課時分層作業(七十)(本試卷共97分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2025·菏澤模擬)下面是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物(PM2.5)的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25的數據，下列數字特征沒有改變的是()A．極差 B．中位數C．眾數 D．平均數C[根據題意，若在此組數據中增加一個比現有的最大值大25的數據，即最大值變為396＋25＝421，極差為最大值與最小值的差，會發生改變；加入數據前，中位數為eq\f(173＋176,2)＝174.5，加入數據后，中位數為176，發生改變；眾數為數據中出現次數最多的數，不會改變；平均數體現數據的整體水平，會發生改變．故選C.]2．某工廠隨機抽取20名工人，對他們某天生產的產品件數進行統計，數據如表，則該組數據的第75百分位數是()件數7891011人數37541A．8.5 B．9C．9.5 D．10C[抽取的工人總數為20,20×75%＝15，那么第75百分位數是所有數據從小到大排序的第15項與第16項數據的平均數，第15項與第16項數據分別為9,10，所以第75百分位數是eq\f(9＋10,2)＝9.5.故選C.]3．一組數據按從小到大的順序排列為1,3,5,6，m,10,12,13，若該組數據的中位數是極差的eq\f(5,8)，則該組數據的第60百分位數是()A．7.5 B．8C．9 D．9.5C[這組數據一共8個數，中位數是eq\f(6＋m,2)，極差為13－1＝12，所以eq\f(6＋m,2)＝12×eq\f(5,8)，解得m＝9.又8×60%＝4.8，則第60百分位數是第5個數據9.故選C.]4．為落實黨中央的“三農”政策，某市組織該市所有鄉鎮干部進行了一期“三農”政策專題培訓，并在培訓結束時進行了結業考試．如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布直方圖，則下列關于這次考試成績的估計錯誤的是()A．眾數為82.5B．中位數為85C．平均數為86D．有一半以上干部的成績在80～90分C[由頻率分布直方圖知，眾數為82.5，A正確；由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位數為85，B正確；由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C錯誤；由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，則有一半以上干部的成績在80～90分之間，D正確．故選C.]5．(2022·全國甲卷)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B[講座前中位數為eq\f(70%＋75%,2)>70%，A錯誤；講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%，B正確；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，C錯誤；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，D錯誤．故選B.]6．若一組樣本數據x1，x2，…，xn的平均數為10，另一組樣本數據2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的方差為8，則兩組樣本數據合并為一組樣本數據后的平均數和方差分別為()A．17,54 B．17,48C．15,54 D．15,48A[由題意可知，數據x1，x2，…，xn的平均數為10，則eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10，則eq\i\su(i＝1,n,x)i＝10n，所以數據2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)＝eq\f(2,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＋4＝2×10＋4＝24，方差為s′2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)(2xi＋4)－(2eq\x\to(x)＋4)]2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－10)2＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\f(4,n)×n×102＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－400＝8，所以eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝102n.將兩組數據合并后，新數據x1，x2，…，xn,2x1＋4,2x2＋4，…，2xn＋4的平均數為eq\x\to(x″)＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(3xi＋4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)\i\su(i＝1,n,x)i＋4))＝eq\f(1,2)(3×10＋4)＝17，方差為s″2＝eq\f(1,2n)[eq\i\su(i＝1,n,)(xi－17)2＋eq\i\su(i＝1,n,)(2xi＋4－17)2]＝eq\f(1,2n)(5eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－86eq\i\su(i＝1,n,x)i＋458n)＝eq\f(1,2n)(5×102n－860n＋458n)＝54.故選A.]二、多項選擇題7．(2023·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數據x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數等于x1，x2，…，x6的平均數B．x2，x3，x4，x5的中位數等于x1，x2，…，x6的中位數C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數等于2，標準差為0，而x1，x2，…，x6的平均數等于3，標準差為eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正確；根據中位數的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數是中間兩個數的算術平均數，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數的算術平均數，與x1，x2，…，x6的中位數相等，故B正確；根據極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．故選BD.]8．下列結論正確的是()A．若隨機變量X，Y滿足Y＝2X＋1，則D(Y)＝2D(X)＋1B．若隨機變量X～N(3，σ2)，且P(X<6)＝0.84，則P(3<X<6)＝0.34C．線性相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強D．按從小到大排序的兩組數據，甲組：27,30,37，m,40,50；乙組：24，n,33,44,48,52，若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數分別對應相等，則m＋n＝70BCD[對于A，D(Y)＝4D(X)，A錯誤；對于B，P(3<X<6)＝P(X<6)－P(X≤3)＝0.84－0.5＝0.34，B正確；對于C，線性相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的線性相關程度越強，C正確；對于D，由6×30%＝1.8,6×50%＝3，依題意，30＝n，且eq\f(37＋m,2)＝eq\f(33＋44,2)，解得n＝30，m＝40，因此m＋n＝70，D正確．故選BCD.]三、填空題9．(2025·淄博模擬)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如表(單位：環)：甲108999乙1010799如果甲、乙只有1人能入選，那么入選的最佳人選應是________.甲[甲的平均數為eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(10＋8＋9＋9＋9)＝9，乙的平均數為eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(10＋10＋7＋9＋9)＝9，甲的方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－9)2＋(8－9)2]＝eq\f(2,5)，乙的方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(10－9)2×2＋(7－9)2]＝eq\f(6,5).因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，所以甲、乙的平均水平相同．因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績穩定，故甲入選．]10．某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績如下：7,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，該組數據的第25百分位數保持不變，則整數m(1≤m≤10)的值可以是________.(寫出一個滿足條件的m值即可)7或8或9或10(填上述4個數中任意一個均可)[7,6,8,9,8,7,10，m，若去掉m，該組數據從小到大排列為：6,7,7,8,8,9,10，則7×0.25＝1.75，故第25百分位數為第二個數即7，所以7,6,8,9,8,7,10，m，第25百分位數為7.而8×0.25＝2，所以7為第二個數與第三個數的平均數，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.]四、解答題11．(15分)某地旅游主管部門為了更好地為游客服務，在景區隨機發放評分調查問卷100份，并將問卷評分數據分成6組：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)已知樣本中分數在[80,85)的游客為15人，求樣本中分數小于80的人數，并估計第75百分位數；(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3∶2，男游客樣本的平均值為90，方差為10，女游客樣本的平均值為85，方差為12，由樣本估計總體，求總體的方差．解：(1)由頻率分布直方圖，可得分數在[85,100]內的頻率為(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，所以分數在[85,100]內的人數為100×0.75＝75，所以分數小于80分的人數為100－75－15＝10.由題意可設第75百分位數為x，其中x∈[90,95)，則1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94.故樣本中分數小于80的人數為10人，第75百分位數約為94.(2)由已知可得總樣本平均值為eq\x\to(z)＝eq\f(n,m＋n)·eq\x\to(x)＋eq\f(m,m＋n)eq\x\to(y)＝eq\f(3,2＋3)×90＋eq\f(2,2＋3)×85＝88，又由s2＝eq\f(n,n＋m)[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(x))2]＋eq\f(m,n＋m)[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(z)－eq\x\to(y))2]＝eq\f(3,2＋3)[10＋(88－90)2]＋eq\f(2,2＋3)[12＋(88－85)2]＝eq\f(42,5)＋eq\f(42,5)＝eq\f(84,5)，所以用樣本估計總體，總體的方差為eq\f(84,5).12．(15分)(2025·日照模擬)某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的游客．某飲品店通過公開競標的方式獲得賣現制飲品的業務，為此先根據前一年沙灘開放的160天的進入沙灘的人數，做前期的市場調查來模擬飲品店開賣之后的利潤情況，考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停止預約．以下表格是160天內進入沙灘的每日人數(單位：萬人)的頻數分布表．人數/萬人[0，0．2)[0.2，0．4)[0.4，0．6)[0.6，0．8)[0.8，1．0)[1.0，1．2)[1.2，1．4]頻數/天881624a4832(1)繪制160天內進入沙灘的每日人數的頻率分布直方圖(用陰影表示)，并求出a的值和這組數據的65%分位數；(2)據統計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X(單位：個)為進入該沙灘的人數(X為10的整倍數，如有8006人，則X取8000)．每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未售出飲品當垃圾處理．若該店每日準備1000杯飲品，記Y為該店每日的利潤(單位：元)，求Y和X的函數關系式；(3)以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率．解：(1)由題意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24.因為eq\f(8＋8＋16＋24＋24,160)＝0.5，eq\f(8＋8＋16＋24＋24＋48,160)＝0.8，所以65%分位數在區間[1.0,1.2)內，則65%分位數為1.0＋0.2×eq\f(0.65－0.5,0.8－0.5)＝1.1.畫出頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意知，當X≥10000時，Y＝10×1000＝10000(元)，當X＜10000時，Y＝eq\f(X,10)×10－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000－\f(X,10)))×5＝1.5X－5000，所以Y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10000X≥10000，,1.5X－50000≤X＜10000.))(3)記銷售的利潤不少于7000元的事件為A，則人數X≥8000，此時P(A)＝eq\f(24＋48＋32,160)＝0.65.13．(15分)某校高一年級有男生200人，女生100人．為了解該校全體高一學生的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取樣本容量為30的樣本，并觀測樣本的身高(單位：cm)，計算得男生樣本的身高平均數為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數據；抽取次序12345678910身高/cm155158156157160161159162169163記抽取的第i個女生的身高為xi(i＝1,2,3，…，10)，樣本平均數eq\x\to(x)＝160，方差s2＝15.參考數據：eq\r(15)≈3.9，1592＝25281，1692＝28561.(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一女生身高在[160,165]范圍內的人數；(2)用總樣本的平均數和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數μ和標準差σ，求μ，σ的值；(3)如果女生樣本數據在(eq\x\to(x)－2s，eq\x\to(x)＋2s)之外的數據稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本身高的平均數與方差．解：(1)因為女生樣本中，身高在[160,165]范圍內的占比為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，所以該校高一女生身高在[160,165]范圍內的人數估計為100×eq\f(2,5)＝40.(2)記總樣本的平均數為eq\x\to(X)，標準差為S，由題意，設男生樣本(20人)的身高平均數為eq\x\to(y)＝169，方差為seq\o\al(2,y)＝39，女生樣本(