1、雙曲線解答題練習(xí)1.如圖，在以點(diǎn)o為圓心，| 4ab為直徑的半圓adb中，odab，p是半圓弧上一點(diǎn)，30pob，曲線c是滿足|mamb為定值的動(dòng)點(diǎn)m的軌跡，且曲線c過點(diǎn)p. （）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線c的方程；（） 設(shè)過點(diǎn)d的直線 l與曲線c相交于不同的兩點(diǎn)e、f. 若oef的面積不小于2 2，求直線l斜率的取值范圍. 2.雙曲線的中心為原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為12ll，經(jīng)過右焦點(diǎn)f垂直于1l的直線分別交12ll，于ab，兩點(diǎn)已知oaabobu uu ruuu ruuu r、成等差數(shù)列， 且bfuuu r與fauu u r同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)ab被雙曲線所

2、截得的線段的長為4，求雙曲線的方程3.已知雙曲線222xy的左、右焦點(diǎn)分別為1f，2f，過點(diǎn)2f的動(dòng)直線與雙曲線相交于ab，兩點(diǎn)（i）若動(dòng)點(diǎn)m滿足1111fmf af bfouu uu ruuu ruuu ruu ur（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，求點(diǎn)m的軌跡方程；（ii）在x軸上是否存在定點(diǎn)c，使cauu u rcbuuu r為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由4.已知雙曲線c的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。（1）求雙曲線c的方程；（2）如圖， p是雙曲線c上一點(diǎn)， a，b 兩點(diǎn)在雙曲線c的兩條 漸 近 線 上 ， 且 分 別 位 于 第 一 、 二 象 限 ， 若，求面積

3、的取值范圍5求一條漸近線方程是043yx，一個(gè)焦點(diǎn)是0,4的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求此雙曲線的離心率（12 分）22221(0,0)yxabab52e2 551,23appbu uu ruu u raob6雙曲線0222aayx的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為21,ff，p為雙曲線上任意一點(diǎn)，求證：21pfpopf、成等比數(shù)列（o為坐標(biāo)原點(diǎn)） （12 分）7已知?jiǎng)狱c(diǎn)p與雙曲線x2y21 的兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2的距離之和為定值，且cosf1pf2的最小值為13. （1）求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程；（2）設(shè) m(0， 1)，若斜率為k(k 0)的直線l 與 p 點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)a、b，若要使 | ma| | mb| ，試

4、求 k 的取值范圍 （ 12 分）8已知不論b 取何實(shí)數(shù)， 直線 y=kx+b 與雙曲線1222yx總有公共點(diǎn)， 試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍 .（12 分）9設(shè)雙曲線c1的方程為)0,0(12222babyax，a、b為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，p是雙曲線 c1上的任意一點(diǎn)，引qbpb， qapa ，aq 與 bq交于點(diǎn) q. （1）求 q 點(diǎn)的軌跡方程; （2）設(shè)（ 1）中所求軌跡為c2，c1、c2 的離心率分別為e1、e2，當(dāng)21e時(shí)， e2的取值范圍（14 分）10某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響， 正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s.

5、已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是 1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s : 相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上).（14 分）雙曲線練習(xí)題答案1.如圖，在以點(diǎn)o為圓心，|4ab為直徑的半圓adb中，odab，p是半圓弧上一點(diǎn)，30pob，曲線c是滿足|mamb為定值的動(dòng)點(diǎn)m的軌跡，且曲線c過點(diǎn)p. （）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線c的方程；（）設(shè)過點(diǎn)d的直線 l 與曲線c相交于不同的兩點(diǎn)e、f. 若oef的面積不小于2 2，求直線l斜率的取值范圍. 解： （）以 o 為原點(diǎn)， ab、od 所在直線分別為x 軸、y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 a （ -2，0）

6、，b（2，0） ，d(0,2),p（1 ,3） ，依題意得ma-mb=pa -pb221321)32(2222）（ ab 4. 曲線 c是以原點(diǎn)為中心，a、b 為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)實(shí)半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則 c2，2a22， a2=2,b2=c2-a2=2. 曲線 c的方程為12222yx. 解法 2：同解法1 建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得ma-mb=pa-pb ab 4. 曲線 c是以原點(diǎn)為中心，a、b 為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)雙曲線的方程為abyax(122220，b0）. 則由411322222baba）（解得 a2=b2=2, 曲線 c的方程為.12222yx()解法

7、1：依題意，可設(shè)直線l 的方程為ykx+2，代入雙曲線c 的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. 直線 l 與雙曲線 c相交于不同的兩點(diǎn)e 、 f，0)1(64)4(01222kkk133kkk（ -3,-1）（ -1，1）（ 1，3）. 設(shè) e（x，y） ，f(x2,y2)，則由式得x1+x2=kxxkk16,14212,于是ef2212221221)(1 ()()(xxkxyxx.132214)(1222212212kkkxxxxk而原點(diǎn) o 到直線 l 的距離 d212k，sdef=.132213221122121222222kkkkkkefd若 oef面積不小于22,即 so

8、ef22，則有解得.22,022213222422kkkkk綜合、知，直線l 的斜率的取值范圍為-2， -1(1-,1) (1, 2). 解法 2：依題意，可設(shè)直線l 的方程為 ykx+2，代入雙曲線c的方程并整理，得（ 1-k2） x2-4kx-6=0. 直線 l 與雙曲線 c相交于不同的兩點(diǎn)e 、 f，22210( 4 )46(1)0kkk133kk.k（ -3，-1）（ -1，1）（ 1，3）. 設(shè) e(x1,y1),f(x2,y2),則由式得x1-x2=.132214)(22221221kkkxxxx當(dāng) e、f在同一去上時(shí)（如圖1 所示） ，soef;21212121xxodxxods

9、sodeodf當(dāng) e、f在不同支上時(shí)（如圖2 所示） . odfoefsssode=.21)(212121xxodxxod綜上得soef,2121xxod于是由od 2 及式，得soef=.132222kk若oef面積不小于 2則有即,22,2oefs.22,02213222422kkkkk解得綜合、知，直線 l 的斜率的取值范圍為-2， -1（ -1，1）（ 1，2）. 2.（）設(shè)oamd，abm，obmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbaofa，4tantan23abaobaofoa由倍角公式22431baba，解得12ba,則離心率52e（）過f直線方程為(

10、)ayxcb,與雙曲線方程22221xyab聯(lián)立將2ab，5cb代入，化簡有22158 52104xxbb將數(shù)值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的雙曲線方程為221369xy。3.解：由條件知1( 2 0)f，2(2 0)f，設(shè)11()a xy，22()b xy，（i）解法一：（i）設(shè)()mxy，則則1(2)fmxyuu uu r，111(2)f axyu uu r，1221(2)(2 0)f bxyfou uu ruuur，由1111fmf af bfou uu u ruuu ru uu ruuu r得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是ab的中點(diǎn)坐

11、標(biāo)為422xy，當(dāng)ab不與x軸垂直時(shí)，121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx又因?yàn)閍b，兩點(diǎn)在雙曲線上，所以22112xy，22222xy，兩式相減得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy將1212()8yyyxxx代入上式，化簡得22(6)4xy當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，122xx，求得(8 0)m，也滿足上述方程所以點(diǎn)m的軌跡方程是22(6)4xy解法二：同解法一的（i）有12124xxxyyy，當(dāng)ab不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程是(2)(1)yk xk代入222xy有2222(1)4(42)0kxk xk則12xx，

12、是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以212241kxxk21212244(4)411kkyyk xxkkk由得22441kxk241kyk當(dāng)0k時(shí)，0y，由得，4xky，將其代入有2222444 (4)(4)(4)1xy xyyxxyy整理得22(6)4xy當(dāng)0k時(shí)，點(diǎn)m的坐標(biāo)為(4 0)，滿足上述方程當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，122xx，求得(8 0)m，也滿足上述方程故點(diǎn)m的軌跡方程是22(6)4xy（ii）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)(0)c m，使ca cbuu u r uuu rg為常數(shù)當(dāng)ab不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程是(2)(1)yk xk代入222xy有2222(1)4(42)0kxk xk則12

13、xx，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以212241kxxk，2122421kx xk，于是21212()()(2)(2)ca cbxm xmkxxuu u r uuu rg222222(1 2)2442(1 2)11m kmmmmkk因?yàn)閏a cbuu u r u uu rg是與k無關(guān)的常數(shù)，所以440m，即1m，此時(shí)ca cbuu u r uu u rg=1當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)ab，的坐標(biāo)可分別設(shè)為(22)，(22)，此時(shí)(12) (12)1ca cbuu u r uuu rgg，故在x軸上存在定點(diǎn)(10)c ，使ca cbuu u r u uu rg為常數(shù)4.（）由題意知，雙曲線c的頂點(diǎn)（ 0

14、，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）設(shè)直線ab 的方程為由題意知由由將 p點(diǎn)的坐標(biāo)代入得設(shè) q 為直線 ab與 y 軸的交點(diǎn)，則q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，m）=2 505axby的距離為222 55abab2 55abc2222 5525125abcacbaccab得c2y421x,ykxm2,0km2,),222ykxmmmayxkk得 點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,),222ykxmmmbyxkk得 點(diǎn)的坐標(biāo)為（21x2y42224(1)4mkaobsaoqboqss5 （12 分）解析 ：設(shè)雙曲線方程為：22169yx，雙曲線有一個(gè)焦點(diǎn)為（4，0） ，0雙曲線方程化為：2548161691169

15、222yx，雙曲線方程為：1251442525622yx455164e6 （12 分）解析 ：易知2,2,eacab，準(zhǔn)線方程：2ax，設(shè)yxp,，則)2(21axpf，)2(22axpf，22yxpo，2222212)2(2axaxpfpf222222)(poyxaxx21pfpopf、成等比數(shù)列 . 7 （12 分）解析 ：(1)x2y21， c2.設(shè)| pf1| | pf2| 2a(常數(shù) a0)，2a2c22，a2 由 余 弦 定 理 有cosf1pf2| pf1|2| pf2|2| f1f2|22| pf1| pf2|(| pf1| | pf2|)22| pf1| pf2| | f1f

16、2|22| pf1| pf2|2a24| pf1| pf2|1 | pf1| pf2| (| pf1| | pf2|2)2a2，當(dāng)且僅當(dāng) | pf1| | pf2| 時(shí)， | pf1| pf2| 取得最大值a2. 此時(shí) cosf1pf2取得最小值2a24a21， 由題意2a24a2 113， 解得 a23，123222cabp點(diǎn)的軌跡方程為x23y21. (2)設(shè) l： ykxm(k 0)， 則由，mkxyyx1322將代入得： (13k2)x26kmx3(m21)0 (*) 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab中點(diǎn) q(x0，y0)的坐標(biāo)滿足： x0 x1x223km13k2，y0kx0mm13k2即 q(3km13k2，m13k2) | ma| | mb| ， m 在 ab 的中垂線上，klkabkm13k213km13k2 1 ，解得 m13k22 又由于 (*)式有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，知0，即 (6km)24(13k2)3(m21) 12(13k2m2)0 ，將代入得1213k2(13k22)20，解得 1k