1、現代設計理論與方法第二次作業無約束優化方法習題三、用牛頓法求解（變量收斂精度為10-5 ）（1） 解：通過使用已有的牛頓法程序，分別將目標函數、初始點及收斂精度輸入程序，便得到所求函數的結果，如下圖：（2）將函數在點簡化為二次函數，并用牛頓法求此二次函數的最優解。解：1）通過調用matlab中的泰勒函數，將函數簡化成在點處的二次函數如下圖：編寫的huajiancheng_2ci.m文件程序如下：syms x1 x2f=x14-3*x12*x2+2*x23;ffprintf('化簡后的二次函數n')f1=taylor(f, x1,x2,1,1,'order',3)

2、2）將第一問的化簡后的二次函數與入牛頓法程序所得結果如下圖所示四、用最速下降法求解（變量收斂精度為10-5 ）（1） （2）將函數在點簡化為二次函數，并用最速下降法求此二次函數的最優解。答：同樣調用huajiancheng_2ci.m文件程序，得出如下圖化簡結果然后將化簡結果寫入最速下降法程序中得：附錄原程序：第3題第（1）問原程序%現代設計理論與方法第二次作業%=function Ymin=newton_methodX=1,1;epsi=1e-5;X0=X.' %設置初始點X0。G=Gname(X0(1),X0(2); k=0; %將迭代次數置0。while (abs(norm(G,

3、2)>epsi %while循環，將梯度的模和收斂精度比較進行迭代計算。syms t X1=X0; %把X(k)點先賦值給X(k+1)點。H1=Hname(X1(1),X1(2); X1=X1-t*(inv(H1)*G; f_t=fname(X1(1),X1(2); df_t=diff(f_t); %函數對t求一階導數。t0=solve(df_t); %求解最優步長。t=subs(t0); X0=X0-t*(inv(H1)*G; G=Gname(X0(1),X0(2); %調用梯度函數 k=k+1; endYmin=fname(X0(1),X0(2); fprintf('迭代次數

4、為：n %g',k) %輸出迭代次數。fprintf('n');fprintf('牛頓法求得最優解為：%f,%f',double(X0); %輸出最優解。fprintf('n');fprintf('牛頓法求得最優值的小數表示為：%fn分數表示為：',double(Ymin) %輸出最小值。 %梯度計算函數 function G=Gname(a,b) syms x1 x2 f=fname(x1,x2); dfx1=diff(f,'x1'); dfx2=diff(f,'x2'); df1=sub

5、s(dfx1,x1,x2,a,b); df2=subs(dfx2,x1,x2,a,b); G1=df1,df2' G=subs(G1); %海森矩陣計算函數function H=Hname(a,b) syms x1 x2 f=fname(x1,x2); dfx1=diff(f,'x1'); dfx2=diff(f,'x2'); dfx11=diff(dfx1,'x1'); dfx12=diff(dfx1,'x2'); dfx21=diff(dfx2,'x1'); dfx22=diff(dfx2,'x

6、2'); df11=subs(dfx11,x1,a); df11=subs(df11,x2,b); df12=subs(dfx12,x1,a);df12=subs(df12,x2,b);df21=subs(dfx21,x1,a);df21=subs(df21,x2,b);df22=subs(dfx22,x1,a);df22=subs(df22,x2,b);H1=df11,df12;df21,df22; H=subs(H1); %目標函數表達式function f=fname(x1,x2) f=x12-2*x1*x2+1.5*x22+x1-2*x2;第3題第（2）原程序%現代設計理論與方

7、法第二次作業%第三題第2小題%=function Ymin=newton_method2X=1,1;epsi=1e-5;X0=X.' %設置初始點X0。G=Gname(X0(1),X0(2); k=0; %將迭代次數置0。while (abs(norm(G,2)>epsi %while循環，把梯度的模和收斂精度進行比較。syms t X1=X0; %把X(k)點先賦值給X(k+1)點。H1=Hname(X1(1),X1(2); X1=X1-t*(inv(H1)*G; f_t=fname(X1(1),X1(2); df_t=diff(f_t); %函數對t求一階導數。t0=solv

8、e(df_t); %求解最優步長。t=subs(t0); X0=X0-t*(inv(H1)*G; G=Gname(X0(1),X0(2); %調用梯度函數 k=k+1; endYmin=fname(X0(1),X0(2); fprintf('迭代次數為：n %g',k) %輸出迭代次數。fprintf('n');fprintf('牛頓法求得最優解為X0=%f,%f',double(X0); %輸出最優解。fprintf('n');fprintf('牛頓法求得最優值的小數表示為Ymin=%fn分數表示為：',doub

9、le(Ymin) %輸出最小值。 %梯度計算函數 function G=Gname(a,b) syms x1 x2 f=fname(x1,x2); dfx1=diff(f,'x1'); dfx2=diff(f,'x2'); df1=subs(dfx1,x1,x2,a,b); df2=subs(dfx2,x1,x2,a,b); G1=df1,df2' G=subs(G1); %海森矩陣計算函數function H=Hname(a,b) syms x1 x2 f=fname(x1,x2); dfx1=diff(f,'x1'); dfx2=di

10、ff(f,'x2'); dfx11=diff(dfx1,'x1'); dfx12=diff(dfx1,'x2'); dfx21=diff(dfx2,'x1'); dfx22=diff(dfx2,'x2'); df11=subs(dfx11,x1,a); df11=subs(df11,x2,b); df12=subs(dfx12,x1,a);df12=subs(df12,x2,b);df21=subs(dfx21,x1,a);df21=subs(df21,x2,b);df22=subs(dfx22,x1,a);df2

11、2=subs(df22,x2,b);H1=df11,df12;df21,df22; H=subs(H1); %目標函數表達式function f=fname(x1,x2) f=3*x2 - 2*x1 - 6*(x1 - 1)*(x2 - 1) + 3*(x1 - 1)2 + 6*(x2 - 1)2 - 1;第四題第（1）問源程序%現代設計理論與方法第二次作業%第四題第1小題%=function Ymin=zuisuxiajiang_methodX=1,1;epsi=1e-5;X0=X.' %設置初始點X0。G=Gname(X0(1),X0(2); k=0; %將迭代次數置0。while

12、 abs(G)>epsi %while循環，把梯度的模和收斂精度進行比較。syms t X1=X0; %把X(k)點先賦值給X(k+1)點。 X1=X1-t*G; f_t=fname(X1(1),X1(2); df_t=diff(f_t); %函數對t求一階導數。t0=solve(df_t); %求解最優步長。t=subs(t0); X0=X0-t*G; G=Gname(X0(1),X0(2); %調用梯度函數 k=k+1; endYmin=fname(X0(1),X0(2); fprintf('迭代次數為：n %g',k) %輸出迭代次數。fprintf('n&

13、#39;);fprintf('最速下降法求得最優解為X0=%f,%f',double(X0); %輸出最優解。fprintf('n');fprintf('最速下降法求得最優值的小數表示為Ymin=%fn分數表示為：',double(Ymin) %輸出最小值。 %梯度計算函數 function G=Gname(a,b) syms x1 x2 f=fname(x1,x2); dfx1=diff(f,'x1'); dfx2=diff(f,'x2'); df1=subs(dfx1,x1,x2,a,b); df2=subs(

14、dfx2,x1,x2,a,b); G1=df1,df2' G=subs(G1); %目標函數表達式function f=fname(x1,x2) f=x12-2*x1*x2+1.5*x22+x1-2*x2;第四題第（2）問源程序%現代設計理論與方法第二次作業%第四題第2小題%=function Ymin=zuisuxiajiang_method2X=1,1;epsi=1e-5;X0=X.' %設置初始點X0。G=Gname(X0(1),X0(2); k=0; %將迭代次數置0。while abs(G)>epsi %while循環，把梯度的模和收斂精度進行比較。syms t

15、 X1=X0; %把X(k)點先賦值給X(k+1)點。 X1=X1-t*G; f_t=fname(X1(1),X1(2); df_t=diff(f_t); %函數對t求一階導數。t0=solve(df_t); %求解最優步長。t=subs(t0); X0=X0-t*G; G=Gname(X0(1),X0(2); %調用梯度函數 k=k+1; endYmin=fname(X0(1),X0(2); fprintf('迭代次數為：n %g',k) %輸出迭代次數。fprintf('n');fprintf('最速下降法求得最優解為X0=%f,%f',double(X0); %輸出最優解。fprintf('n');fprintf('最速下降法求得最優值的小數表示為Ymin=%fn分數表示為：',double(Ymin) %輸出最小值。 %梯度計算函數 function G=Gname(a,b) syms x1 x2 f=fnam