1、信息光學(xué)復(fù)習(xí)第一部分：基本概念第一部分：基本概念二維傅里葉變換二維傅里葉變換 函數(shù)函數(shù)f(x,y)在整個在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有有限個間斷點和極值點有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點沒有無窮大間斷點), 定義函數(shù)定義函數(shù)dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換的傅里葉變換, 記作記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數(shù)原函數(shù), F(fx,fy)是是f(x,y)的的頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)F(fx,fy

2、)一般是復(fù)函數(shù)一般是復(fù)函數(shù), F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf f (fx,fy)振幅譜振幅譜位相譜位相譜線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的定義:設(shè)設(shè): g1(x2, y2) = f1(x, y)， g2(x2, y2) = f2(x, y), 且對于且對于任意復(fù)常數(shù)任意復(fù)常數(shù)a1 和和a2，有：，有：若系統(tǒng)對幾個激勵的線性組合的整體響應(yīng)，等于單個激若系統(tǒng)對幾個激勵的線性組合的整體響應(yīng)，等于單個激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。勵所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。則稱該系統(tǒng)則稱該系統(tǒng) 為為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。 a1 f1 (x, y) + a2 f2

3、 (x, y) = a1 g1 (x2, y2) + a2 g2 (x2, y2) 系統(tǒng)對輸入的脈沖函數(shù)產(chǎn)生的輸出稱為系統(tǒng)對輸入的脈沖函數(shù)產(chǎn)生的輸出稱為脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng). 若輸入脈沖發(fā)生位移時若輸入脈沖發(fā)生位移時, 線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即：不變，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即： d d(x-x x, y-h h)=h (x-x x, y-h h)這樣的系統(tǒng)稱為這樣的系統(tǒng)稱為線性不變系統(tǒng)線性不變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) ),(),(),( yxhyxfyxg 頻域：頻域： G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy) 傳遞函數(shù)傳

4、遞函數(shù)輸出頻譜輸出頻譜輸入頻譜輸入頻譜脈沖響應(yīng)函數(shù)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的F.T.稱為稱為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) dxdyyfxfjyxhffHyxyx)(2exp),(),(= h(x,y)線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系：線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系：空域：空域：抽樣定理抽樣定理抽樣定理：抽樣定理：若函數(shù)若函數(shù)g (x, y) 不包括高于不包括高于Bx 和和By 的頻率分量的頻率分量,則此函則此函數(shù)可以由一系列間隔數(shù)可以由一系列間隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 處的函數(shù)值完全決定處的函數(shù)值完全決定.原函數(shù)抽樣時原函數(shù)抽樣時,在在x方向和方向和y方向抽樣點的最大間隔方向抽樣點

5、的最大間隔 X 1/(2 Bx)和和Y 1/(2 By)，稱為稱為奈奎斯特奈奎斯特(Niquest)間隔間隔.或者說，抽樣頻率不能低于或者說，抽樣頻率不能低于2Bx和和2By平面波的空間頻率平面波的空間頻率 u(P,t)= a(P)cos2nt - j(P)對于攜帶信息的光波對于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分感興趣的是其空間變化部分. 故引入復(fù)振幅故引入復(fù)振幅U(P):將光場用復(fù)數(shù)表示將光場用復(fù)數(shù)表示,有利于將時空變量分開、簡化運(yùn)算有利于將時空變量分開、簡化運(yùn)算:= ea(P) e jj(P). e -j2nt U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同時表征了空間各點的同

6、時表征了空間各點的振幅振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對位相和相對位相arg(U)= j j(P)對于單色平面波，對于單色平面波，j(P)=k.r對于單色球面波，對于單色球面波， j(P)=kr)coscos(exp ),(yxjkAyxU平面波在平面波在x和和y方向的方向的空間頻率空間頻率分別為分別為:cos1 ;cos1YfXfyxcos , cos 為波為波矢的方向余弦矢的方向余弦復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為空間頻率空間頻率菲涅耳衍射的三種表示菲涅耳衍射的三種表示U(x0, y0) * hF (x, y) = U(x, y) )(2exp)exp(1)

7、,(22yxzkjjkzzjyxhF.T.F.T.F.T.A0(fx, fy) HF(fx, fy) = A (fx, fy) )(exp)exp(22yxffzjjkzF.T.表達(dá)表達(dá))(2exp),(202000yxzkjyxU U(x, y)F.T.zyfzxfyx,空域空域孔徑平面孔徑平面 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)觀察平面觀察平面cos,cosyxff頻域頻域菲涅耳衍射菲涅耳衍射（求衍射場的表達(dá)式及其強(qiáng)度分布的近似方法）求衍射場的表達(dá)式及其強(qiáng)度分布的近似方法）菲涅耳衍射等效于線性空不變系統(tǒng)菲涅耳衍射等效于線性空不變系統(tǒng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是: :系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是: :

8、 zyxjkzjjkz2exp )exp(22exp(jkz)exp-jz(fx2 + fy2)夫瑯禾費衍射夫瑯禾費衍射除了一個與傳播距離除了一個與傳播距離z及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外,在在給定距離給定距離z的平面上衍射場的分布正比于衍射屏透射光場的傅的平面上衍射場的分布正比于衍射屏透射光場的傅里葉變換里葉變換, 其其振幅振幅及及變換的尺度變換的尺度與距離與距離z有關(guān)有關(guān).衍射圖樣的光強(qiáng)分布衍射圖樣的光強(qiáng)分布:正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜:zyfzxfyxUyxzkjjkzzjzyxUyx,)0 ,( )(2exp)exp(1),(00

9、22zyfzxfyxUzyxIyx,),( 1),(2002衍射圖樣的復(fù)振幅分布：衍射圖樣的復(fù)振幅分布：透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用定義透鏡的復(fù)定義透鏡的復(fù)振幅透過率振幅透過率: ),(),( ),(yxUyxUyxtllP2面是會聚球面波分布面是會聚球面波分布:)(2exp)exp(),( 22yxqkjjkqAyxUlP1P2qpS S S S SSx-yO1O2zP1面是發(fā)散球面波分布：面是發(fā)散球面波分布：)(2exp)exp(),(22yxpkjjkpAyxUlqpyxkjyxUyxUyxtll11)(2exp),(),(),(22透鏡的相位透鏡的相位變換因子變換因子： )(2

10、exp22yxfkj透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場都是夫瑯和費型。葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場都是夫瑯和費型。我們特別關(guān)注物在透鏡前焦面我們特別關(guān)注物在透鏡前焦面, , 平面波照明（平面波照明（q=f, dq=f, d0 0=f =f ）的特殊情形。此時的特殊情形。此時 用單色平面波照明物體，用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦面，則

11、在物體置于透鏡的前焦面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦透鏡的后焦面稱為頻譜面。面稱為頻譜面。fyyffxxfyxtcdydxyfyxfxjyxtcyxU,00000000),( 2exp),(),(132若成像系統(tǒng)的若成像系統(tǒng)的像像質(zhì)僅受有限大小光瞳的衍射效應(yīng)所限制質(zhì)僅受有限大小光瞳的衍射效應(yīng)所限制, 則稱為則稱為 “衍射受限衍射受限”系統(tǒng)系統(tǒng) (diffraction-limited system )衍射受限的衍射受限的相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)是是光瞳函數(shù)的光瞳函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換),( j2-ex

12、p,ydxdPydxdyyxxydxdP,yxhiiiiiiii 衍射受限系統(tǒng)衍射受限系統(tǒng) 線性空不變的成像系統(tǒng)線性空不變的成像系統(tǒng)像的復(fù)振幅分布像的復(fù)振幅分布是是幾何光學(xué)理想幾何光學(xué)理想像像和和系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)的的卷積卷積： iiiigiiiyxhyxUyxU,衍射受限的成像系統(tǒng)衍射受限的成像系統(tǒng)相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù):相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換Hc 與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 參數(shù)的關(guān)系參數(shù)的關(guān)系: , ,yixiyxcfdfdPffH對于實際光學(xué)系統(tǒng)，有一個由光瞳大小決定的有限對于實際光學(xué)系統(tǒng)，有一個由光瞳大小決定的有限通頻帶。比例變化通

13、頻帶。比例變化( difx, dify)決定了決定了截止頻率截止頻率f0. Hc(fx, fy) = h(xi, yi)非非相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)，也稱為，也稱為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度強(qiáng)度脈沖響應(yīng)、強(qiáng)度點擴(kuò)展函數(shù)，是點物產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布。點擴(kuò)展函數(shù)，是點物產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布。強(qiáng)度點擴(kuò)展函數(shù)與強(qiáng)度點擴(kuò)展函數(shù)與相干成像相干成像系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)點擴(kuò)展函數(shù)的關(guān)系：2,iiiiIyxhyxh非相干成像的物像關(guān)系非相干成像的物像關(guān)系:,iiigiiIiiIx ykIx yhx y光學(xué)傳遞函數(shù)（光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF） : 強(qiáng)度點擴(kuò)展函數(shù)的歸一化頻譜強(qiáng)度點擴(kuò)展函數(shù)的歸一化

14、頻譜0 , 0, IyxIyxHffHffOTF的一般性質(zhì)的一般性質(zhì)1 ( (0,0)=13| ( (fx, fy)| | ( (0, 0)|2 * *( (fx, fy)= (- (-fx, -fy), 即即 ( (fx, fy)是厄米函數(shù)。是厄米函數(shù)。實偶函數(shù)的實偶函數(shù)的F.T.是實偶函數(shù)是實偶函數(shù) 4. ( (fx, fy)一般為復(fù)函數(shù)一般為復(fù)函數(shù), 可寫為可寫為 ( (fx, fy) = | ( (fx, fy)|e jf f( (fx, fy)調(diào)制傳遞函數(shù)調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）：）： 光學(xué)傳遞函數(shù)的模，即光學(xué)傳遞函數(shù)的模，即| ( (fx, fy)|對于中心對稱的光瞳對于中心對稱的光

15、瞳(光瞳函數(shù)為實偶函數(shù)光瞳函數(shù)為實偶函數(shù)), OTF=MTF.相干光學(xué)信息處理相干光學(xué)信息處理最基本的系統(tǒng)：最基本的系統(tǒng)：4f系統(tǒng)系統(tǒng)準(zhǔn)直準(zhǔn)直變換變換成像成像 濾波器濾波器空間濾波空間濾波：在頻譜面放置濾波器，改變物的空間頻：在頻譜面放置濾波器，改變物的空間頻譜結(jié)構(gòu)譜結(jié)構(gòu), ,進(jìn)而改變像的分布進(jìn)而改變像的分布低通濾波器低通濾波器: 允許通過的頻率有一上限允許通過的頻率有一上限截止頻率截止頻率f0在在|頻率頻率| f0 的區(qū)間內(nèi)信號能無畸變地通過的區(qū)間內(nèi)信號能無畸變地通過,此外全部阻塞此外全部阻塞. 高通濾波器高通濾波器: 允許通過的頻率有一下限允許通過的頻率有一下限帶通濾波器帶通濾波器: 只通

16、過某特定頻帶內(nèi)的頻率分量只通過某特定頻帶內(nèi)的頻率分量 濾波器的分類和應(yīng)用舉例濾波器的分類和應(yīng)用舉例 簡單的振幅濾波器簡單的振幅濾波器 復(fù)雜的濾波器復(fù)雜的濾波器低通濾波器低通濾波器: 允許通過的頻率有一上限允許通過的頻率有一上限截止頻率截止頻率f0在在|頻率頻率| 0, 上式代表從 S 發(fā)散的球面波.如果 z 0, 上式代表向 S 會聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU對給定平面是常量隨x, y變化的二次位相因子球面波特征位相簡單孔徑和光柵的夫瑯和費衍射圖樣簡單孔徑和光柵的夫瑯和費衍射圖樣計算和畫圖計算和畫圖照明條件：振幅為照明條件：振幅為

17、A的單色平面波垂直照明的單色平面波垂直照明夫瑯和費夫瑯和費衍射圖樣的衍射圖樣的強(qiáng)度分布：強(qiáng)度分布：222,),(),(zyzxTzAyxUyxI透鏡焦平面復(fù)振幅分布:fyfxTyxfdfkjfjAyxUfffffff, )(12exp),(220若僅考察后焦面上的光強(qiáng)度分布若僅考察后焦面上的光強(qiáng)度分布,則則 ,22fyfxTUfff是物體分布是物體分布t (x0,y0)的能量譜密度的能量譜密度.要會做單縫、雙縫、矩孔、矩形光柵、余弦光柵等要會做單縫、雙縫、矩孔、矩形光柵、余弦光柵等簡單光瞳的相干簡單光瞳的相干/光學(xué)傳遞函數(shù)及光學(xué)傳遞函數(shù)及相應(yīng)的截止頻率相應(yīng)的截止頻率對于對稱光瞳，沿某方向的相干

18、截止頻率對于對稱光瞳，沿某方向的相干截止頻率 = 此方向上光瞳的總寬度此方向上光瞳的總寬度2 di非相干截止頻率是相干截止頻率的非相干截止頻率是相干截止頻率的2倍倍例：出瞳為邊長例：出瞳為邊長 l 的正方形的正方形:llPhxhxrectrect,相干截止頻率相干截止頻率:idlf20002rect2rect,ffffffHyxyxc相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù):光學(xué)傳遞函數(shù)光學(xué)傳遞函數(shù):002tri2tri),( ffffffxxyx會畫沿某一方向會畫沿某一方向這些傳遞函數(shù)的這些傳遞函數(shù)的截面圖。截面圖。注意光瞳位置改注意光瞳位置改變引起傳遞函數(shù)變引起傳遞函數(shù)的變化的變化第三部分：綜合能力第三部分：綜合能力利用傅里葉變換及其定理求解利用傅里葉變換及其定理求解某些特殊函數(shù)的積分某些特殊函數(shù)的積分dxxx0si