第11課時函數模型的應用[考試要求]1.了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異.2.理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義.3.會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用．1．指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化而各有不同2．幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)與指數函數相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與對數函數相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)[常用結論]1．“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長量越來越?。?．“對勾”函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)在(0，＋∞)上的性質：在(0，eq\r(a)]上單調遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增，當x＝eq\r(a)時f(x)取最小值2eq\r(a).一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大．(×)(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a＞1)的增長速度．(√)(3)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．(×)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P138探究改編)當x越來越大時，下列函數中增長速度最快的是()A．y＝2x B．y＝lgxC．y＝x2 D．y＝2xD[結合函數的性質可知，幾種函數模型中，指數函數的增長速度最快．]2．(人教A版必修第一冊P148例3改編)根據一組試驗數據畫出的散點圖如圖所示．現有如下4個模擬函數：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.請從中選擇一個模擬函數，使它能近似地反映這些數據的規律，應選________(填序號)．④[由題圖可知，上述點大體在函數y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數據的規律．]3．(人教A版必修第一冊P86T4改編)某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日單價x(單位：元)之間的關系式為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么，單價為________元時，該商品的日利潤最大，最大日利潤為元．150690[因為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以當x＝150，即當日售價為150元時，該商品的最大利潤為690元．]4．(人教A版必修第一冊P72練習T2改編)某城市客運公司確定客運票價格的方法是：如果行程不超過100km，票價是0.5元/km，如果超過100km，超過100km的部分按0.4元/km定價．則客運票價y(元)與行程x(km)之間的函數關系式是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0<x≤100，,0.4x＋10，x>100.))考點一用函數圖象刻畫實際問題[典例1](1)高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是()(2)如圖是根據2009年6月發布的《中國7歲以下兒童生長發育參照標準》繪制的我國7歲以下女童身高(長)的中位數散點圖，下列可近似刻畫身高y(單位：cm)隨年齡x(單位：歲)變化規律的函數模型是()A．y＝mx＋n(m>0)B．y＝meq\r(x)＋n(m>0)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)(1)B(2)B[(1)由題圖可知水深h越大，水的體積v就越大，故函數v＝f(h)是個增函數，故排除A，C項，由魚缸形狀可知，下面細中間粗，上面較細，所以隨著水深的增加，體積的變化的速度是先慢后快再慢的，所以B正確．故選B.(2)A選項，由散點圖知身高y隨時間x變化不是線性增長，故A錯誤；C選項，指數函數模型中y隨x增長越來越快，與圖象不符合；D選項，對數函數模型在x＝0時沒有意義；B選項符合散點圖中y隨x增長越來越慢，且在x＝0時有意義．故選B.]判斷函數圖象與實際問題變化過程是否吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當根據題意容易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象．(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況．[跟進訓練]1．在西南高寒山區一種常見樹的生長周期中前10年的生長規律研究中，統計顯示，生長4年的樹高為eq\f(7,3)m，如圖所示的散點圖記錄了樣本樹的生長時間t(年)與樹高y(m)之間的關系．請你據此判斷，在下列函數模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝eq\f(1,2)t＋a；④y＝eq\r(t)＋a中(其中a為正的常數)，生長時間與樹高的關系擬合最好的是________(填寫序號)，估計該樹生長8年的樹高為________m.②eq\f(10,3)[由散點圖的走勢，知模型①不合適．曲線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,3)))，則后三個模型的解析式分別為②y＝eq\f(1,3)＋log2t；③y＝eq\f(1,2)t＋eq\f(1,3)；④y＝eq\r(t)＋eq\f(1,3)，當t＝1時，代入④中，得y＝eq\f(4,3)，與散點圖不符，易知擬合最好的是②.將t＝8代入②式，得y＝eq\f(1,3)＋log28＝eq\f(10,3)(m)．]考點二已知函數模型的實際問題[典例2](2024·北京高考)生物豐富度指數d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水質的一個評價指標，其中S，N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數．生物豐富度指數d越大，水質越好．若某河流治理前后的生物種類數S沒有變化，生物個體總數由N1變為N2，生物豐富度指數由2.1提高到3.15，則()A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1C．Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D．Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)D[由題意，得eq\f(S－1,lnN1)＝2.1，eq\f(S－1,lnN2)＝3.15.若S不變，則2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN1＝3lnN2，所以Neq\o\al(2,1)＝Neq\o\al(3,2).]已知函數模型解決實際問題的關鍵(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．[跟進訓練]2．住房的許多建材都會釋放甲醛．甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害．新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過0.08mg/m3，否則，該新房達不到安全入住的標準．若某套住房自裝修完成后，通風x(x＝1,2,3，…，50)周與室內甲醛濃度y(單位：mg/m3)之間近似滿足函數關系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1,2,3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風()A．17周 B．24周C．28周 D．26周D[f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，兩式相減得loga9＝1，則a＝9，所以logak＋2＝3，k＝9.該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，則0.48－0.1f(x)≤0.08，則f(x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通風26周．故選D.]考點三構建函數模型的實際問題[典例3](2025·臨沂模擬)小王大學畢業后，決定利用所學專業進行自主創業．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x；在年產量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38.每件商品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品當年能全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－年固定成本－流動成本)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？解：(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當0＜x＜8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；當x≥8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0＜x＜8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當0＜x＜8時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，即當x＝6時，L(x)取得最大值，最大值為9萬元；當x≥8時，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時等號成立，即x＝10時，L(x)取得最大值，最大值為15萬元．因為9＜15，所以當年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲年利潤最大，最大年利潤為15萬元．構建函數模型解決實際問題時需注意以下四個步驟[跟進訓練]3．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那么他至少經過幾小時才能駕駛汽車？(參考數據lg2≈0.301)()A．5B．6C．7 D．8D[設該駕駛員x小時后100mL血液中酒精含量為ymg，則y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，當y＝20時，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2，所以x＝log0.80.2＝eq\f(lg0.2,lg0.8)＝eq\f(lg2－1,lg8－1)＝eq\f(lg2－1,3lg2－1)≈eq\f(0.301－1,3×0.301－1)≈7.206.故選D.]課時分層作業(十六)(本試卷共62分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do10(\f(1,2))xB[由題表可知函數單調遞增，且y隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合．故選B.]2．視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如表所示．小數記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3現有如下函數模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小數記錄數據，y表示五分記錄數據，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數記錄數據為(附：100.3≈2,5－0.22≈0.7,10－0.1≈0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8B[由表格中的數據可知，函數單調遞增，合適的函數模型為y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.]3．大氣壓強p(單位：kPa)與海拔h(單位：m)之間的關系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0為標準大氣壓強，k為常數．已知海拔為5000m，8000m兩地的大氣壓強分別為54kPa，36kPa.若測得某地的大氣壓強為80kPa，則該地的海拔約為(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．295m B．995mC．2085m D．3025mC[由題知54＝p0e－5000k①，36＝p0e－8000k②，①÷②兩式相比得到e3000k＝eq\f(3,2)，所以3000k＝lneq\f(3,2)③.當p＝80kPa時，由80＝p0e－kh④，②÷④得到ekh－8000k＝eq\f(9,20)，所以k(h－8000)＝lneq\f(9,20)⑤.由⑤÷③，得到eq\f(h－8000,3000)＝eq\f(ln\f(9,20),ln\f(3,2))＝eq\f(lg\f(9,20),lg\f(3,2))＝eq\f(2lg3－1－lg2,lg3－lg2)≈－eq\f(0.347,0.176)，解得h≈2085.故選C．]4．(2025·長治模擬)研究人員用Gompertz數學模型表示治療時長x(月)與腫瘤細胞含量f(x)的關系，其函數解析式為f(x)＝ka－b－x，其中k>0，b>0，a為參數．經過測算，發現a＝e(e為自然對數的底數)．記x＝1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的eq\f(1,e)，那么b的值為()A．eq\r(5)＋1 B．eq\r(5)－1C．eq\f(\r(5)＋1,2) D．eq\f(\r(5)－1,2)D[依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝ke－b－1，,f2＝ke－b－2，))而f(2)＝eq\f(1,e)f(1)，則e－b－2＋b－1＝eq\f(1,e)，即b－2－b－1－1＝0.又b>0，解得b－1＝eq\f(\r(5)＋1,2)，所以b＝eq\f(\r(5)－1,2).故選D.]二、多項選擇題5．(2025·煙臺模擬)小菲在學校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x(單位：天)之間的函數關系y＝f(x)＝則下列說法中正確的是()A．隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%AB[對于A，由函數解析式和圖象可知f(x)隨著x的增加而減少，故A正確；對于B，由圖象的減少快慢可知，第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，故B正確；對于C，當1<x≤30時，f(x)＝eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,20)))x－eq\f(1,2)，則f(9)＝eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,20)))×9－eq\s\up4(\f(1,2))＝0.35，即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯誤；對于D，f(26)＝eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,20)))×26－eq\s\up4(\f(1,2))>eq\f(1,5)，故D錯誤．故選AB.]6．(2023·新高考Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2ACD[因為Lp＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝，因為Lp3＝40，所以p3＝＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則，所以1＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正確；因為eq\f(100p2,p1)＝＝＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．綜上，故選ACD.]三、填空題7．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如表所示．每戶每月用水量水價不超過12m3的部分3元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費為54元，則此戶居民的用水量為________m3.15[設此戶居民本月用水量為xm3，繳納的水費為y元，則當x∈[0,12]時，y＝3x≤36元，不符合題意；當x∈(12,18]時，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合題意；當x∈(18，＋∞)時，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合題意．綜上所述，此戶居民本月用水量為15m3.]8．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃，tmin后物體的溫度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得，且把溫度是100℃的物體放在10℃的空氣中冷卻tmin后，物體的溫度是40℃，那么t的值約等于______.(保留一位小數)(參考數據：ln3≈1.099，ln2≈0.693)4.6[將θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t并整理可得，e－0.24t＝eq\f(1,3)，解得t＝eq\f(ln3,0.24)≈4.6.]9．某同學設想用“高個子系數k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160cm及其以下不算高個子，其高個子系數k應為0；身高190cm及其以上的是高個子，其高個子系數k應為1，請給出一個符合該同學想法的成年男子高個子系數k關于身高x(cm)的函數關系式________.k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190,1，x≥190))(只要寫出的函數滿足在區間(160,190)上單調遞增，且過點(160,0)和(190,1)即可，答案不唯一)[由題意知，函數k(x)在(160,190)上單調遞增，設k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈(160,190)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(160a＋b＝0，,190a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,30)，,b＝－\f(16,3)，))所以k(x)＝eq\f(1,30)x－eq\f(16,3)＝eq\f(1,30)(x－160)，所以k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190，,1，x≥190.))]四、解答題10．(15分)(2025·臨沂模擬)某科研小組研制鈦合金產品時添加了一種新材料，該產品的性能指標值y是這種新材料的含量x(單位：克)的函數．研究過程中的部分數據如表所示．x/克02610…y－488eq\f(1,9)…已知當x≥7時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－m，其中m為常數．當0≤x<7時，y和x的關系為以下三種函數模型中