1 第3章復合運動 3 1絕對運動 相對運動 牽連運動3 2變矢量的絕對導數與相對導數3 3點的復合運動的分析解法 不要求 3 3 1動點的運動方程3 3 2動點的速度和加速度合成的解析表達式3 4點的復合運動的矢量解法3 4 1速度合成定理3 4 2加速度合成定理3 5剛體的復合運動 不作為重點內容 簡單介紹 3 5 1剛體平面運動的角速度合成定理3 5 2剛體平面運動可分解為平移和轉動3 5 3某類剛體的平面運動分解為兩個轉動作業3 63 73 83 93 113 153 183 193 213 22 9學時 速度分析 加速度分析 2 本章主要內容 第3章復合運動 物體的運動具有相對性 對于同一物體 若選取的參考空間不同 則其運動狀態也就不同 學習本章的意義 在前面的章節中 對物體運動的研究都是在同一個參考空間中進行的 本章將在兩個不同的參考空間中討論同一物體的運動 并給出物體在這兩個參考空間中的運動量之間的數學關系式 物體相對于甲空間的運動可視為其相對于乙空間的運動和乙空間相對于甲空間運動的復合運動 本章介紹復合運動的基本知識 復合運動是研究剛體復雜運動的重要基礎 3 第3章復合運動 3 1絕對運動相對運動牽連運動 1 基本概念 定參考系 定系 動參考系 動系 絕對運動 相對運動 牽連運動 2 舉例說明 直升飛機 車輪運動 吊車 飛機螺旋槳 偏心凸輪 車輪上的點的運動 4 3 復合運動 研究對象在不同的參考空間中的運動狀態是不同的 這種差別是由于動系相對于定系有運動 即存在牽連運動所導致的 如果沒有牽連運動 研究對象的絕對運動和相對運動就沒有任何差別 如果物體作相對運動的同時還存在牽連運動 兩種運動的結果就是在定系中所看到的運動 換言之 當已知研究對象的相對運動及牽連運動 則研究對象的絕對運動必為某一確定的運動 這說明研究對象的絕對運動可視為其相對運動和牽連運動的合成運動 通常將這種合成運動稱為復合運動 5 結論 物體 點或剛體 的相對運動與其隨同動系的牽連運動合成為物體的絕對運動 或者說 物體的絕對運動可分解為物體的相對運動和其隨同動系的牽連運動 注意 物體運動的合成與分解是在兩個有相對運動的不同的參考空間中進行的 因此 必須明確研究對象 動參考系和定參考系 4 運動合成與分解的應用 1 某些工程機構 只有用上述方法才能求出機構中各構件的運動關系 2 實際問題需要在不同的參考空間研究物體的運動 這種利用動系和定系來分析運動的方法 或運動的合成與分解 不僅在工程技術上有廣泛應用 而且還是在非慣性參考系中研究動力學問題的基礎 6 3 2變矢量的絕對導數與相對導數 目的 變矢量 其變化依賴于所選取的參考空間 定義其中一個空間為定系 另一個空間為動系 規定 絕對增量 相對增量 遷移增量 變矢量相對定系的增量 變矢量相對動系的增量 動系相對于定系發生方位的改變 的方位改變而產生的增量 7 絕對導數 相對導數 推導絕對導數和相對導數之間的關系 限于所學知識 僅討論動系相對定系作平面運動情形 對于更復雜的運動 所得結論依然正確 絕對增量相應的導數為絕對導數 相對增量相應的導數為相對導數 其中 是由于動系相對定系發生方位改變 造成的方向改變而產生的增量 在這一變化過程中 矢量的大小保持時刻t的值不發生變化 因此 當足夠小 即動系作平面運動的角位移足夠小時 由附錄I 1知 則 8 動系相對定系在t時刻的角速度矢量 3 1 變矢量的絕對導數與相對導數的關系式 上式表明 同一變矢量相對不同的參考空間其變化率一般不同 這種差別是由動系方位變化所引起的 動系作平移的特殊情況 當動系作平移時 由于動系無方位改變 其角速度 因此在這一特殊情況下 變矢量的絕對導數與相對導數相等 即 3 2 9 3 4點的復合運動的矢量解法 3 4 1動點的運動方程 1 確定參考點 定系中任一確定點 動系中任一確定點 2 動點M的變化規律 絕對運動方程 相對運動方程 牽連運動方程 點相對點的矢徑 在任意時刻t 3 3 給出了動點的絕對運動方程 相對運動方程以及牽連運動為平面運動時的牽連運動方程 根據點的運動學知識 由此完全可求出該點相對于定系或動系的軌跡 速度 加速度及其在這兩個參考系中這些量之間存在的關系 10 3 4 2動點的速度和加速度 絕對速度 動點M相對于定系的速度 3 18 絕對加速度 動點M相對于定系的加速度 3 19 相對速度 動點M相對于動系的速度 3 20 相對加速度 動點M相對于動系的加速度 3 21 絕對導數 絕對導數 在動系中的相對導數 在動系中的相對導數 矢量解法的優點 與第二章相類似 對于能構成復合運動的機構 如果需要求系統在某一瞬時的運動學量 這時用分析法求解則比較麻煩 如果用點的速度合成定理和加速度合成定理所給出的矢量公式進行求解則很方便 11 3 4 3速度合成定理 已知 動點M 動點M相對定系的絕對矢徑為 動點M相對動系的相對矢徑為 動空間參考點的絕對矢徑為 則 3 3 對時間t求絕對導數 得 其中 動點M的絕對速度 動系參考點相對定系的絕對速度 相對矢徑的絕對速度 動系的角速度 12 3 32 定義牽連速度 在動空間中對動點M的絕對運動產生直接影響的是此瞬時動系上與動點相重合的點N 定義重合點N相對定系的絕對速度為牽連速度 記作 3 33 3 34 于是 速度合成定理 矢量方程式 在任意瞬時均成立 速度合成定理 在任一瞬時 動點的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量和 速度合成定理的適用范圍 速度合成定理雖然是在牽連運動為平面運動時推導所得 但當牽連運動為其他形式的剛體運動時 依然成立 13 3 4 4加速度合成定理 加速度合成關系的推導 定義牽連加速度 當動系作平面運動時 動系上與動點重合點N的絕對加速度 定義為牽連加速度 3 35 則 3 36 牽連速度的絕對導數并不等于牽連加速度 14 3 37 相對速度的絕對導數并不等于相對加速度 的產生原因 的產生時由于相對運動和牽連運動同時存在的結果 在式 3 36 中 由于相對運動的存在 在定系中看到的重合點不是動系中的固定不變點 由于重合點的改變而產生了該項附加加速度 在式 3 37 中 由于牽連運動使得相對速度的方向在定系中發生變化而產生的附加加速度 定義科氏加速度 法國人科里奧利 G G Coriolis1792 1843 在1835年提出 3 38 加速度合成定理 3 39 加速度合成定理的矢量公式 在任意瞬時均成立 15 加速度合成定理 任一瞬時動點的絕對加速度等于其相對加速度 牽連加速度與科氏加速度的矢量和 適用于任何形式的牽連運動 科氏加速度的大小和方向 1 大小 方向 為的正向與正向的夾角 2 特殊情況 當時 方向由順的轉向轉得到 16 當或時 一般情況下 3 綜合上述 大小 其方向為順的轉向轉過 如圖所示 時所指方向 17 動點 水管中的水滴M 動系 與水管固連 絕對運動 未知曲線運動 相對運動 直線運動 牽連運動 隨水管的定軸轉動的圓周運動 18 例3 7 圖a所示機構中 曲柄OA以勻角速度作定軸轉動 帶動桿AC在套筒B內滑動 套筒B和與其剛性連接的桿BD又可繞B軸轉動 已知OA BD r 圖示瞬時桿OA處于鉛垂位置 桿AC與水平線的夾角 試求此時點D的速度和加速度 解 1 運動分析 2 速度分析 沿軸方向投影 19 方向 沿軸方向投影 3 加速度分析 20 沿軸方向投影 方向 方向 21 3 5剛體的復合運動 3 5 1剛體平面運動的角速度合成公式 平面運動方位角隨時間的變化規律為 對時間求導數 3 41 角速度轉向如圖所示 22 用矢量表示角速度 因為在運動過程中 3 42 稱為剛體平面運動的角速度合成定理 對式 3 42 求導 3 43 得到角加速度的關系 23 3 5 2剛體平面運動可分解為平移和轉動 平面圖形S上任一點B的速度 加速度可由復合運動方法得到 24 點B的速度為 點B的加速度為 25 如果平面圖形S在運動過程中 其上有一點A到定系中某一固定點O的距離始終保持不變 那么點A在定系中的軌跡是以O為圓心 OA為半徑的圓周曲