第13講函數的應用（一）【人教A版2019】模塊一模塊一一次函數、二次函數模型的應用1．實際問題中函數建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.2．一次函數模型的應用一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.3．二次函數模型的應用二次函數模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優、最省等最值問題常用到二次函數模型.【題型1一次函數模型的應用】【例1】（2425高一上·北京·期中）果蔬批發市場批發某種水果，不少于100千克時，批發價為每千克2.5元，小王攜帶現金3000元到市場采購這種水果，并以此批發價買進，如果購買的水果為x千克，小王付款后剩余現金為y元，則x與y之間的函數關系為（

）A．y=3000?100xB．y=3000?100xC．y=3000?2.5xD．y=3000?2.5x【變式1.1】（2425高一上·湖北武漢·期中）從裝滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續下去，設倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（A．fx=45x+2 B．fx【變式1.2】（2025高一·全國·專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數關系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【變式1.3】（2425高一·全國·課后作業）一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關于腰長x的函數，則它的解析式為（

）A．y=20?2x B．y=20?2x(0<x<10)C．y=20?2x(5≤x≤10) D．y=20?2x(5<x<10)【題型2二次函數模型的應用】【例2】（2425高一上·河南新鄉·期末）某燈具商店銷售一種節能燈，每件進價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關系式：y=?10x+500（20<x≤40且x∈N）．則燈具商店每月的最大利潤為（

）A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【變式2.1】（2425高一·全國·課后作業）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是（

）A．x10≤x<16 B．C．x15≤x<20 D．【變式2.2】（2425高一上·湖南衡陽·階段練習）某工廠2022年年初用100萬元購進一臺新的設備，并立即投入使用，該設備使用后，每年的總收入預計為50萬元.設使用x年后該設備的維修、保養費用為2x2+5x(1)寫出y與x之間的函數關系式；(2)從第幾年開始，使用該設備開始盈利?【變式2.3】（2425高一上·江蘇無錫·階段練習）某公司投資5萬元，成功研制出一種市場需求量大的高科技替代產品，并投入資金15萬元進行批量生產．已知生產每件產品的成本為4元，在銷售過程中發現：當銷售單價定為10元時，年銷售量為2萬件；銷售單價每增加1元，年銷售量將減少0.1萬件．設銷售單價為x元．第一年獲利y萬元．（年獲利=年銷售額生產成本投資）(1)試寫出y與x之間的函數關系式；(2)公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進行銷售，第二年獲利不低于11.3萬元．請問第二年的銷售單價應定在什么范圍內？模塊二模塊二冪函數模型的應用1．冪函數模型的應用冪函數模型應用的求解策略:(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.【題型3冪函數模型的應用】【例3】（2425高一上·湖北荊州·期中）為響應國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近50年內減少了20%，如果按照此規律，設2024年的耕地面積為m，則2029年的耕地面積為（

）A．1?0.2250mC．0.8250m 【變式3.1】（2025·四川瀘州·模擬預測）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【變式3.2】（2425高一上·青海西寧·期末）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現在加密密鑰為y=kx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 【變式3.3】（2025·廣西·模擬預測）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則α為（A．14 B．12 C．23模塊三模塊三分段函數模型的應用1．分段函數模型的應用由于分段函數在不同區間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.【題型4分段函數模型的應用】【例4】（2025·安徽淮南·一模）我國在2020年9月22日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業在國家科研部門的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數關系可近似表示為y=13x3?80xA．120 B．200 C．240 D．400【變式4.1】（2425高一上·全國·課后作業）數學建模，就是根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題．小明和他的數學建模小隊現有這樣一個問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個關系，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明，當x∈[20,200]時，車流速度v是車流密度x的一次函數．問：當車流密度多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【變式4.2】（2425高三上·安徽安慶·階段練習）隨著我國經濟發展，醫療消費需求增長，人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等影響，醫療器械市場近年來一直保持了持續增長的趨勢．某醫療器械公司為了進一步增加市場力，計劃改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為300萬元，最大產能為100臺，每生產x臺，需另投入成本Gx萬元，且G(1)寫出年利潤Wx萬元關于年產量x(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【變式4.3】（2425高一上·全國·課后作業）某科技公司生產某種產品的固定成本為2萬元，每月生產x件，需要另外投入成本R萬元，其中R=x(1)將利潤P（單位：萬元）表示為月產量x的函數；(2)為了讓公司所獲得利潤P不低于10萬元，求月產量x的取值范圍．【題型5分式型函數模型的應用】【例5】（2425高一上·山東濰坊·期中）奮進新征程，建功新時代．某單位為提升服務質量，花費3萬元購進了一套先進設備，該設備每年管理費用為0.15萬元，已知使用x年的維修總費用為x2+x12萬元，則該設備年平均費用最少時的年限為（A．4 B．5 C．6 D．7【變式5.1】（2425高一上·江蘇揚州·階段練習）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時間內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2023年10月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x=3?2t+1.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是（A．45.5 B．37.5 C．36 D．35【變式5.2】（2425高一上·浙江寧波·期中）天氣轉冷，寧波某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據前期調研，獲得該產品的銷售量a萬件與投入的促銷費用x萬元x≥0滿足關系式a=8?kx+1（k為常數），而如果不搞促銷活動，該產品的銷售量為4萬件.已知該產品每一萬件需要投入成本20萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為36+10a元，設該產品的利潤為y萬元.（注：利潤=銷售收入(1)求出k的值，并將y表示為x的函數；(2)促銷費用為多少萬元時，該產品的利潤最大？此時最大利潤為多少？【變式5.3】（2425高一上·山東聊城·期中）某商場經營一批進價為19元/件的商品，在市場試銷中發現，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關系.x…24313949…y…44302012…根據表中提供的數據，可用函數y=kx+1+b(x>0)來近似刻畫y(1)求y與x之間的函數解析式；(2)設經營此商品的日銷售利潤為P（單位：元），寫出P關于x的函數解析式，并求銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？模塊四模塊四“對勾”函數模型的應用1．“對勾”函數模型的應用對勾函數模型是常考的模型，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型6“對勾”函數模型的應用】【例6】（2425高一上·上海·期中）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業的一個主要發展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x=3?2t+1【變式6.1】（2425高一上·廣西南寧·階段練習）發展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是推動綠色發展的戰略措施，某汽車工業園區正在不斷建設，計劃在園區建造一個高為3米，寬度為x∈6,8（單位：米），面積為64平方米的長方體形狀的儲物室，經過談判，工程施工單位給出兩種報價方案：方案一：儲物室的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，總計報價記為Px；方案二：其給出的整體報價為f(1)求Px(2)若對任意的x∈6,8時，方案二都比方案一省錢，求m【變式6.2】（2425高一上·山東濟寧·期中）某服裝廠生產一批羽絨服，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，其次品率p與日產量x（萬件）之間滿足關系：p=124?x,0≤x≤m23(1)試將生產這批羽絨服每天的盈利額y（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；(2)當日產量為多少時，可獲得最大利潤？【變式6.3】（2425高一上·湖南·期中）某廠家擬在2025年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=4?km+1（k為常數），如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷售量只能是3萬件.已知生產該產品的固定投入為9萬元，每生產1萬件該產品需要再投入18萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本（此處每件產品年平均成本按(1)將2025年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；(2)該廠家2025年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？一、單選題1．（2425高一上·貴州遵義·階段練習）面積為S的長方形的某邊長度為x，則該長方形的周長L與x的函數關系為（

）A．L=x+Sxx>0C．L=2x+2Sxx>02．（2425高一上·江西·階段練習）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度?（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系式為?=?3.6t2+28.8tA．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒3．（2425高一上·江蘇南京·期中）學校宿舍與辦公室相距am.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發，先勻速跑步3min來到辦公室，停留2min，然后勻速步行10min返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度vt和行走的路程S

A．①② B．③④ C．①④ D．②③4．（2425高一上·吉林長春·期末）根據統計，一名工人組裝第x件產品所用的時間（單位：分鐘）為fx=cx,x<aca,x≥a（a,c為常數）.已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，165．（2425高一·全國·課后作業）某市出租車起步價為5元(起步價內行駛里程為3km)，以后每1km價為1.8元(不足1km按1km計價)，則乘坐出租車的費用y(元)與行駛的里程x(km)之間的函數圖像大致為()A．

B．

C．

D．

6．（2425高一上·全國·課后作業）茶葉是中國文化元素的重要象征之一，飲茶習俗在中國源遠流長．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，已知某種茶葉的茶水溫度y（單位：℃）和泡茶時間t（單位：min）滿足關系式?10t+100,0≤t≤5,120t,5<t≤10,若喝茶的最佳口感水溫大約是60℃A．1.5min B．2min C．3min D．4min7．（2425高三上·北京西城·期末）“空氣質量指數（AQI）”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數．當AQI大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動．某地某天0~24時的空氣質量指數y隨時間t變化的趨勢由函數y=?10t+290,0≤t≤1256tA．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時8．（2025高二上·貴州·學業考試）某公司生產某種產品的年固定成本為2000萬元，每生產一臺需增加投入20萬元，若年銷售收入R（單位：萬元）關于年產量x（單位：臺）滿足函數：R=100x?12x2A．50 B．80 C．100 D．120二、多選題9．（2425高一上·陜西西安·期中）根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的第x個月的需求量y（萬件

）近似地滿足y=?x2+21x?5A．8月 B．9月 C．10月 D．11月10．（2425高一上·河北·階段練習）在固定壓力差（壓力差為常數）下，當氣體通過圓形管道時，其流量v（單位：cm3s）與管道的半徑r（單位：cm）的四次方成正比，當氣體在半徑為5cm的管道中時，流量為1250cmA．當氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為162B．當氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為152C．要使得氣體流量不小于512cm3D．要使得氣體流量不小于512cm311．（2425高三上·河南·階段練習）國慶節期間，甲、乙兩商場舉行優惠促銷活動，甲商場采用購買所有商品一律“打八四折”的促銷策略，乙商場采用“購物每滿200元送40元”的促銷策略．某顧客計劃消費x(x>0)元，并且要利用商場的優惠活動，使消費更低一些，則（

）A．當0<x<200時，應進甲商場購物 B．當200≤x<300時，應進乙商場購物C．當400≤x<500時，應進乙商場購物 D．當x>500時，應進甲商場購物三、填空題12．（2025高三·全國·專題練習）某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析，每輛客車營運的總利潤y（單位：萬元）與營運年數x的關系如圖所示（拋物線的一段），則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數為．13．（2425高一上·河南商丘·階段練習）某超市開展優惠促銷活動，下表是購買蘋果的促銷方案：購買蘋果的質量蘋果單價不超過4千克的部分8元/千克超過4千克但不超過8千克的部分7元/千克超過8千克的部分6元/千克已知甲?乙顧客分別從這家超市購買了3千克?6千克蘋果，若甲?乙兩人合在一起購買9千克蘋果，則可以節省元．14．（2425高一上·全國·課后作業）在一個培養皿中的某種浮游植物的數量y（個）與時間t（單位：h）的關系可用模型y=at+4來描述，已知這種浮游植物在第32h時的數量比在第5h時的數量多24個，則要使該培養皿中的浮游植物的數量不少于64個，則至少要經過四、解答題15．（2425高一上·重慶·期中）某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就減少2000本.(1)試確定雜志的定價區間使提價后的銷售總收入不低于20萬元？(2)假定雜志的成本是每本1元（不計其它成本），試確定雜志提價后的價格，使雜志銷售的利潤f(x)最