河北省唐山市第一中學2020屆高三數學10月調研考試試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1. i是虛數單位，A. B. C. D. 2. 設，則“”是“”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3. 圓截直線所得弦長為2，則實數A. 2B. C. 4D. 4. 已知，那么等于 A. B. 8C. 18D. 5. 求函數零點的個數為A. 1B. 2C. 3D. 46. 若直線與曲線有兩個交點，則k的取值范圍是A. B. C. D. 7. 已知函數，則A. 在單調遞增B. 的最小值為4C. 的圖象關于直線對稱D. 的圖象關于點對稱8. 己知橢圓的右焦點為F，過點F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓C的離心率為A. B. C. D. 9. 已知P是邊長為2的正三角形ABC邊BC上的動點，則的值A. 是定值6B. 最大值為8C. 最小值為2D. 與P點位置有關10. 已知函數，若方程有五個不同的實數根，則a的取值范圍是A. B. C. D. 11. 若點A的坐標為，F是拋物線的焦點，點M在拋物線上移動時，使取得最小值的M的坐標為A. B. C. D. 12. 已知函數的導函數為，若，則下列結論正確的是A. 在單調遞減B. 在單調遞增C. 在上有極小值D. 在上有極大值二、填空題（本大題共4小題）13. 已知向量，且，則_14. 函數是常數，的部分圖象如圖所示，則_15. 數列滿足，且，則等于_ 16. 等差數列的前n項和滿足，則數列的前n項和為_三、解答題（本大題共6小題）17. 已知函數求的定義域與最小正周期；討論在區間上的單調性18. 已知等差數列中，順次成等比數列求數列的通項公式；記，的前n項和，求19. 已知a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，若，求cosB；設，且，求的面積20. 已知數列滿足證明：是等比數列；求21. 已知函數若是函數的極值點，求a的值及函數的極值；討論函數的單調性22. 已知函數，曲線在點處的切線為求a，b的值；若對任意的，恒成立，求正整數m的最大值答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故選：C兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復數，運算求得結果本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，兩個復數相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復數，屬于基礎題2.【答案】A【解析】解：，則，可得“”是“”的充分不必要條件故選：A運用絕對值不等式的解法和正弦函數的圖象和性質，化簡兩已知不等式，結合充分必要條件的定義，即可得到結論本題考查充分必要條件的判斷，同時考查正弦函數的圖象和性質，運用定義法和正確解不等式是解題的關鍵，屬于基礎題3.【答案】D【解析】解：圓的標準方程為，可得圓心坐標為，半徑滿足，則圓心到直線的距離為，由，得，故選：D由已知圓的方程求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列式求解本題考查直線和圓相交以及弦長公式的應用，求出圓心和半徑是解決本題的關鍵，是基礎題4.【答案】D【解析】【分析】本題考查函數的含義，是基礎題；本題也可以先求函數的解析式，代入求值即可考查的形式，把化為的形式，即可【解答】解：，故選D5.【答案】C【解析】解：，在上單調遞增，在上單調遞減，在上上單調遞增，所以當時，取到極大值，所以當時，取到極小值，所以函數零點的個數為3 故選C 通過求導研究函數的單調性和極值與0的大小即可得到答案本題考查函數零點個數的判斷，注意利用導數判斷函數的單調性、極值在判斷函數零點個數中的應用6.【答案】C【解析】解：直線，當時，可得此直線恒過，曲線為圓心在坐標原點，半徑為2的半圓，根據題意作出相應的圖形，如圖所示： 當直線與半圓相切切點在第二象限時，圓心到直線的距離，即，解得：，當直線過點C時，將，代入直線方程得：，解得：，則直線與曲線有2個交點時k的范圍為故選C由直線方程的特點得到此直線恒過，由曲線方程的特點得到曲線為一個半圓，在平面直角坐標系中畫出相應的圖形，根據直線與半圓有2個交點，取兩個特殊情況：當直線與半圓相切，且切點在第二象限時，可得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值；當直線過點C時，將C的坐標代入直線方程，得到關于k的方程，求出方程的解得到此時k的值，由圖象可得出滿足題意k的取值范圍此題考查了直線與圓的位置關系，利用了數形結合的數學思想，直線與圓的位置關系由d與r的大小來判斷為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，當時，直線與圓相離；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相交7.【答案】D【解析】解：；在單調遞減，關于對稱；在上單調遞減，關于點對稱；故選：D可將原函數變成，從而看出是由沿x軸向右平移1個單位，沿y軸向上平移2個單位得出，顯然，關于原點對稱，從而得出關于對稱，從而選D考查圖象的平移，奇函數的對稱性，以及的奇偶性和單調性8.【答案】D【解析】【分析】本題考查橢圓的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，屬于基礎題由題意畫出圖形，可得，兩邊平方后結合a，b，c之間的關系得答案【解答】解：如圖，由題意可得，則，即，則，即故選：D9.【答案】A【解析】解：設則，故選：A先設，然后用和表示出，再由將、代入可用和表示出，最后根據向量的線性運算和數量積運算可求得的值，從而可得到答案本題主要考查向量的數量積運算和向量的線性運算高考對向量的考查一般不會太難，以基礎題為主，而且經常和三角函數練習起來考查綜合題，平時要多注意這方面的練習10.【答案】B【解析】【分析】本題考查了方程的解與函數圖象的交點個數問題及利用導數求切線方程，屬中檔題由方程的解與函數圖象的交點問題得：方程有五個不同的實數根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限由兩個交點即可，利用導數求切線方程得：設過原點的直線與切于點，得，即，即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求a的取值范圍為，得解【解答】解：設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數根等價于函數的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，由，則切線方程為，又此直線過點，所以，所以，即，即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求a的取值范圍為故選B11.【答案】D【解析】解：由題意得，準線方程為，設點M到準線的距離為，則由拋物線的定義得，故當P、A、M三點共線時，取得最小值為把代入拋物線得，故點M的坐標是，故選：D求出焦點坐標和準線方程，把轉化為，利用當P、A、M三點共線時，取得最小值，把代入拋物線解得x值，即得M的坐標本題考查拋物線的定義和性質得應用，解答的關鍵利用是拋物線定義，體現了轉化的數學思想12.【答案】D【解析】解：，設，則，由，解得：，解得：，時，函數取得最大值，故選：D設，得到，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到函數的極大值，從而求出答案本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，構造函數是解題的關鍵，本題是一道中檔題13.【答案】【解析】解：且，解得，故答案為：由向量共線可得m值，進而可得的坐標，由模長公式可得答案本題考查向量的模，涉及向量的共線的條件，屬基礎題14.【答案】【解析】【分析】本題主要考查由函數的部分圖象求解析式，考查了正弦函數的圖象和性質，考查了數形結合思想，屬于基礎題由函數的最值求出A，由周期求出，由點在函數圖象上可得，結合范圍，可得：，得函數的解析式，即可計算得解的值【解答】解：由函數的部分圖象，可得，解得：，解得：由點在函數圖象上，可得：，可得，又可得：，可得函數解析式為，可得故答案為15.【答案】【解析】解：，即數列為等差數列，又，首項，公差，故答案為：通過可知數列為等差數列，進而計算可得結論本題考查數列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題16.【答案】【解析】解：等差數列的公差設為d，前n項和為，可得，解得，即，則，前n項和，相減可得，化簡可得故答案為：等差數列的公差設為d，運用等差數列的求和公式，解方程可得首項和公差，進而得到通項公式，以及，運用數列的錯位相減法求和，可得所求和本題考查等差數列的通項公式和求和公式，以及等比數列的求和公式，考查數列的錯位相減法求和，考查化簡運算能力，屬于基礎題17.【答案】解：，即函數的定義域為，則，則函數的周期；由，得，即函數的增區間為，當時，增區間為，此時，由，得，即函數的減區間為，當時，減區間為，此時，即在區間上，函數的減區間為，增區間為【解析】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的誘導公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵利用三角函數的誘導公式以及兩角和差的余弦公式，結合三角函數的輔助角公式進行化簡求解即可利用三角函數的單調性進行求解即可18.【答案】解：設等差數列的公差為d，因為，順次成等比數列，所以，所以，化簡得，解得所以，所以由得，所以【解析】利用等比數列的通項公式列出方程求出數列的公差，然后求解通項公式化簡通項公式，利用并項求和求解數列的和即可本題考查等差數列以及等比數列的通項公式以及數列求和的方法，考查計算能力19.【答案】解：，由正弦定理可得：，代入可得，由余弦定理可得：由可得：，且，解得【解析】，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出利用及勾股定理可得c，再利用三角形面積計算公式即可得出本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20.【答案】解：證明：由得：，因為，所以，從而由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數列；由得，所以【解析】運用數列的遞推式和等比數列的定義，即可得證；由等比數列的通項公式、求和公式，以及數列的分組求和，計算可得所求和本題考查數列的通項公式的求法，注意運用數列的遞推式，考查等比數列的通項公式和求和公式，以及數列的分組求和，考查運算能力，屬于中檔題21.【答案】解：，由已知，此時，當和時， 0/，是增函數，當時，是減函數，所以函數在和處分別取得極大值和極小值故函數的極大值為，極小值為，當，即時，時，時， 0/，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；當，即時，和時， 0/，時，所以在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當，即時，和時， 0/，時，所以在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當，即時，所以在定義域上單調遞增；綜上：當時，在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，在定義域上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間和上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增【解析】本題考查函數的極值以及函數的單調性的判斷，考查分類討論思想的應用，是難題求出導函數，通過時導函數為0，求出a，然后求解極值點判斷導函數的符號，求解函數的極值求出導函數，通