有理數（5個知識點+25個考點講練+中考真題演練+培優訓練共70題）TOC\o"13"\h\u知識梳理強化基礎 2知識點梳理01：正數與負數及相關概念 2知識點梳理02：數軸、相反數與絕對值 3知識點梳理03：有理數的運算 3知識點梳理04：有理數的大小比較 4知識點梳理05：科學記數法 4高頻考點逐一攻克 4考點訓練01：正負數的實際應用 4考點訓練02：有理數的分類 5考點訓練03：帶“非”字的有理數 5考點訓練04：用數軸上的點表示有理數 6考點訓練05：數軸上點的平移（動點問題） 7考點訓練06：數軸上整點覆蓋問題 7考點訓練07：數軸上的規律探究 7考點訓練08：絕對值得幾何意義 8考點訓練09：絕對值得非負性 10考點訓練10：絕對值得其他應用 11考點訓練11：有理數大小的實際應用 12考點訓練12：化簡多重復號 13考點訓練13：有理數加減中的簡便運算 14考點訓練14：有理數加減中的簡便運算的實際應用 14考點訓練15：有理數四則混合運算 16考點訓練16：有理數四則混合運算的實際應用 17考點訓練17：根據點在數軸上的位置判斷式子的正負 18考點訓練18：有理數的乘方運算 18考點訓練19：有理數乘方的逆運算 20考點訓練20：有理數乘方的應用 21考點訓練21：用科學計數法表示絕對值大于1的數 22考點訓練22：用科學計數法表示的數變為原數 22考點訓練23：程序流程圖與有理數的計算 23考點訓練24：算“24”點 24考點訓練25：含乘方的有理數混合運算 25中考真題實戰演練 26優選題型突破自我 27知識點梳理01：正數與負數及相關概念1、認識正數、負數、零（1）正數：大于0的數叫做正數，正數大于0；（2）負數：正數前面加個符號“－”（負號）的數叫做負數，負數小于0；（3）0：既不是正數也不是負數，正負數以0為界。規定：0是最小的自然數。2、有理數的概念及分類（1）整數和分數統稱有理數.（2）有理數的分類知識點梳理02：數軸、相反數與絕對值1．數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線．2．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．3．絕對值：（1）代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．數a的絕對值記作．幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．知識點梳理03：有理數的運算1.有理數運算法則：（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數同0相加，仍得這個數．（2）減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．(6）有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．2．運算律：（1）交換律：①加法交換律：a+b=b+a；②乘法交換律：ab=ba；（2）結合律：①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點梳理04：有理數的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數軸比較法；（2）法則比較法：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小；（3)作差比較法．（4）作商比較法；（5）倒數比較法．知識點梳理05：科學記數法考點訓練01：正負數的實際應用1．（2223七年級上·江蘇南京·期中）某校七年級1至4班計劃每班購買數量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，如表是實際購書情況：班級1班2班3班4班實際購書量（本）a32c22實際購書量與計劃購書量的差值（本）b(1)直接寫出___，___；(2)根據記錄的數據可知4個班實際購書共___本；(3)書店給出一種優惠方案：一次購買達到15本，其中2本書免費．若每本書售價為30元，求這4個班團體購書的最低費用．2．（2223七年級上·黑龍江大慶·期中）《道路交通安全法實施條例》規定：在一個記分周期（12個月）內扣滿12分，將扣留其機動車駕駛證．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未達50%扣6分；超速10%以上未達20%扣3分．劉師傅以100千米/時的速度行駛在公路上，前方出現限速標志（如圖）．如果他保持原來的速度繼續行駛，他將受到扣幾分的處罰？（通過計算說明）考點訓練02：有理數的分類3．（2425七年級上·陜西西安·階段練習）把下列各數填入相應的大括號里．﹣18，3.1416，0，﹣2.001，，5%．(1)整數集合：{}；(2)分數集合：{}；(3)負數集合：{}；4．（2425七年級上·河南三門峽·期中）把下列各數的序號填在相應的大括號內：正有理數集合：{}；負有理數集合：{}；整數集合：{}；考點訓練03：帶“非”字的有理數正數集合：｛__________…｝；

整數集合：｛__________…｝；非負數集合：｛__________…｝；

負分數集合：｛__________…｝；6．（2324七年級上·山東菏澤·階段練習）把下列序號填在相應的大括號里．(1)整數{}；(2)正分數{}；(3)非負數{}；(4)負有理數{}；考點訓練04：用數軸上的點表示有理數7．（2425七年級上·甘肅隴南·期末）如圖，點A、在數軸上對應的數為、7，點A以每秒3個單位長度的速度向右運動，同時點以每秒1個單位長度的速度也向右運動．設運動時間為秒．(1)求運動前的中點對應的數；(2)為何值時A、對應的數相同；(3)為何值時A、之間的距離等于2個單位長度．8．（2425七年級上·北京·期中）如圖，觀察數軸，解答下列問題：(1)A點表示的有理數是______，表示有理數的點是______；(3)將這五個數，6，，0，用“”連接的結果是：______．考點訓練05：數軸上點的平移（動點問題）9．（2324六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在數軸上有一個動點從原點出發，以每秒1個單位長度的速度在數軸上運動，若點的運動規律是先向右運動1個單位長度，再向左運動2個單位長度，再向右運動3個單位長度，再向左運動4個單位長度，以此類推，每次運動單位長度依次遞增，第113秒時，點在數軸上所對應的數是．10．（2425七年級上·福建福州·期中）如圖，在數軸上有三個點A、B、C，請回答問題：(1)將A點向左移動5個單位長度，這是的點表示的數是___________；(2)怎樣移動A、B、C的其中個點，才能使點C恰好是線段的中點？請寫出三種移動的方法．方法一（移動A點）：___________，方法二（移動B點）：___________，方法三（移動C點）：___________．考點訓練06：數軸上整點覆蓋問題A．9個 B．10個 C．100個 D．101個12．（2021七年級上·安徽·階段練習）如圖，數軸上被遮擋的整數是（

）A． B． C． D．3考點訓練07：數軸上的規律探究A． B． C． D．考點訓練08：絕對值得幾何意義15．（2425七年級上·福建漳州·期中）觀察下列幾組數在數軸上體現的距離，并回答問題：（1）探究：①數軸上表示6和3的兩點之間的距離是．②數軸上表示和的兩點之間的距離是．③數軸上表示和2的兩點之間的距離是．（2）歸納：（3）應用：16．（2425七年級上·江蘇連云港·期中）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起一一對應的關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．【知識探索】（1）數軸上表示與的兩點之間的距離是______；②若使所表示的點到表示和的點的距離之和為，所有符合條件的整數的和為______；【動手折一折】小明在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：（3）折疊紙面，若表示的點和表示的點重合，則表示的點和______表示的點重合；（4）折疊紙面，若表示的點和表示的點重合，①則表示的點和______表示的點重合；【拓展運用】考點訓練09：絕對值得非負性17．（2425七年級上·福建福州·期中）【知識準備】【問題探究】（）在（）的條件下，若點從點出發，以每秒個單位的速度向左運動，同時點從點出發，以每秒個單位的速度向右運動．設運動時間為秒，求當為何值時，的中點所對應的數為．【拓展延伸】①填空：若數軸上點對應數，點對應數，為最靠近的等分點，則我們有等分點公式：對應的數為_______．(1)，，．(2)若將數軸對折，使得對折后點與點重合，此時點與點也重合，求點所表示的數x．(3)設和的中點分別為點，，點從點出發沿數軸向右運動，在此過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．考點訓練10：絕對值得其他應用19．（2425七年級上·湖南湘西·期中）陳英杰老師要求同學們，結合數軸與絕對值的相關知識回答下列問題：(1)探究：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_______；②數軸上表示和的兩點之間的距離是_______；③數軸上表示4和的兩點之間的距離是_______；(2)歸納：一般的，數軸上表示數a和數b的兩點之間的距離是_______；(3)應用：考點訓練11：有理數大小的實際應用21．（2324七年級上·山西陽泉·期末）元旦促銷活動期間，很多國貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長．某平臺的體育用品旗艦店對原價元/件的某款運動速干衣和原價元/雙的某款運動棉襪開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案．方案：買一件運動速干衣送一雙運動棉襪；方案：運動速干衣和運動棉襪均按折付款．(1)若該戶外俱樂部按方案購買，需付款________元；若該戶外俱樂部按方案購買，需付款________元；（用化簡后的含的整式表示）(1)分別用含有的代數式表示用兩種方案購買所需的費用；考點訓練12：化簡多重復號23．（2425七年級上·安徽淮南·期中）在數軸上表示下列各數，并用“”將它們連接起來．(1)把這些數在下面的數軸上表示出來：(2)請將這些數按從小到大的順序排列（用“”連接）．考點訓練13：有理數加減中的簡便運算上面這種解題的方法叫做拆項法，按此方法計算：考點訓練14：有理數加減中的簡便運算的實際應用27．（2425七年級上·河南南陽·期末）“十一”周期間，某樂園在7天假期中每天的游客人數變化如下表所示．以1萬人為標準，多于1萬人的記為“+”，不足1萬人的記為“”，剛好1萬人的記為“0”日期1日2日3日4日5日6日7日人數變化/萬人0(1)10月2日這一天的游客有_____萬人．(2)請求出周期間游客最多的一天比最少的一天多多少萬人．(3)若該樂園的門票是每人100元，請計算周期間該樂園的門票收入．28．（2425七年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在一張紙上畫出一條水平的數軸，在數軸上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在數軸上的位置對應的數分別是5，5，甲、乙兩人做沿數軸移動棋子的游戲（甲移動黑棋，乙移動白棋）．甲、乙兩人同時出示“石頭、剪子、布”三種手勢中的一種，再根據獲勝或平局的結果移動棋子（石頭勝剪子，剪子勝布，布勝石頭），移動規則如下：①若甲贏，則甲將黑棋向右移動2個單位長度，同時乙將白棋向右移動1個單位長度；②若乙贏，則乙將白棋向左移動2個單位長度，同時甲將黑棋向左移動1個單位長度：③若平局，則甲將黑棋向右移動1個單位長度，同時乙將白棋向左移動1個單位長度．前四局的部分手勢情況如下表：局次第一局第二局第三局第四局甲的手勢石頭剪子布布乙的手勢石頭布石頭(1)從起始位置開始，第一局后黑棋和白棋在數軸上的位置所對應的數的和為_______；(2)規定若每局結束后黑棋的位置離原點更近，則甲獲勝，若白棋的位置離原點更近，則乙獲勝，那么第三局結束時獲勝的是_______（填“甲”或“乙”）：(3)若第四結束后，在數軸上黑棋和白棋之間的距離最小，則乙第四局的手勢是（填“石頭”或“剪子”或“布”）；考點訓練15：有理數四則混合運算29．（2024七年級上·江蘇蘇州·專題練習）計算：考點訓練16：有理數四則混合運算的實際應用31．（2425七年級上·福建漳州·階段練習）自行車廠要生產一批相同型號的自行車，計劃每天生產100輛．但由于各種原因，實際每天的生產量與計劃量相比會有所差異．下表是工人在某周的生產情況：（超過100輛記為正，不足100輛記為負）星期一二三四五六日增減（輛）(1)根據記錄可知，前三天共生產了輛；(2)生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產了輛；(3)該廠實行計件工資制，每生產一輛得100元，對于每天的計劃生產量，若每多生產一輛再額外獎20元，若每少生產一輛則要扣20元，求工人這一周的工資總額是多少元．32．（2425七年級上·河北滄州·期中）體育課上全班女生進行了一分鐘仰臥起坐測驗，達標成績為30個，第一組8名女生的成績記錄為：，0，，，，，，．其中+號表示超過達標成績的個數，表示不足達標成績的個數．(1)第一組8名女生中最好成績與最差成績相差________個；(2)求第一組8名女生的平均成績；(3)規定：一分鐘仰臥起坐次數為達標成績，不得分；超過達標成績，每多做1個得2分；未達到達標成績，每少做1個扣1分．若一分鐘仰臥起坐總積分超過60分，便可得到優秀體育小組稱號，請通過計算說明第一組8名女生能否獲得該稱號．考點訓練17：根據點在數軸上的位置判斷式子的正負A．2個 B．3個 C．4個 D．5個34．（2425七年級上·遼寧盤錦·期中）有理數a，b，c在數軸上的對應點的位置如下圖所示：考點訓練18：有理數的乘方運算35．（2425七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）【概念學習】規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的除法運算叫做除方．【初步探究】(2)關于除方，下列說法錯誤的是______．A．任何非零數的圈2次方都等于1

D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數．【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？(4)將一個非零有理數的圈次方寫成冪的形式為______．【靈活應用】(1)上述六個有理數中，互為相反數的一組是______；(2)將上述六個有理數表示在如圖所示的數軸上；(3)將上述六個有理數按從小到大的順序排列，并用“”連接．考點訓練19：有理數乘方的逆運算38．（2024七年級下·浙江·專題練習）閱讀下列材料，并解決后面的問題．問題：考點訓練20：有理數乘方的應用一、小明的做法：如圖，畫一個邊長為1的正方形，并將它的面積不斷做二等分．第1次分割：把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；…二、小亮的做法：(2)請仿照小亮的做法驗證（1）的結論；A．32 B．1044 C．253 D．16192考點訓練21：用科學計數法表示絕對值大于1的數考點訓練22：用科學計數法表示的數變為原數43．（2425七年級上·全國·隨堂練習）將下列用科學記數法表示的數還原成原數．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點訓練23：程序流程圖與有理數的計算A． B． C． D．46．（2425七年級上·廣西桂林·期中）平平和安安進行摸球游戲，如圖，框1中有A，B兩個大小相同的球，框2中有C，D，E，F四個大小相同的球，先從框1中摸出一個球，再從框2中將4個球全部摸出，并按摸出的順序進行計算．(1)平平先從框1中摸出了球A，再從框2中摸出球的順序為D→E→C→F，請你幫助平平計算最終結果．(2)①若安安從框1中摸出了球B，從框2中摸出球的順序為F→E→______→______，計算結果為，請你通過計算判斷安安從框2中摸出球的順序；②若安安從框1中摸出了球A，從框2中先摸出的球為球D，則摸球游戲計算的最大結果為______．請你寫出計算過程．考點訓練24：算“24”點47．（2425七年級上·山東威海·期末）有5張寫著不同數字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各題：(1)從中選擇兩張卡片①使這兩張卡片上數字之和最大，請列出算式并計算結果_____；②使這兩張卡片上數字之差最小，請列出算式并計算結果_____；③使這兩張卡片上數字之積最大，請列出算式并計算結果_____；④使這兩張卡片上數字之商最小，請列出算式并計算結果_____；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結果為24，寫出算式及運算過程．（寫出兩種即可）48．（2425七年級上·廣東汕頭·期中）紅紅有5張寫著以下數字的卡片，請你按要求抽出卡片，解決下列問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數字相減的差最大，最大值是______．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數字相除的商最小，最小值是______．(3)從中取出0以外的4張卡片，將這4個數字進行加、減、乘、除、乘方混合運算，使結果為24，寫出一種符合要求的運算等式．（注：每個數字只能用一次）．考點訓練25：含乘方的有理數混合運算49．（2425七年級上·甘肅蘭州·期中）計算：(2)深入思考：我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？①試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成乘方的形式．②想一想：將一個非零有理數a的圈n次方寫成冪的形式等于；【真題演練1】（2024·山東煙臺·中考真題）《周髀算經》是中國現存最早的數理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【真題演練2】（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【真題演練3】（2025·山東威海·中考真題）2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．二進制數的組成數字為0，1．十進制數22化為二進制數：傳統三進制數的組成數字為0，1，2．十進制數22化為三進制數：A． B． C． D．(2)如果計算結果等于6，求被污染的數字．故選：C．2．（2425七年級上·甘肅蘭州·期中）天天在數學學習中遇到了神奇的“數值轉換機”，按如圖所示的程序運算，輸入一個有理數x，則可相應的輸出一個結果y．若輸入x的值為，則輸出的結果y為（

）A．7 B．6 C．8 D．12A．2