第5課時函數性質的綜合應用考點一函數的奇偶性與單調性[典例1](1)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意x1，x2∈R，當x1＜x2時，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，則關于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集為()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均單調遞減，則()A．f(f(1))＜f(f(2))B．f(g(1))＜f(g(2))C．g(f(1))＜g(f(2))D．g(g(1))＜g(g(2))(1)B(2)BD[(1)因為對任意x1，x2∈R，當x1＜x2時，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，則g(x)在R上單調遞增，因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－2x－2)＝－f(2x＋2)，由f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3，得f(x2－1)－(x2－1)＜－f(－2x－2)－(2x＋2)＝f(2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，所以由g(x)的單調性得x2－1＜2x＋2，即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，即f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集為(－1,3)．故選B.(2)因為f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且兩函數在(－∞，0]上單調遞減，所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，g(x)在[0，＋∞)上單調遞減，g(x)在R上單調遞減，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正確，C錯誤；若|f(1)|＞|f(2)|，則f(f(1))＞f(f(2))，A錯誤．故選BD.]1.比較函數值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量轉化到同一單調區間上，再利用函數的單調性比較大小．2．對于抽象函數不等式的求解，先將不等式變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結合單調性，脫去“f”變成常規不等式，轉化為x1<x2(或x1>x2)求解．[跟進訓練]1．(1)若定義在R上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3](2)(2025·菏澤模擬)已知函數f(x)＝|3x－3－x|，則不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D．(1，＋∞)(1)D(2)A[(1)因為函數f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調遞減，且f(2)＝0，畫出函數f(x)的大致圖象如圖1所示，則函數f(x－1)的大致圖象如圖2所示．當x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當x＞0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．故選D.(2)f(x)＝|3x－3－x|，定義域為R，又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故y＝f(x)為偶函數．又當x>0時，y＝3x，y＝－3－x均為增函數，故g(x)＝3x－3－x在(0，＋∞)上單調遞增．又g(0)＝0，則當x>0時，g(x)>0，所以此時y＝f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．故當x<0時，y＝f(x)為減函數．由f(2x－1)－f(x)>0，得f(2x－1)>f(x)，則|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，也即(3x－1)(x－1)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>1，所以原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)．故選A．]考點二函數的奇偶性與周期性[典例2](1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋2)是偶函數，f(2x＋1)是奇函數，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．f(－1)＝0C．f(2)＝0 D．f(4)＝0(2)(2025·日照模擬)已知f(x)是定義域為R的奇函數且滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則f(20)＝()A．－1 B．0C．1 D．±1(1)B(2)B[(1)因為f(x＋2)是偶函數，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，因為f(2x＋1)是奇函數，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函數，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函數f(x)的周期為4，其他幾個不一定為0.故選B.(2)由f(x)是定義域為R的奇函數，則f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.又由f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，即f(2－x)＝－f(x)，則有f(2－x)＝f(－x)，可得f(x＋2)＝f(x)，即函數f(x)是周期為2的周期函數，故f(20)＝f(0)＝0.故選B.]周期性與奇偶性結合的問題多考查求函數值、比較大小等，常先利用奇偶性推導出周期性，然后將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，或已知單調性的區間內求解．[跟進訓練]2．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，當0<x≤1時，f(x)＝x2－2x＋3，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))等于()A．－eq\f(7,4) B．eq\f(7,4)C．－eq\f(9,4) D．eq\f(9,4)C[由題意，函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數．又由當0<x≤1時，f(x)＝x2－2x＋3，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－2×\f(1,2)＋3))＝－eq\f(9,4).]考點三函數的奇偶性與對稱性[典例3](1)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，函數g(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，若f(－1)＝－1，則g(3)＝()A．5 B．1C．－1 D．－5(2)定義在R上的奇函數f(x)，其圖象關于點(－2,0)對稱，且f(x)在[0,2)上單調遞增，則()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)(1)B(2)A[(1)因為g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(x＋2)＝g(2－x)．又g(2－x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－x))f(2－x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))f(2－x)，且g(x＋2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))f(x＋2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))f(2－x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))f(2＋x)對任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)．因為f(－1)＝－1且f(x)為奇函數，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)＝－f(－1)＝1，因此，g(3)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－2))f(3)＝f(1)＝1.故選B.(2)因為函數f(x)的圖象關于點(－2,0)對稱，所以f(x－4)＝－f(－x)．又f(x)為定義在R上的奇函數，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函數f(x)是周期函數且周期是4，則f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0),f(21)＝f(1)．因為f(x)為奇函數，且在[0,2)上單調遞增，所以f(x)在(－2,2)上單調遞增，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故選A．]由函數的奇偶性與對稱性可求函數的周期，常用于化簡求值、比較大小等．[跟進訓練]3．已知函數f(x)是R上的偶函數，且f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2－2x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值為()A．－2 B．－1C．0 D．1D[因為f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以f(－x)＝－f(2＋x)．又f(x)為R上的偶函數，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0.又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.]考點四函數的對稱性與周期性[典例4](1)已知函數f(x)的定義域為R，f(x＋2)為奇函數，f(2x＋1)為偶函數，則函數f(x)的周期是()A．2 B．3C．4 D．5(2)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)為偶函數，若f(0)＝2，則f(k)＝()A．116 B．115C．114 D．113(1)C(2)C[(1)因為f(x＋2)為奇函數，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)．因為f(2x＋1)為偶函數，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，則f(－x＋1)＝f(x＋1)，則f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4.故選C．(2)由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函數f(x)的周期為4.又f(x＋2)為偶函數，則f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函數f(x)也為偶函數．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1.又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.故選C．]函數的周期性與對稱性的關系(1)如果f(x)的圖象關于點(a,0)對稱，且關于直線x＝b(a≠b)對稱，那么函數f(x)的周期T＝4|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)(2)如果f(x)的圖象關于點(a,0)對稱，且關于點(b,0)(a≠b)對稱，那么函數f(x)的周期T＝2|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)(3)如果函數f(x)的圖象關于直線x＝a與直線x＝b(a≠b)對稱，那么函數的周期T＝2|a－b|.(類比y＝sinx的圖象)[跟進訓練]4．(1)已知f(x)是定義在R上的函數，且對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函數y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1,0)對稱，則f(2024)＝()A．6 B．3C．0 D．－3(2)(2021·全國甲卷)設函數f(x)的定義域為R，f(x＋1)為奇函數，f(x＋2)為偶函數，當x∈[1,2]時，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(7,4) D．eq\f(5,2)(1)C(2)D[(1)令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)．因為函數y＝f(x＋1)的圖象關于點(－1,0)對稱，所以函數y＝f(x)的圖象關于點(0,0)對稱，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是周期為8的周期函數，所以f(2024)＝f(253×8＋0)＝f(0)＝0.故選C．(2)由于f(x＋1)為奇函數，所以函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)為偶函數，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根據①②可得a＝－2，b＝2，所以當x∈[1,2]時，f(x)＝－2x2＋2.根據函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且關于點(1,0)對稱，可得函數f(x)的周期為4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－2＝eq\f(5,2).]課時分層作業(十)(本試卷共57分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數，因為奇函數f(x)在R上是增函數，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，則c＞a＞b.故選C．]2．已知函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，且函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，當x∈[－1,1]時，f(x)＝ax－1，則f(2024)＝()A．－1 B．－2C．0 D．2A[根據題意，函數f(x－1)(x∈R)是偶函數，則函數f(x)的對稱軸為直線x＝－1，則有f(x)＝f(－2－x)，又由函數f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱，則f(x)＝－f(2－x)，則有f(－2－x)＝－f(2－x)，則f(x＋4)＝－f(x)，則有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，則函數f(x)是周期為8的周期函數，則f(2024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1.故選A．]3.（2025·湛江模擬）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.B[因為，所以在上單調遞增，且．因為是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選B.]4．已知定義在R上的偶函數f(x)，?x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，則f(2025)＝()A．0 B．－2C．－4 D．2A[依題意?x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，則f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，故f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期為6的周期函數，故f(2025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝0.故選A．]5．在下列命題中，錯誤的是()A．函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)的最小值為2eq\r(a)B．已知定義在R上周期為4的函數f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)一定為偶函數C．若定義在R上的函數f(x)既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則f(1)＋f(4)＋f(7)＝0D．已知函數f(x)＝x3，若a＋b>0，則f(a)＋f(b)>0A[對于A選項，當a<0時，因為函數y＝x，y＝eq\f(a,x)均為(0，＋∞)上的增函數，所以函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，此時函數f(x)在(0，＋∞)上無最小值，A錯誤；對于B選項，由已知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，又因為函數f(x)的定義域為R，所以函數f(x)為偶函數，B正確；對于C選項，由已知f(0)＝0，f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝2f(1)＋f(0)＝0，C正確；對于D選項，因為函數f(x)＝x3為R上的增函數且為奇函數，a＋b>0，即a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0，D正確．故選A．]二、多項選擇題6．(2025·煙臺模擬)已知函數f(x)為R上的奇函數，g(x)＝f(x＋1)為偶函數，下列說法正確的有()A．f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱B．g(2023)＝1C．g(x)的周期為4D．對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)ACD[由題意可得f(x)的對稱中心為點(0,0)，對稱軸為直線x＝1，所以f(x)的圖象也關于直線x＝－1對稱，且f(x)＝f(2－x)，A，D正確；由A分析知，f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，則g(x)的周期為4，g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B不正確，C正確．故選ACD.]7．已知函數f(x)的定義域是R，函數f(x)是偶函數，f(2x－1)＋1是奇函數，則()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函數f(x)的一個周期D．函數f(x)的圖象關于直線x＝9對稱BC[因為f(2x－1)＋1是R上的奇函數，所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]，整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2.令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)為偶函數，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正確；將2x替換為x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①，又因為f(x)是偶函數，所以f(－x)＝f(x)，將x替換為x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②，由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③，則f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④，③－④得f(x＋4)＝f(x)，故4是函數f(x)的一個周期，C正確；因為f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)關于點(1，－1)中心對稱，又因為4是函數f(x)的一個周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)關于點(9，－1)中心對稱，D錯誤；因為f(x)關于點(1，－1)中心對稱，故點(0，f(0))與點(2，f(2))關于點(1，－1)中心對稱，無法得到f(0)＝－1，A錯誤．故選BC．]三、填空題8．(2025·菏澤模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2025)＝________.0[因為f(－x)＝－f(x)，令x＝0，得f(0)＝0.用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因為f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2025)＝0.]9．若函數f(x)稱為“準奇函數”，則必存在常數a，b，使得對定義域內的任意x值，均有f(x)＋f(2a－x)＝2b，則a＝2，b＝2的一個“準奇函數”為________________.(填寫解析式)f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)(x≠2)(答案不唯一)[由f(x)＋f(2a－x)＝2b，知“準奇函數”f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，若a＝2，b＝2，即f(x)圖象關于點(2,2)對稱，如y＝eq\f(1,x)向右平移2個單位長度，向上平移2個單位長度，得到f(x)＝2＋eq\f(1,x－2)＝eq\f(2x－3,x－2)，故其圖象就關于點(2,2)對稱．]10．(2022·全國乙卷)已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則(k)＝()A．－21 B．－22C．－23 D．－24D[因為y＝g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)．因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(