1、 第4章 多自由度振動系統4.1多自由度系統概述多自由度系統概述4.2多自由度振動系統運動微分方程的多自由度振動系統運動微分方程的建立建立4.1多自由度系統概述多自由度系統概念 所謂多自由度系統，是指必須通過兩個以上的獨立廣義坐標才能夠描述系統運動特性的系統，或者說是自由度數目多于一個，但又不屬于連續彈性體（自由度數目為無窮多個）的系統。 多自由度系統的振動微分方程式，一般為相互耦合的常微分方程組。在系統發生微小振幅振動的情況下，微分方程為線性常系數的。本章包括以下的內容：（1）多自由度系統振動微分方程的建立方法及矩陣形式 （2）固有頻率和主振型 （3）無阻尼多自由度系統的模態分析 （4）有阻

2、尼多自由度系統的模態分析 （5）多自由度系統的響應分析 4.2多自由度振動系統運動微分方程的建立 如果將實際的工程結構在一定的假設條件和簡化處理后確定了動力學模型，并確定其中的慣性，剛度和阻尼參數之后，就可以應用多種方法建立系統的運動微分方程列如，直接法，影響系數法，拉格朗日方法以及有限元方法等。在這里主要介紹直接法，拉格朗日方法，影響系數法。 直接法 所謂直接法，就是直接應用動力學的基本定律或定理（列如牛頓第二定律或達朗貝爾原理）建立系統運動微分方程的方法。以前建立單自由度和二自由度振動系統的微分方程就是采用了這種方法。這種方法的特點是：分析比較直觀，簡便，適用于比較簡單的系統。利用直接法建

3、立微分方程的基本步驟如下：（1）對各質量取隔離體，進行受力分析 （2） 根據牛頓第二定律建立微分方程運動方程推導1 11212 21212 212 22322 13 32322 13 323 33 33 23 33 23()()( )()()( )( )mxcc xc xkk xk xP tm xcc xc xc xkk xk xk xP tm xc xc xk xk xP t拉格朗日法 拉格朗日方法是從能量的觀點建立系統的動能T勢能U、和功W之間的標量關系，研究靜、動力學問題的一種方法。它是一種普遍、簡單和統一的方法，適用于簡單或復雜系統的分析。 其處理的方法是：取n自由度系統的n個互為獨立

4、的變量 為廣義坐標，則拉格朗日法方程的形式()0 1,2,3, ,iiidTTQindtqq (1,2,3, )iqin廣義坐標廣義坐標T：系統的總動能對應于第i個廣義坐標的廣義力保守系統系統作用的主動力僅為勢力系統作用的主動力僅為勢力非保守系統有非勢力作用有非勢力作用分離能量耗散函數分離能量耗散函數D引起的阻尼力引起的阻尼力()0 1,2,3,iiidTTUindtqqqiiUQq 1niiiWQ q() 1,2,3,iiiidTTUQindtqqq非勢力的虛功非勢力的虛功() 1,2,3,iiiiidTTUDQindtqqqq僅代表外部激勵僅代表外部激勵廣義力廣義力運動方程推導例一有阻尼振

5、動，拉氏方程為有阻尼振動，拉氏方程為系統動能系統動能系統勢能系統勢能系統能量耗散函數系統能量耗散函數2221 12213321()() 2Dc xc xxc xx2221122331()2Tm xm xm x2221 12213321()() 2Uk xkxxk xx外力在虛位移上做的虛功外力在虛位移上做的虛功根據非勢力作用關系根據非勢力作用關系有阻尼振動拉氏方程形式有阻尼振動拉氏方程形式() 1,2,3, ,iiiiidTTUDQindtqqqq112222W P x P xP xiiQP11nniiiiiiWQ qQ x注意廣義坐標注意廣義坐標的對應關系的對應關系將上面各量代入，可得振動方

6、程1 11212 21212 212 22322 13 32322 13 323 33 33 23 33 23()()( )()()( )( )mxcc xc xkk xk xP tmxcc xc xcxkk xk xk xP tmxcxcxk xk xP t寫成矩陣形式總結討論 質量矩陣中的元素 為2T表達式中 的系數剛度矩陣中的元素 為2U表達式中 的系數阻尼矩陣中的元素 為2D表達式中 的系數112212222233223333333000000 K=0000mccckkkmcccckkkkmcckkMCijx x MXCXKXPijmijkijx xijcijx x 影響系數法建立振動

7、微分方程影響系數法建立振動微分方程 如果在選定運動坐標以后，能夠設法求得與坐標相對應的質量矩陣和剛度矩陣，就可以按照微分方程的一般形式寫出運動微分方程。為此，引入利用影響系數法求系數矩陣的方法。系統微分方程的兩種形式作用力方程位移方程其中k11 KF稱為柔度，而稱為柔度矩陣影響系數法建立振動微分方程影響系數法建立振動微分方程01XXMK 10mxxk或0 KXXM 0kxxm 或也可寫成0 xxm 0 XXFM 或 剛度矩陣的影響系數法 對于n 自由度的振動系統，剛度矩陣K為n*n矩陣，具有n*n個元素 ，這些元素稱為剛度影響系數。 剛度影響系數 的定義是使系統的第j個坐標產生單位位移，而其它

8、的坐標位移為零時，在第i個坐標上所施加的作用力的大小。注意：1）總是假定 的方向與坐標方向相同，通過靜力平衡方程求得其值的 符號即為 的符號； 2）力和位移都是廣義的，包括力矩和角位移。ijKkijkijkijkijk解：21122 12kkkxk111 12112kk xk xkk31130kk22223223kk xk xkk例題例題4-4用影響系數法求圖示系統的剛度矩陣。3223323kkk xk 111213212223313233kkkKkkkkkk1j 2j 所以，系統的剛度矩陣為所以，系統的剛度矩陣為3j 333 33kk xk33332222100kkkkkkkkkK 對于n自

9、由度的振動系統，質量矩陣M為n*n矩陣，具有n*n個元素 ，這些元素稱為慣性影響系數。 慣性影響系數 的定義是使系統的第j個坐標產生單位加速度，而其它的坐標加速度為零時，在第i個坐標上所需施加的作用力的大小。ijm質量矩陣的影響系數法ijMm1） 為與慣性力平衡的力，方向與加速度方向相同；2）在某坐標上施加加速度時，質量的位移為零，與彈性力無關。注意：ijmijm例題例題 用影響系數法求圖示系統的質量矩陣11122122mmMmm解：令 ，則j=1時有11x 12x 20 x 1m2m3mll11m11m x 2m x 21m1111222lmlm xlm x2122lmlm x21114mmm221124mmm4444232221mmmmmmM21x 10 x 1m2m3mll32m x 12x 22m2m x 12m2232222lmlm xlm x22234mmm2j 所以，系統的質量矩陣為柔度矩陣的影響系數法ijF 柔度影響系數 的意義是在第j個坐標上施加單位力作用時，在第i個坐標上引起的位移。ij例題例題用影響系數法求圖示系統的柔度矩陣11121