第24關(guān)圖形的對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)

基礎(chǔ)練

考點(diǎn)1圖形的對(duì)稱

1.[2024重慶B卷]下列標(biāo)點(diǎn)；符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

?I,?/??

ABCD

2.[2024湖南長沙]下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

?o?@

ABCD

3.[2024廣東廣州]下列圖案中，點(diǎn)O為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角

形關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的是（）

4.[2024內(nèi)蒙古通遼]剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對(duì)稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸

重合，則點(diǎn)A（-4,2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(-4,-2)B.(4,-2)

C.(4,2)D.(-2,-4)

5.[2024福建]小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案，如圖.其中△OAB與4ODC都是等

腰三角形且它們關(guān)于直線1對(duì)稱，點(diǎn)E,F分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)OELOF.下列推斷錯(cuò)誤的是（）

A.OB±OD

B.ZBOC=ZAOB

C.OE=OF

D.ZBOC+ZAOD=180°

6J2024甘肅］圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學(xué)的部分對(duì)弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方

如果落子于點(diǎn)的位置，則所得的對(duì)弈圖是軸對(duì)稱圖形.(填寫A,B,C,D中的一處即可，A,B,C,D位

于棋盤的格點(diǎn)上)

7.［2024上海］在平行四邊形ABCD中,NABC是銳角，將CD沿直線1翻折至AB所在直線，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,

D',若AC':AB:BC=1:3:7,貝(IcosZABC=.

8.［2024河南］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)E在邊C

D上將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處.若點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,6),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

考點(diǎn)2圖形的平移

1

9.［2024山東威海］定義新運(yùn)算：

①在平面直角坐標(biāo)系中，la,b|表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸正方向(aK))或負(fù)方向(a<

0)平移|a|個(gè)單位長度，再沿著y軸正方向(bN

。)或負(fù)方向(b<0)平移|b|個(gè)單位長度.例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長度，再沿著y軸正

方向平移1個(gè)單位長度，記作卜2,1}.

②加法運(yùn)算法則：|a,b}+|c,d}=|a+c,b+d|其中a,b,c,d為實(shí)數(shù).

若|3,5|+|m,n|=|-l,2},則下列結(jié)論正確的是()

A.m=2,n=7B.m=-4,n=-3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

10J2024江西］在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(l,l)向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

”.［2024內(nèi)蒙古興安盟］如圖，點(diǎn)A(0,-2),B(l,0),將線段AB平移得到線段DC,若/ABC=9(T,BC=2AB,則點(diǎn)D

的坐標(biāo)是.

第II題圖第13題圖

考點(diǎn)3圖形的旋轉(zhuǎn)

12.［2024山東泰安］下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

13.［2024湖北］如圖.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-4,6),將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是

()

A.(4,6)B.(6,4)

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

14.［2024天津］如圖,△ABC中,/B=30。,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△DEC點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,

E,延長BA交DE于點(diǎn)F,下列結(jié)論一定正確的是()

A.ZACB=ZACDB.AC〃DE

C.AB=EFD.BF±CE

15.［2024山東濱州］一副三角板如圖1擺放，把三角板AOB繞公共頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,即AB〃OD時(shí),

N1的大小為°.

圖1圖2

16.［2024四川瀘州］定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移a（a>0）個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)。角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的p（a,O）變換如:點(diǎn)A（2,0）按照p（1,90。）變換后得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,2）,則點(diǎn)B

（次,-1）按照p（2,105。）變換后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

17.［2024江蘇鹽城］如圖，在△ABC中,NACB=9（r,AC=BC=2夜，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接BCD繞

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到^BEF.連接CF,當(dāng)CF〃AB時(shí),CF=.

18.［2024黑龍江龍東地區(qū)］如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,tanz5XC=|,BC=2,AD=1線段AD繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是_______.

19.［2024江蘇鹽城］下列四幅圖片中的主體事物，在現(xiàn)實(shí)運(yùn)動(dòng)中屬于翻折的是（）

工作中的雨刮褓移動(dòng)中的黑板

B

折疊中的紙片騎行中的自行車

CD

20J2024四川自貢］我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運(yùn)用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股

定理“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案.下列關(guān)于，趙爽弦圖”說法正確的是（）

A.是軸對(duì)稱圖形

B.是中心對(duì)稱圖形

C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

D.既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形

21.[2024遼寧錦州校級(jí)模擬]下列圖形中可以由一個(gè)基礎(chǔ)圖形通過平移變換得到的是（）

ABCD

22.[2024四川眉山]如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)E在DC上把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC

邊上的點(diǎn)F處,則cos/CEF的值為（）

A.17/4B.V73C.-D.-

44

23.[2024四川自貢]如圖,在矩形ABCD中,AF平分/BAC,將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)A,B分別落在邊A

D,BC上的點(diǎn)A：B處,EF,AF分別交AC于點(diǎn)G,H.若GH=2,HC=8,則BF的長為（）

20V220V3r5V3

D.C.

9--------------9---------------------2

24.[2024山東濰坊二模]如圖，等邊△ABO的邊長為6,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO所在的直線為x軸建立平面直角

坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第二象限，將4ABO沿x軸正方向平移得到△ABO,AE與BO交于點(diǎn)C,若AC=（4"，則B'

的坐標(biāo)為.

25.[2024遼寧沈陽校級(jí)模擬]如圖，兩個(gè)直角三角尺ABC與CDE按如圖所示的方式擺放，其中NB=/D=30。,

ZACB=ZECD=90°,AC=CE=福，且A,C,D共線，將△DCE沿DC方向平移得到△DCE,若點(diǎn)E落在AB上,則平

移的距離為.

26.[2024山東濟(jì)寧二模]如圖,△ABC中,AB=AC,NA=40。,射線CP從CA的位置開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(?

(00<a<70。),，與AB相交于點(diǎn)口,將4ACD沿CP所在直線翻折至4A1CD處,CA，與AB相交于點(diǎn)E.若^A'DE

27.[2024江蘇連云港]如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對(duì)折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF,連接

BF.再將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在BF上的點(diǎn)H處，折痕為AG.若點(diǎn)G恰好為線段BC最靠近點(diǎn)B的一個(gè)五

等分點(diǎn)，AB=4,則BC的長為.

28.[2024廣東深圳二模]在直角坐標(biāo)系中，將4ABC進(jìn)行平移變換，變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)的情況如表：

變換前△ABCA(l,l)B(4,l)C(4,5)

變換后△A'B'C,A'(6,3)B'(9,3)c，

(1)平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)是并在直角坐標(biāo)系中畫出4A'B'C;

(2)若P(nl,n)是△ABC內(nèi)一點(diǎn),通過上述平移變換后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)可表示為：

(3)連接BB；CC,則四邊形BB'C'C的形狀是_____________其面積為.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

29.［2024四川南充］如圖,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點(diǎn)NABE=30。,將△ABE沿BE折疊得AFBE,連接C

F,DF若CF平分/BCD,AB=2,則DF的長為.

第29題圖第30題圖

30.［2024四J11成都］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),過點(diǎn)B作y軸的垂線1,P為直線1上一

動(dòng)點(diǎn)，連接PO,PA,則PO+PA的最小值為.

31.［2024河南］如圖，在RtAABC中,/ACB=9(T,CA=CB=3線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的

垂線,交射線AD于點(diǎn)E.若CD=1,則AE的最大值為最小值為

32.［2024山東臨沂二模］如圖，將邊長為1的等邊△OAB以B為圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,同時(shí)邊長都加1得到△

01AiB,此為第一次變換，再將△OiAiB以Ai為圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,同時(shí)邊長都加1得到△O2A】B］，此

為第二次變換，依次類推，按照這樣的變換方式進(jìn)行下去，當(dāng)進(jìn)行到第6次變換后，O點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

33.［2024安徽］如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy,格點(diǎn)(網(wǎng)格線

的交點(diǎn))A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

⑴以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC旋轉(zhuǎn)180。得到△AiBig畫出△A、BtCx;

(2)直接寫出以B,Ci,B1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積；

(3)在所給的網(wǎng)格圖中確定一個(gè)格點(diǎn)E,使得射線AE平分NBAC,寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

34.[2024黑龍江龍東地區(qū)]如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)

系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-l,l),B(-2,3),C(-5,2).

⑴畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的小AiBiJ,并寫出點(diǎn)Bx的坐標(biāo)；

⑵畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的小AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；

⑶在⑵的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留7T).

35.[2024山東泰安]如圖1,在等腰RtAABC中,NABC=9(T,AB=CB點(diǎn)D,E分別在AB,CB上,DB=EB,連接AE,

CD,取AE中點(diǎn)F,連接BF.

(1)求證:CD=2BF,CD±BF.

(2)WADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：;

②求證:CD=2BF.

第24關(guān)圖形的對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)

1.A2.B3.C

4.C

5.B解析:由題意知OA=OB,OC=OD/AOB=NCOD.

?.E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),

11

ZAOE=NEOB=*。B,NCOF=NFOD=：NCOD,

..NAOE=NEOB=NCOF=NFOD.

?.OE±OF,

.?.zEOB+zBOF=90°,

..NFOD+NBOF=90°,即OB^OD,故

A中推斷正確.

?.OB±OD,

NBOC+NCOD=NBOC+NAOB=90°,無法證明NBOC=NAOB,故B中推斷錯(cuò)誤.

"OAB當(dāng)ODC,點(diǎn)E,F分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)

.■QE=OF,故C中推斷正確.

?.zBOC+zCOD=zBOC+zAOB=90°,

zBOC+zCOD+ZBOC+ZAOB=180。,即NBOC+NAOD=180。,故D中推斷正確.

6.A（或C）

72

解析根據(jù)AC':AB:BC=1:3:居不妨設(shè)AC=1,AB=3,BC=7,

當(dāng)C在線段AB上時(shí)，如圖，設(shè)直線I與BC交于點(diǎn)F,

由翻折的性質(zhì)知NFCD=NFCD,CF=C'F,

?.CD沿直線I翻折至AB所在直線，

NBC,F+NFC'D'=180°=NFCD+NFBA、

..NBC'F=NFBA,

CF=C/F=BF=-7

2f

過F作FE^AB于E,

1'

??.BE=-BC=1.

2

An「BE12

???COS^ABC=—=F=一■

BFi7

當(dāng)C在BA的延長線上時(shí)，如圖，

同理可得CF=CF=BF=^f

過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為E,

11

??.BE=-BC=2

2f

4c「BE24

???cos^ABC=—=—=

BF(7

故答案為:或三

1(3,10)

解析：如圖所示，設(shè)CD與y軸相交于H點(diǎn)，設(shè)BC=x，由折疊可知BF=x，由正方形ABCD可知AB=x,二.OB

22222

=x-2,在Rt^BOF中，OF+OB=OF,BP6+(x-2)=/解得:x=10,..FH=4,OB=8,易證AFHE「ABOF,.??

界=M="EH=3,「.E(3,1O).

差點(diǎn)突破..

第一個(gè)突破是由正方形想到BC=AB，由折疊想到BC=BF,從而想到在直角三角形OBF中，由勾股定理求出

BC的長,第二個(gè)突破是由NEFB=90°想至SFHESABOE得至!J器=*=［求出EH的長.

OFOB2

9.B10.(3,4)

ll.(4,-4)

解析：過點(diǎn)D作DE±y軸于點(diǎn)E,如圖，

?.點(diǎn)A(0,-2),B(l,0),

.-.OA=2,OB=1.

?.線段AB平移得到線段DC,

.-.ABllCD,AB=CD,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

.NABC=90°,

二四邊形ABCD是矩形，

..NBAD=90°,BC=AD,

?.BC=2AB,

.-.AD=2AB,

?.NBAO+NDAE=90°/BAO+NABO=90。，

NABO=NEAD.

?.zAOB=zAED=90°,

△ABO*"ADAE.

.OA_OB_AB_1

“DE—4E-4D―2’

，DE=2OA=4,AE=2OB=2,

.QE=OA+AE=4,

.■.D(4,-4).

12.C解析：左起第四個(gè)圖形不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是

中心對(duì)稱圖形；

第一、第二和第三個(gè)圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖

形.所以中心對(duì)稱圖形有3個(gè).

13.B解析：設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,過點(diǎn)A和點(diǎn)A，分別作x軸的垂線，垂足分別為B,C,

??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,6),

...OB=4,AB=6.

由旋轉(zhuǎn)得OA=OA'/AOA，=90。，

..NAOB=90°-NA'OC=NOAC又NABO=NA'CO=90°,

.“AOB學(xué)OA'C,

.-，A'C=OB=4,OC=AB=6,

，點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(6,4).

14.D解析:設(shè)BF與CE的交點(diǎn)為H,,.將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至l^DEC,

.-.zBCE=zACD=60o,

?.NB=30。，

，在ABHC中,NBHC=180°-NBCE-NB=90°,

.,.BDCE,故D選項(xiàng)符合題意;設(shè)NACH=X°.

NACB=60°-x°,

?.NB=30。，

zEDC=zBAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°,

???NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°,

?.?X。不一定等于30°,

.'.zEDC+zACD不一定等于180°,

?.ACIIDE不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；

?.zACB=60o-xo,zACD=60°,xo^—0°,

，NACB=NACD不一定成立，故A選項(xiàng)不符合題意；

?.將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△DEC,

..AB=ED=EF+FD,

，AB>EF,故C選項(xiàng)不符合題意.

故選D.

15.75

16.(-V2-V2)

解析：將點(diǎn)，B(百,-1)向上平移2個(gè)單位，所得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(8,1)過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為F,

則OF=V3,MF=1.

在RSMOF中，

tan/MOF=僚=冬0M=Jl2+(V3)2=2,

所以NMOF=30°.

由旋轉(zhuǎn)可知，

B'O=MO=2,ZMOB'=105°,

所以ZB'OF=135°.

過點(diǎn)B'作y軸的垂線，垂足為E,

貝(INB0E=135°-90°=45°,

所以AB'OE是等腰直角三角形.

又因?yàn)锽'O=2,

所以.BE=OE=V2,

所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(-V2V2,).

17.2+V6

解析:?.?NACB=9(r,AC=BC=2V2

..NCAB=NCBA=45°,

?.點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

AD=CD=-AC=V2,

2

22

J(V2)+(2A/2)=V10,

?.將△BCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到ABEF,

???BF=BD=V10,

如圖，過點(diǎn)B作BG^CF于點(diǎn)G,

?/CFIIAB,.".zFCB=zCBA=45°,

."BCG是等腰直角三角形，

,-.CG=BG=2,

在RbBFG中，F(xiàn)G=<BF2-BG2=J(V10)2-22=V6,

.-.CF=CG+FG=2+V6

方法總結(jié)..

在幾何圖形中求線段的長，有時(shí)可以把問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題；因?yàn)槿切蜝CF不是直角三角

形，所以可通過添加輔助線BG構(gòu)造直角三角形來解決.

18.2V2+|

解析:取AC的中點(diǎn)Q.連接PQ作以Q為圓心，PQ長為半徑的圓.

?.P是CD的中點(diǎn),Q是AC的中點(diǎn)，

PQ是AACD的中位線，

???PQ=-AD=

<22

，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P在以Q為圓心，之為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

，當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)Q,且點(diǎn)P在AC下方時(shí),BP的值最大.

BC=2,tanZBAC=

2

，AC=4,

.AQ=CQ=2.

BQ2=BC2+CQ2=8,

.-.BQ=2V2

BP的最大值為2V2+|.

19.C20.B21.B

22.A解析:?四邊形ABCD是矩形,

.■.AD=BC=8,zB=zC=zD=90°,

.-.zCEF+zEFC=90o,

?.把AADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，

.-，AF=AD=8,ZAFE=ZD=90°,

.".zAFB+zEFC=90°,

.-.zCEF=zAFB,

?.AB=6,

???BF=y/AF2-AB2=V82-62=2小,

L廠/71LnBF2V7V7

???CQSZCEF=cosZAFB=—=——

AF841

23.A解析:.,四邊形ABCD是矩形,

.-.ADllBC,

AAEGSACFG『AA'HSACFH,

.AE_AGAA_AH

"FC-GC'FC-HC'

由折疊的性質(zhì)可知,AA'=2AE,

,AA'_2AE.2AG_AH

??FC-FCJ，GC-HCr

2AGAG+2.10

???——二----,???AG=——,

2+883

?.AF平分NBAC,..NBAF=NFAC,

?.EFllAB,.-.zBAF=zAFG,

.?.NGAF=NGFA,R.FG=AG=-

，3

CF=y/CG2-FG2=J102-(y)2=竽

?.EFllAB,

.-.BF:CF=AG:CG=1:3,

BF=-CF=-.

39

24.(1,3V3)

解析：分別過點(diǎn)C和點(diǎn)B，作x軸的垂線，垂足分別為M和N,由平移可知，AB=AB=6/B7VO=NBAO=

60。,又.NBOA=60。，

."A'OC是等邊三角形.

又；AC="B,

，A'C=CO=A'O=2.

,.,CM_LX軸，

.?.A'M=OM=1.

在RfA'CM中，

CM=V22-l2=V3.

???CMllB'N,

AA'CM-AA'B'N,

.CM_AM_AC_1

BNANAB'3’

.■,B'N=3CM=3V3,A'N=3A'M=3,

.-.ON=A'N-A'O=3-2=1,

.??點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(1,3V3).

25.V3-1

解析:??將-DCE沿DC方向平移得到AD'CE,

CE=CE=V3,

NB=ND=30°,zACB=zECD=zE'C'D'=90°,

.?.zE'C'A=90o,zA=60°,

..NAE'C'=30°,

設(shè)AC'=xJi^AE'=2x,

222

7AE'=AC+CE',

(2x)2=x2+(V3)2,

，x=L即AC'=L

，平移的距離CC'=4C一AC'=百一1.

26.15°或30°或60°

解析:?.AB=AC/A=40。，

..NACB=NABC=70。，

-.0°<a<70°,

.?射線CP在NACB內(nèi)部.

當(dāng)點(diǎn)A'在AB下方時(shí)，如圖，

由翻折可知，

NA'=NA=40°/A'CD=NACD=a,

NDEA'=NA+NACA'=40°+2C(,

NA'DE=180o-40°-(40°+2a)=100°-2a.

當(dāng)A'D=A'E時(shí)/A'DE=NDEA',

.■.100°-2a=40°+2a,

解得a=15。.

當(dāng)DA'=DE時(shí)/DA'E=NDEA',

.■.40°=40°+2a,

解得a=0°(舍去).

當(dāng)ED=EA'時(shí),NEA'D=NEDA',

.■.40°=100°-2a,

解得a=30°.

當(dāng)點(diǎn)A，在AB上方時(shí)，如圖，

由旋轉(zhuǎn)可知，

NCA'D=NA=40°/A'CD=NACD=a,NADC=NA'DC=140°-a,

zDA'E=180o-40o=140o,zA'DE=180°-2(140o-a)=2a-100°,

zA,ED=180o-140°-(2a-100°)=140°-2a.

."DA'E=140°〃?.當(dāng)AA'DE是等腰三角形時(shí),只能是A'D=A'E.

當(dāng)A'D=A'E時(shí)/A'DE=NA'ED,

?.?2a-100°=140°-2a,

解彳導(dǎo)a=60°.

綜上所述,a=15°或30。或60°.

27.2V10

解析：設(shè)AG與BF交于點(diǎn)M,由折疊的性質(zhì)可得AG^BH,

..NAMB=90°,

???四邊形ABCD是矩形，目上下對(duì)折后得到折痕EF,AB=4,

..NABC=NBEF=9(r,AE=BE=|AB=2,EF=BC,

NAMB=NBEF=90°,

zBAM+zABF=zBFE+zABF=90°,

..NBAM=NBFE,

又一：NABG=NFEB=90。，

A

/.△ABG^FEBS

???ff=管設(shè)BG刊則由題意得BC=5a,.??；白

BEEF25a

解得a=IVT6（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，a=|m是原方程的解,且符合題意.

BC=5a=2V10.

8.⑴(9,7);作圖見解析

⑵(m+5,n+2)

(3)平行四邊形;20

解析：(1)根據(jù)平移性質(zhì)得點(diǎn)C的坐標(biāo)是(9,7),如圖,33。即為所求

⑵略.

⑶由平移可知四邊形BB'C'C是平行四邊形,

，四邊形BB'C'C的面積=4x5=20.

29.V2

解析:如圖，過F作FM±BC于點(diǎn)M,FNJ_CD于點(diǎn)N,

???四邊形ABCD是矩形，

..NDCM=NABC=90°,AB=CD=2,

?：CF平分NBCD,

.?.FM=FN/DCF=NBCF=45°,

.??四邊形CMFN是正方形，

,-.CN=FM=FN.

由折疊可知AB=BF=2/ABE=NFBE=30°/.NFBM=30。，

..DN=CD-CN=1.

在Rt^DNF中,由勾股定理得DF=y/NF2+DN2-Vl2+l2-V2.

30.5

解析：作點(diǎn)。關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)0’軸,B(0,2),.Q(0,4),連接AO：AO與直線I的交點(diǎn)為點(diǎn)P,此時(shí)P

O+PA取最小值，最小值為AO的長，根據(jù)勾股定理可得20'=存不至=5.

31.2V2+1;2V2-1

解析：如圖所示，AD】，AD?與半徑為1的OC相切,DiR是切點(diǎn)，連接CDi,CDz.則點(diǎn)D在工時(shí)AE的值最

大，在D2時(shí)AE的值最小，設(shè)AD】與BC相交于F點(diǎn),AD1與BE1交點(diǎn)為E^AD?與BE?交點(diǎn)為E2.

?.zACB=90°,CD1±AE1,

二易證AACDiCFDi,

.D1F_CD±_1

"CF-AC_3,

「BEJAE〉?易證ACDRABEIF,???誓=%=：,

DrCr3

D#+EJ=1(CF+BF)=^1BC=1.

222

又ADr=y]AC—CD1—V3—l=2V2,AEr-2V2+1,,即AE的最大值為2V2+1.

作CH^BEz于點(diǎn)H.

易證AACD2學(xué)BCH/.CH=CD