x4-y6(4) 原式二3x (4y _5z)3x _(4y _5z)2= x)-(4y2 5z)(4y5z=9x _(16y -40yz 25z )= 9x2-16y240yz-25z2說明：1)乘

5、法公式中的字母a,b，可以表示數，也可以表示字母，還可以表示一個單 項式或多項式；2)適當添加括號，將有利于應用乘法公式，添加括號的方法不同，一題可 用多種解法，得出相同的結果；3)一定要認真仔細地對題目進行觀察研究，把不符合公式標準形式的題目，加以調整，使它變化為符合公式標準的形式.例 3 分析：本題有四種思路，它屬于多項式乘法可以直接用法則計算若將原式整理為-(y - 3xy)(y -3xy)可用平方差公式計算.觀察兩因式中，都有-3xy，又有互為相反數的兩項，y和一y，也可以直接用平方差公式計算，可得(-3xy)2- y2.可變形為-(-y -3xy)( -y 3xy)，得-y2-(3x

6、y)2.解：(-y -3xy)( -3xy y)= -(y 3xy)(y -3xy)2 2八y -(3xy)=-y29x2y2或(-y -3xy)( -3xy y)二(-3xy) -y(-3xy) y2 222 2=(-3xy) - y 9x y - y說明：根據平方差公式的特征，一般常見的變形有位置變化，如(a - b)(-b a)符號變化，系數變化，還有一些較復雜的變形，如(-a b - c - d)(a - c b d)，兩因式中都有b - c， 并且-a - d與a d互為相反數， 因此， 可以湊成平方差公式的結構特征， 即(b-c)-(a d)(b-c)(a d).例 4 分析：運用

7、平方差公式可使與例 2 類似的計算題變得十分簡便.運用平方差公式2 1402+39丄(2)平均數法如第(2)題中，a二一33=80=40.2 2解：(1) 1999X200 仁(2000 -1)(2000 T)=20002122122(2)40 39(40 )(40-一)333322245=.40-)-16001599.399說明：在進行有理數運算時適當運用平方差公式會使運算簡便.例 5 分析：前兩個相乘的多項式不符合平方差公式特征，只能用“多項式乘多項式”；后兩個多項式相乘可以用平方差公式，算出的結果一定要打上括號，再進行下面的計算解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)222

8、2=2a-ab-4ab+2b- : (2a) -b:打括號=2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2說明：當進行計算時，用平方差公式計算出的結果一定要打上括號再與其他項進行加、減、乘、除等運算！例 6 分析：(1)中的(2x-y)(y 2x), (3x-2y)(-2y-3x)都可以利用平方差公式計算，(11x -3y)(2x -3y)可以利用多項式乘法法則計算.(2)中的(x y)2(x-y)2可以逆用幕的運算法則，寫成(x y)(x- y)2再計算.解: (1)原式=(2x y)(2x - y)2(3x 2y) (3x - 2y

9、)一(22x2-39xy 9y2)= 4x2-y218x2-8y2-22x239xy-9y2=-18y239xy(2)原式二(x y)(x - y)2-(x2- y2)(x2y2)22244計算兩個有理數的積時，關鍵是要將其寫成平方差法:(1)觀察法.如第(1)題適合此法;說明：(1)平方差公式積適用于(a，b)(a-b)類型的多項式乘法，其中a、b可以是=(x -y ) -(x -y )=(x -y )(x -y ) -(X -y )二x4-x2y2-x2y2y4X4y4= 2y4_2x2y2數，也可以是單項式或多項式.(2)逆用幕的運算法則，(x y)2(x_y)2=(x y)(x_y)2

10、是常用的解題技巧.(3)此題中的第(1)題先利用乘法的交換律及結合律合理變形后，可連續運用平方差 公式；第(2)題先利用加法結合律，把兩個因式變為“兩數的和與這兩數的差”的形式，進而利用平方差公式計算這些都是常用的解題技巧.例 7 分析：由于運用平方差公式可簡化運算，因此可以利用乘法結合律先將可用平方差公式進行計算的部分先計算，而且平方差公式可以連用2解：(x+4)(x-2)(x+2)2=(x+4) : (x-2)(x+2):=(x2+4) (x2-4)用公式計算后的結果要打括號/ 2、2.2=(x)-4=x4-162 2例 8 分析：根據平方差公式右邊a-b中被減數中的a代表相同的項，而減數中的b在等式左邊中應是互為相反數的兩項( 1)中d2-a2中的d在兩個二項式中皆為正，而a在第一個多項式中為正，則在第二個多項式中應為負.(2)中含xy的項為a,即相同的項，而含 1 的項為b,即互為相反的項.2 2解：(1)(a d) (d a) = d - a2 2(2)(-xy -1 ) ( - xy 1 ) = x y - 1例 9 分析：在式子