課時分層作業(五十一)(本試卷共92分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2025·臨沂模擬)點A(2,5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為()A．2eq\r(5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\r(5) D．eq\f(2\r(5),5)C[由題意得d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).故選C.]2．已知直線l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，則條件“a＝1”是“l1⊥l2A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B[若l1⊥l2，則(3－a)a－2×1＝0，解得a＝1或a＝2，所以“a＝1”是“l1⊥l23．已知三條直線l1：y＝x＋1，l2：y＝－2x＋4，l3：mx＋y＋1＝0不能圍成三角形，則實數m的取值集合為()A．{1，－2} B．{1，－2,3}C．{－1,2，－3} D．{－1,2}C[直線l1，l2，l3的斜率分別為k1＝1，k2＝－2，k3＝－m，縱截距分別為1,4，－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y＝－2x＋4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直線l1，l2的交點為A(1,2)．由直線l1，l2，l3不能圍成三角形，得直線l1∥l3或l2∥l3或點A在直線l3上，則－m＝1或－m＝－2或m＋2＋1＝0，解得m＝－1或m＝2或m＝－3，所以實數m的取值集合為{－1,2，－3}．]4．當點P(3,2)到直線mx－y＋1－2m＝0的距離最大時，mA．eq\r(2) B．0C．－1 D．1C[直線mx－y＋1－2m＝0過定點Q所以點P(3,2)到直線mx－y＋1－2m＝0的距離最大時，PQ垂直該直線，即m×eq\f(2－1,3－2)＝－1，所以m＝－1.故選C.]5．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2 D．4B[因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行．又直線x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之間的距離為eq\f(|1－3|,\r(12＋－22))＝eq\f(2,\r(5))，3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之間的距離為eq\f(|c1－c2|,\r(32＋42))＝eq\f(|c1－c2|,5)，于是有eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2,\r(5))，得|c1－c2|＝2eq\r(5).故選B.]6．(2025·濟寧模擬)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2，0)，B(－2，－4)，若直線l上存在點P，使得|PA|＋|PB|的值最小，則點P的坐標為()A．(－2，－3) B．(－2,3)C．(2,3) D．(－2,2)B[根據題意畫出大致圖象，如圖．設點A關于直線x－2y＋8＝0的對稱點為A1(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)×\f(1,2)＝－1，,\f(m＋2,2)－2×\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，))故A1(－2,8)．此時直線A1B的方程為x＝－2，所以當點P是直線A1B與直線x－2y＋8＝0的交點時，|PA|＋|PB|的值最小．將x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故點P的坐標為(－2,3)．故選B.]7．(2025·淄博模擬)光線沿著直線y＝－3x＋b射到直線x＋y＝0上，經反射后沿著直線y＝ax＋2射出，則有()A．a＝eq\f(1,3)，b＝6 B．a＝－3，b＝eq\f(1,6)C．a＝3，b＝－eq\f(1,6) D．a＝－eq\f(1,3)，b＝－6D[由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關于直線y＝－x對稱，所以直線y＝ax＋2上的點(0,2)關于直線y＝－x的對稱點(－2,0)在直線y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6.所以直線y＝－3x－6上的點(0，－6)關于直線y＝－x的對稱點(6,0)在直線y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－eq\f(1,3).故選D.]8．已知直線x＝2及x＝4與函數y＝log2x圖象的交點分別為A，B，與函數y＝lgx圖象的交點分別為C，D，則直線AB與CD()A．平行 B．垂直C．重合 D．相交但不垂直D[當x＝2時，yA＝log22＝1，當x＝4時，yB＝log24＝2，所以A(2,1)，B(4,2)，得kAB＝eq\f(1,2).當x＝2時，yC＝lg2，當x＝4時，yD＝lg4＝2lg2，所以C(2，lg2)，D(4,2lg2)，得kCD＝eq\f(1,2)lg2.兩條直線的斜率不相等，且乘積不為－1，故直線AB與CD不平行，不垂直，即直線AB與CD相交但不垂直．故選D.]二、多項選擇題9．已知直線l1：2x＋y－6＝0和點A(1，－1)，過點A作直線l2與直線l1相交于點B，且|AB|＝5，則直線l2的方程為()A．x＝1 B．y＝－1C．3x＋4y＋1＝0 D．4x＋3y－1＝0AC[因為點B在直線l1：2x＋y－6＝0上，設點B(x0，6－2x0)，因為A(1，－1)，則|AB|＝eq\r(x0－12＋7－2x02)＝5，解得x0＝1或x0＝5，所以點B的坐標為(1,4)或(5，－4)．當點B的坐標為(1,4)時，直線l2的方程為x＝1；當點B的坐標為(5，－4)時，直線l2的方程為eq\f(y＋1,－4＋1)＝eq\f(x－1,5－1)，即3x＋4y＋1＝0.故選AC.]10．已知點A(0,2)，B(－1,0)，下列結論正確的是()A．若直線AB的方向向量為(1，k)，則k＝eq\f(1,2)B．若直線l的斜率為－eq\f(1,2)，則l⊥ABC．若C(1，－1)，則△ABC為直角三角形D．若C(1，－1)，D(3,3)，則四邊形ABCD是平行四邊形BC[對于A，k＝kAB＝eq\f(2－0,0＋1)＝2，所以直線AB的方向向量為(1,2)，A錯誤；對于B，因為－eq\f(1,2)kAB＝－1，所以l⊥AB，B正確；對于C，因為kBC＝eq\f(0－－1,－1－1)＝－eq\f(1,2)，kBCkAB＝－1，所以AB⊥BC，C正確；對于D，因為kCD＝eq\f(3－－1,3－1)＝2＝kAB，kAD＝eq\f(3－2,3－0)＝eq\f(1,3)，kBC＝－eq\f(1,2)，kAD≠kBC，所以四邊形ABCD不是平行四邊形．故選BC.]三、填空題11．已知兩直線a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交點為P(2,3)，則過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直線方程為________.2x＋3y－1＝0[因為P(2,3)在已知的兩條直線上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＝1，,2a2＋3b2＝1，))所以點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直線2x＋3y－1＝0上的兩個點．故過Q1，Q2兩點的直線方程為2x＋3y－1＝0.]12．若直線l1：x＋my＋6＝0與l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，則m－1eq\f(8\r(2),3)[由題意知，1×3＝m(m－2)且1×2m≠6(m－2)，解得m＝－1，則l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，則兩平行直線間的距離為d＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3)))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).]四、解答題13．(15分)已知△ABC的頂點A(1,1)，高CD所在直線方程為3x＋y－12＝0，角B的平分線BE所在直線方程為x－2y＋4＝0.求：(1)點B的坐標；(2)BC邊所在直線的方程．解：(1)因為△ABC的頂點A(1,1)，高CD所在直線方程為3x＋y－12＝0，角B的平分線BE所在直線方程為x－2y＋4＝0，所以直線AB的斜率kAB＝－eq\f(1,kCD)＝－eq\f(1,－3)＝eq\f(1,3)，所以直線AB的方程為y－1＝eq\f(1,3)(x－1)，即x－3y＋2＝0.聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋2＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8，,y＝－2，))所以點B的坐標為(－8，－2)．(2)因為kAB＝eq\f(1,3)，kBE＝eq\f(1,2)，角B的平分線BE所在直線方程為x－2y＋4＝0，所以eq\f(|kAB－kBE|,|1＋kAB·kBE|)＝eq\f(|kBC－kBE|,|1＋kBC·kBE|)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)×\f(1,2))))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(kBC－\f(1,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)kBC)))，解得kBC＝eq\f(9,13)或kBC＝eq\f(1,3)(舍)，所以BC邊所在直線的方程為y＋2＝eq\f(9,13)(x＋8)，即9x－13y＋46＝0.14．(15分)已知直線l：3x－y－1＝0及點A(4,1)，B(0，4)，C(2,0)．(1)試在l上求一點P，使|AP|＋|CP|最小，并求這個最小值；(2)試在l上求一點Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求這個最大值．解：(1)設C關于直線l的對稱點C′的坐標為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×\f(2＋a,2)－\f(b,2)－1＝0，,\f(b,a－2)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))即C′(－1,1)，所以直線AC′的方程為y＝1.聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝1，))即交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，此時|AP|＋|CP|的值最小，最小為|AC′|＝4＋1＝5.(2)設B關于直線l的對稱點B′的坐標(c，d)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3×\f(c,2)－\f(4＋d,2)－1＝0，,\f(d－4,c－0)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝3，,d＝3，))即B′(3,3)，所以直線AB′的方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－3,4－3